雙自由度串聯(lián)機(jī)械手的輸入轉(zhuǎn)矩優(yōu)化

張安民， 趙武

(1. 瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程系， 四川 廣安 646000；

2. 四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院， 四川 綿陽 621000)

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雙自由度串聯(lián)機(jī)械手的輸入轉(zhuǎn)矩優(yōu)化

張安民1， 趙武2

(1. 瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程系， 四川 廣安 646000；

2. 四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院， 四川 綿陽 621000)

摘要：針對串聯(lián)機(jī)械手在執(zhí)行任務(wù)過程中執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸入轉(zhuǎn)矩較大，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)運動不平穩(wěn)的問題，創(chuàng)建雙自由度串聯(lián)機(jī)械手運動簡圖模型.采用能量最小化控制方式，構(gòu)造能量控制的動力學(xué)方程，分析機(jī)械手關(guān)節(jié)角度、連桿質(zhì)量及各關(guān)節(jié)之間的距離，確定優(yōu)化關(guān)系式.采取優(yōu)化方法計算輸入轉(zhuǎn)矩的控制方程，得出輸入轉(zhuǎn)矩的最佳尺寸，并結(jié)合具體實例，在Matlab/Simulink軟件中對優(yōu)化后輸入轉(zhuǎn)矩進(jìn)行仿真.結(jié)果表明：與優(yōu)化前的仿真結(jié)果相比較，優(yōu)化設(shè)計后機(jī)械手輸入轉(zhuǎn)矩較小，整體波動相對平穩(wěn)，效果較好.

關(guān)鍵詞：機(jī)械手； 串聯(lián)； 雙自由度； 輸入轉(zhuǎn)矩； 動力學(xué)方程； 仿真分析

機(jī)械手是指能夠具備人手和臂的某些動作功能[1]，完成對現(xiàn)實生活中產(chǎn)品的加工、抓取及搬運等工作.機(jī)械手具有提高生產(chǎn)效率、連續(xù)工作、降低成本等很多優(yōu)點，主要應(yīng)用于航空航天、海洋探測、危險品搬運等許多行業(yè).當(dāng)前，機(jī)械手按照驅(qū)動方式分為機(jī)械式、液壓式、電動式及氣動式；按照機(jī)構(gòu)種類分為串聯(lián)式和并聯(lián)式；按照自由度分為單自由度式、雙自由度式及多自由度式.目前，對機(jī)械手輸入轉(zhuǎn)矩的研究文獻(xiàn)有許多.文獻(xiàn)[2-4]針對平面機(jī)械手關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩限制器控制問題進(jìn)行優(yōu)化研究，建立機(jī)械手空間模型，對力矩方程式進(jìn)行推導(dǎo)和分析.文獻(xiàn)[5-7]針對機(jī)械手輸入轉(zhuǎn)矩算法問題展開研究，采用神經(jīng)元網(wǎng)格算法，計算機(jī)械手輸入轉(zhuǎn)矩控制結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)了機(jī)械手運動過程中控制結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[8-10]針對機(jī)械手關(guān)節(jié)輸入轉(zhuǎn)矩最小化問題進(jìn)行研究，采用遺傳算法，對關(guān)節(jié)最小力矩的軌跡要求進(jìn)行優(yōu)化，保證機(jī)械手高速運轉(zhuǎn)時輸入轉(zhuǎn)矩最小.以往研究的串聯(lián)機(jī)械手在執(zhí)行任務(wù)過程中，執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸入轉(zhuǎn)矩較大，導(dǎo)致運動不平穩(wěn)，不能很好滿足任務(wù)的需求.機(jī)械手執(zhí)行機(jī)構(gòu)的負(fù)荷不僅取決于連桿上質(zhì)量的分布，也取決于有效運動的產(chǎn)生.鑒于此，本文基于能量最小化的優(yōu)化實現(xiàn)雙自由度串聯(lián)機(jī)械手的輸入轉(zhuǎn)矩最小化，通過動力學(xué)方程推導(dǎo)得到的優(yōu)化運動方程式，優(yōu)化各個相關(guān)參數(shù)，并通過Matlab/Simulation軟件對優(yōu)化輸入轉(zhuǎn)矩進(jìn)行仿真驗證.

