關(guān)于高中數(shù)學(xué)中最值問題的幾點思考

章曉紅

【摘 要】高中數(shù)學(xué)函數(shù)求最值問題是高中數(shù)學(xué)最重要的課程之一，由于求最值問題的內(nèi)容較散，方法難以選擇，因此最值問題求解一直困擾我們的學(xué)習(xí)。最值問題是數(shù)學(xué)考試中常用的求解題目，我們在學(xué)習(xí)中要通過例題的練習(xí)熟悉最值求解問題的解題方法，從而讓同學(xué)們提高對這一部分題目的解題熟練度和準(zhǔn)確度。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 函數(shù)問題 最值求解

中圖分類號：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2017.20.004

提高教學(xué)質(zhì)量是解決數(shù)學(xué)問題最為有效的方式，經(jīng)過初中數(shù)學(xué)的歷練，相信很多高中生對于數(shù)學(xué)都有全面的認(rèn)知了，但對于一些基礎(chǔ)知識的教學(xué)過程，一定要引起高度的重視。

一、重視基礎(chǔ)知識，改善教學(xué)質(zhì)量

幫助學(xué)生打好穩(wěn)固的基礎(chǔ)，讓其能夠牢固地掌握最值問題的知識點，只有明白最值概念的根本含義，學(xué)生才能將知識靈活地運用到解題中去。當(dāng)然，教師還要有意識地訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和應(yīng)用能力，只要教師堅持不懈，相信學(xué)生很快就能出效果。

例如，對待一些函數(shù)問題，學(xué)生根據(jù)基礎(chǔ)知識來進(jìn)行分析時，就要有一個清楚的認(rèn)識，看到函數(shù)首先考慮的是定義域，然后在定義內(nèi)求導(dǎo)，求出單調(diào)增和減區(qū)間，相關(guān)知識掌握不太熟練的可以借助畫圖像來進(jìn)行，通過對定義域的認(rèn)知，逐步加強自己對最值的思維訓(xùn)練。

二、函數(shù)最值求解的理論知識

高中數(shù)學(xué)函數(shù)中求最值是整個階段學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，最值求解問題的覆蓋度較廣，在高考題目中屢次出現(xiàn)，這也體現(xiàn)了這一知識點的重要性。函數(shù)最值問題的定義是：假設(shè)y=f（x）的定義域為A，如果存在x0∈A，使得A范圍內(nèi)的任意x值都有f（x0）≤f（x），則成為函數(shù)的最大值，反之則成為函數(shù)的最小值，這是最值問題的嚴(yán)格定義，將函數(shù)最值問題和函數(shù)單調(diào)性結(jié)合在一起，我們在學(xué)習(xí)過程中，要注重函數(shù)單調(diào)性的理解，精確求解函數(shù)最值。

三、掌握學(xué)習(xí)技巧，理解最值問題

在面對最值問題時，解題技巧是關(guān)鍵，所以，不能盲目地投入解題的過程中。教師在幫助學(xué)生講解難題時，也不能只是一味地講授解題方法。首先，要注重學(xué)生對于解題思路上的思考，學(xué)會正確審題才能在題干中找到自己所需的要點，才能及時采用合理的方法來進(jìn)行解題；其次，教師還要注重對學(xué)生關(guān)于最值問題的理解能力進(jìn)行鍛煉，學(xué)會理解題目想要考查的是學(xué)生在數(shù)學(xué)上哪方面的素質(zhì)，進(jìn)而提高解題的效率，使學(xué)生的解題思維不斷得到完善。

四、合理利用課外，培養(yǎng)發(fā)散思維

由于高中生課業(yè)內(nèi)容的繁重，所以，教師在課上要合適利用課時，幫助學(xué)生完善數(shù)學(xué)知識，但同時，在課下，還要引導(dǎo)學(xué)生對于課上知識進(jìn)行回顧，以防遺漏，最值問題在整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有著貫穿的作用，所以，在課外的輔導(dǎo)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生多多對最值概念進(jìn)行串聯(lián)，達(dá)到透徹理解的地步，這樣，既方便學(xué)生對于課上內(nèi)容的鞏固，也便于教師對下一課時的深入。當(dāng)然，教師也可以適當(dāng)引用一些生活中的實例，幫助學(xué)生對于最值問題的理解。像生產(chǎn)中如何才能將利潤最大化，怎樣用料才最節(jié)余等等，教師也可向?qū)W生適當(dāng)推薦相關(guān)的教學(xué)參考資料，以上面的典型例題，幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)最值，形成發(fā)散的思維。

五、函數(shù)中求最值需要注意的點

（一）區(qū)間上二次函數(shù)最值求解

二次函數(shù)最值求解是較為常見的函數(shù)問題，由于二次函數(shù)是非線性函數(shù)，討論函數(shù)區(qū)間內(nèi)的最值問題要綜合考慮函數(shù)的特性，確定函數(shù)定義域區(qū)間內(nèi)的最值，最值求解一定要在有意義的定義域區(qū)間內(nèi)，我們要明確函數(shù)區(qū)間的開閉性，而此函數(shù)是給定的，其相應(yīng)的函數(shù)值域也是確定的。例如已知二次函數(shù)f（x）=ax+bx+c（a>0），它的函數(shù)曲線是以直線x=-b/2a為對稱軸，曲線為開口向上的拋物線，根據(jù)數(shù)形結(jié)合我們可以求解函數(shù)區(qū)間。我們在求解過程中，要注意函數(shù)區(qū)間（m、n）的界定，在函數(shù)區(qū)間內(nèi)區(qū)分增區(qū)間和減區(qū)間，從而求解函數(shù)的最大值和最小值。

（二）動二次函數(shù)的區(qū)間最值求解

二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，其函數(shù)曲線是運動的，但是其區(qū)間固定在一個區(qū)域內(nèi)，這種情況下的函數(shù)定區(qū)間最值求解要考慮函數(shù)區(qū)間的單調(diào)性。函數(shù)參數(shù)如果實在曲線開口上，就要針對函數(shù)曲線開口向上和開口向下進(jìn)行重點討論，如果函數(shù)參數(shù)出現(xiàn)在對稱軸上，就針對函數(shù)區(qū)間左側(cè)、右側(cè)和中間定義域進(jìn)行討論，如果函數(shù)區(qū)間在對稱軸區(qū)間的中間，要分為兩種情況進(jìn)行討論，細(xì)分為對稱軸是分為左側(cè)或者右側(cè)的端點。動二次函數(shù)包含了參數(shù)，去區(qū)間也是變化的，函數(shù)在閉區(qū)間的最值可能是出現(xiàn)在區(qū)間端點，頂點處取得，最后要對得出的參數(shù)值進(jìn)行驗證。同時函數(shù)最值求解要把握二次函數(shù)的圖像開口方向，確定定點的橫坐標(biāo)，并確定函數(shù)的單調(diào)性和對稱性。

（三）利用基本不等式求解最值問題

有些同學(xué)在利用基本不等式求解最值問題時，會忽視了等號成立條件的問題，在利用基本不等式求解最值時要必須對定理的前提的進(jìn)行考慮，核實“一正二定三相等”的前提條件是否成立，否則求得的最值容易出現(xiàn)錯誤。例如對于例題：正數(shù)x、y滿足x+2y=1，求解1/x+1/y的最小值，對于不等式最值求解可能會出現(xiàn)以下的錯解，即由基本不等式可以得出x+2y=1≥0。

所以可以得出xy≤1/8，我們可以將不等式變化帶入到不等式1/x+1/y≥4，其最小值為4。對于這種錯誤解題方法分析，第一次等號成立的條件為x=2y，但是第二次等號成立的條件是x=y，這兩種之間的矛盾直接導(dǎo)致最值求解直接錯誤，因此我們在不等式求解最值時要格外注重等號成立條件的規(guī)定。

六、結(jié)束語

要想讓高中生對最值問題進(jìn)行細(xì)致的了解與運用，教師需要在教學(xué)過程中樹立學(xué)生的自信心，提供合理的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中利用不同的思維來全面地解決問題，真正掌握最值的相關(guān)知識點，在考試中取得優(yōu)秀的成績。

參考文獻(xiàn)

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