1能量最小控制

1.1　機(jī)械手的動力學(xué)方程

雙自由度串聯(lián)機(jī)械手簡圖，如圖1所示.高度非線性動力學(xué)條件的耦合微分方程為

圖1　雙自由度串聯(lián)機(jī)械手Fig.1　Double degree of freedom serial manipulator

依照獲得的關(guān)節(jié)角度和角度的導(dǎo)數(shù)，可以將雙自由度非平衡串聯(lián)機(jī)械手的動力學(xué)方程(1)改寫為

1.2　改進(jìn)的計算力矩控制律[11-12]

在關(guān)節(jié)空間逆動力學(xué)中,對拉格朗日方程(1)中高度非線性化和高度耦合的動力學(xué)條件(參數(shù))進(jìn)行精確補(bǔ)償.對非線性反饋控制法則(前饋計算力矩)的計算為

圖2　反饋線性化結(jié)構(gòu)Fig.2　Structure of feedback linearization

1.3　二重積分器的閉環(huán)控制器

給定一個關(guān)節(jié)空間軌跡θj(t)，作為一個對控制器而言,是很明顯的選擇，它所產(chǎn)生的v(t)是一個比例-微分加上前饋加速度控制的函數(shù)，有

式(5)中：比例矩陣和微分矩陣KP和KD是正對角矩陣.

將式(5)代入式(4)可得

線性去耦的閉環(huán)系統(tǒng)，如圖3所示.反饋線性化結(jié)構(gòu)和閉環(huán)控制器之間的分隔因為若干原因變得重要.反饋線性化的結(jié)構(gòu)被拉格朗日方程固定住了.式(6)給出的閉環(huán)控制器僅僅是最簡單的選擇，能實現(xiàn)在由式(1)提供的模型具有完全知識的理想情況下，對關(guān)節(jié)空間軌跡進(jìn)行漸近追蹤.然而，具有完全的自由可以修改閉環(huán)控制器以實現(xiàn)不同的其他目標(biāo)(如增強(qiáng)針對參數(shù)不確定性、外部干擾等條件的魯棒性)，不需要修改專用于反饋線性化的結(jié)構(gòu).

圖3　線性去耦閉環(huán)系統(tǒng)Fig.3　Closed-loop system of linear decoupling

1.4　二重積分器的能量最小化

二重積分器系統(tǒng)表達(dá)式為

它是完全可以控制的.

尋找一個函數(shù)u(t)，它能引導(dǎo)x(0)=[0θI]到x(T)=[0θF]T，對以下積分進(jìn)行最小化，即

式(9)中：θI和θF分別是初始位置和最終位置.

在0≤t≤T區(qū)間，最小范數(shù)連續(xù)輸入[13]為

應(yīng)該注意到，這些保證了初始位置和最終位置間運動執(zhí)行的關(guān)系為系統(tǒng)提供了最小的能量消耗.

2轉(zhuǎn)矩最小化

考慮由于平衡重引起的輸入轉(zhuǎn)矩，有

為顯示平衡重質(zhì)心的轉(zhuǎn)動半徑對輸入轉(zhuǎn)矩的影響，將式(14)，(15)改寫為

為了獲得一個最小的均方根值，需要對以下和進(jìn)行最小化，即

三次方程式(19)的實數(shù)解可以由Viette-Cordano方法[14]表示為代數(shù)形式.為了確定根，首先應(yīng)該計算以下關(guān)系式，即

為了確定復(fù)數(shù)根，需要計算以下關(guān)系式，即

其中，實根為z1，j=Aj+Bj-aj/3.當(dāng)Aj= Bj時，復(fù)根變成實根，則有z2，j=-Aj-aj/3.

3設(shè)計實例

采用Matlab軟件對轉(zhuǎn)矩值進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化計算所得尺寸，如表1所示.將優(yōu)化后的尺寸參數(shù)輸入Matlab/Simulink中進(jìn)行輸入轉(zhuǎn)矩仿真，同時與優(yōu)化前的輸入轉(zhuǎn)矩進(jìn)行了對比，結(jié)果如圖4所示.圖4中：τ為轉(zhuǎn)矩輸入值；t為時間.

從圖4可知：優(yōu)化后的雙自由度機(jī)械手輸入轉(zhuǎn)矩值整體波動比較小，波動的最大值約為3.5 N·m；而優(yōu)化前的雙自由度機(jī)械手輸入轉(zhuǎn)矩值整體波動比較大，波動的最大值約為7.5 N·m.通過對比可知，優(yōu)化后輸入轉(zhuǎn)矩值相對優(yōu)化前大約減少了53%，轉(zhuǎn)矩輸入值有明顯地降低，效果較好.

圖4　轉(zhuǎn)矩輸入值仿真曲線Fig.4　Simulation curve of torque input value

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值θ1,I/(°)0m2/kg2.1lS2/m0.12θ2,I/(°)1.17l1/m0.35IS1/kg·m20.16θ1,F/(°)0.54lA,S1/m0.11IS2/kg·m20.11θ2,F/(°)1.69lB,S2/m0.11rCW1/m0.27m1/kg2.4lS1/m0.12rCW2/m0.16

4結(jié)束語

通過能量最小控制和優(yōu)化可動質(zhì)量重分布,對雙自由度串聯(lián)機(jī)械手進(jìn)行輸入轉(zhuǎn)矩最小化,雙自由度串聯(lián)機(jī)械手的輸入轉(zhuǎn)矩最小化由基于能量最小的優(yōu)化運動執(zhí)行實現(xiàn).通過對動態(tài)和靜態(tài)載荷引起的輸入轉(zhuǎn)矩的均方根值進(jìn)行最小化,得到了優(yōu)化的平衡重布置方式.推導(dǎo)得到了2個三次方程，使平衡重質(zhì)心回轉(zhuǎn)半徑的確定成為可能.最后，采取Matlab/Simulink軟件實現(xiàn)了優(yōu)化數(shù)值仿真.仿真結(jié)果顯示，優(yōu)化后的雙自由度串聯(lián)機(jī)械手的輸入轉(zhuǎn)矩有明顯地降低，為機(jī)械手的轉(zhuǎn)矩深入研究提供了參考依據(jù).

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(責(zé)任編輯： 黃曉楠英文審校： 楊建紅)

Input Torque Optimization of a Double Degree of

Freedom Serial Manipulator

ZHANG Anmin1， ZHAO Wu2

(1. Department of Mechanical and Engineering, Luzhou Vocational and Technical College， Guang′an 646000, China；

2. College of Manufacturing Science and Engineering， Sichuan University, Mianyang 621000, China)

Abstract：As for the problem that the input torque of the serial manipulator actuator is large in the executing process, which leads to the instability of the mechanism motion, a double degree of freedom serial manipulator kinematic sketch model is created. Using the energy minimization control method, the dynamic equation of the energy control is constructed. Manipulator joint angle, the quality of connecting rod, and the distance between joints are analyzed, then the optimization equation are determined. Taking the optimization method to calculate the input torque control equation, the optimal size of the input torque is obtained. Combining with concrete examples, the optimized input torque is simulated in the Matlab/Simulink software. Results show that compared with the simulation results before optimization, the optimized design of the manipulator input torque is smaller, the overall fluctuation is relatively stable and the result is better.

Keywords：manipulator; series; double degree of freedom; input torque; dynamic equation; simulation analysis

基金項目：四川省科技計劃項目(2013GZ0126)

通信作者：張安民(1965-)，男，副教授，主要從事機(jī)械制造及制造業(yè)信息化的研究.E-mail:201509zhangam@sina.com.

收稿日期：2015-10-10

中圖分類號：TP 241

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.01.0012

文章編號：1000-5013(2016)01-0012-05