Bandelet變換及其逼近特性分析

黃永

(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 云南 昭通 657000)

?

Bandelet變換及其逼近特性分析

黃永

(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 云南 昭通 657000)

摘要：首先，從幾何流和地平線模型出發(fā)，分析流積分及其掃描帶內(nèi)的邊緣表達(dá)；其次，抑制離散二元小波基函數(shù)的不足，構(gòu)建Bandelet變換的標(biāo)準(zhǔn)正交基；最后，對(duì)Bandelet變換在掃描帶內(nèi)的逼近特性進(jìn)行分析，構(gòu)建估計(jì)邊緣和真實(shí)邊緣的逼近誤差計(jì)算公式.結(jié)果表明：文中方法在圖像邊緣表達(dá)上可以得到最優(yōu)框架.

關(guān)鍵詞：Bandelet變換； 基函數(shù)； 逼近特性； 估計(jì)邊緣

Bandelet變換經(jīng)歷了兩代變換理論的發(fā)展，其主要應(yīng)用領(lǐng)域都是圖像稀疏表達(dá)和圖像壓縮[1-4].其中，Pennec對(duì)于第一代Bandelet變換做出了重要貢獻(xiàn)，他不僅參與提出第一代Bandelet變換理論，還進(jìn)一步對(duì)Bandelet變換進(jìn)行完善和發(fā)展，大大提升其在實(shí)際中的應(yīng)用性[5].Bandelet變換的最大優(yōu)勢(shì)在于，它彌補(bǔ)了小波變換各向異性特征表達(dá)的缺陷，更利于圖像的稀疏表達(dá)和稀疏編碼[6].第一代Bandelet變換技術(shù)是建立在小波變換的理論之上，從連續(xù)到離散進(jìn)行推理和演進(jìn)，進(jìn)而依托幾何流概念構(gòu)建Bandelet變換基函數(shù)，從而推動(dòng)離散Bandelet變換算法、連續(xù)Bandelet變換算法、快速Bandelet變換算法的發(fā)展[7-10].本文從Bandelet變換原理出發(fā)，進(jìn)而對(duì)Bandelet變換的帶內(nèi)逼近特性、全局逼近特性展開分析.

1Bandelet變換的基本原理

Bandelet變換是以處理圖像壓縮、圖像編碼、圖像稀疏表達(dá)為出發(fā)點(diǎn)建立的.

對(duì)g(x，y)作一個(gè)變換，即x=u，y=v+g(u)，分析Bandelet變換基函數(shù)的構(gòu)建.用θ(t)表示一維的小波函數(shù)，用?(t)表示這個(gè)小波函數(shù)對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)，分別記為

由此構(gòu)建二元小波基函數(shù)為

通過反解，可以獲得帶狀區(qū)域C上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，即

2Bandelet變換的帶內(nèi)逼近特性分析

假設(shè)J(x，y)表示一個(gè)模糊核，對(duì)這個(gè)模糊核執(zhí)行伸縮變換處理，其數(shù)學(xué)形式為

J1在集合[-1，1]2上得到支撐，則同時(shí)存在

模糊核J(x，y)可以對(duì)圖像邊緣施加處理，這個(gè)處理的范圍呈現(xiàn)為一個(gè)帶狀區(qū)域，用Ar表示.Ar區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到達(dá)邊緣的距離E符合如下關(guān)系，即

針對(duì)Bandelet變換在Ar區(qū)域內(nèi)的逼近特性展開分析.

Bandelet變換的原理始于幾何流，相應(yīng)的基函數(shù)的構(gòu)造也出于同源.因此，分析Bandelet變換的帶內(nèi)逼近特性，需要從幾何流的逼近特性開始.對(duì)于幾何流的逼近效果而言，要使其達(dá)到最佳，必須盡可能地減少控制參量的個(gè)數(shù)[11].

假設(shè)Ar可以在x軸上獲得投影，且投影區(qū)間位于[a，b]，可以計(jì)算出區(qū)間長度為d1=b-a.基于此，對(duì)于幾何流的逼近，可以使用尺度2k下的一族正交函數(shù)，如{fk，m(t)|d≤m≤d12-k}.在這簇正交函數(shù)中，支撐集合包含在[a，b]內(nèi)的函數(shù)可以用f(2-kt-m)描述，滿足

如果{fk，m(t)|d≤m≤d12-k}的空間Wk中含有q階次的多項(xiàng)式，則f(t)是緊支撐q階次的可微函數(shù).基于此，式(9)中的h(t)受控于尺度大小2k和(b-a)2-k個(gè)系數(shù){βm}.又因?yàn)閨h′(x)|≤2，忽略常數(shù)的影響，再做一假設(shè)h(a)=0，存在|h(x)|≤2d1，且存在一個(gè)常數(shù)Cf，這個(gè)常數(shù)僅和尺度函數(shù)f(t)存在關(guān)聯(lián)，且這個(gè)常數(shù)使不等式|βm|≤Cf(b-a)成立.

式(10)，(11)中：參數(shù)CE和尺度2k如果小到一定程度，流線積分h(x)和邊緣的精確特征E(x)之間的誤差就會(huì)控制地非常小.

正是因?yàn)榱鞣e分的存在，才能根據(jù)一維小波函數(shù)θ(t)構(gòu)造Bandelet變換的基函數(shù).為了簡化Bandelet變換基函數(shù)的表達(dá)，將θj，m(x)θj，n(y-h(x))用{cm}替代.那么，可以描述Bandelet變換基函數(shù)對(duì)幾何圖像g的稀疏的表達(dá)式為

至此，根據(jù)Bandelet變換對(duì)圖像的稀疏表達(dá)可知，整個(gè)表達(dá)需要N=Nh+Nc個(gè)參數(shù).其中：Nh表示流積分所用的參數(shù)；Nc表示實(shí)現(xiàn)圖像逼近所需的參數(shù).

最后，對(duì)Bandelet變換的逼近能力，給出如下結(jié)論.

除了得到Bandelet變換逼近特性的確定性誤差計(jì)算公式外，還可以得到一個(gè)結(jié)論：對(duì)于β階次地平線模型，Bandelet變換在一個(gè)Bandelet帶內(nèi)，可以達(dá)到最佳的逼近特性.

3Bandelet逼近特性在圖像分割中的應(yīng)用

3.1　Bandelet正交基框架

Bandelet變換起源于對(duì)圖像信息的壓縮編碼等處理，進(jìn)而又可以進(jìn)一步為圖像處理技術(shù)服務(wù)，在圖像分割方面有比較理想的應(yīng)用效果[12].

在Bandelet變換理論中，Bandelet變換正是由圖像中各個(gè)邊緣特征附帶的幾何流思想引申出來的.這些邊緣特征信息附帶的幾何流，可以被用于自適應(yīng)地跟蹤圖像之中可能存在的幾何正則方向.正常情況下，幾何流信息和圖像邊緣特征的走向是保持一致的.圖像中邊緣特征，如果放大到局部的任意一個(gè)點(diǎn)上，可以被區(qū)分為兩種情況：沿著水平方向排布的邊緣;沿著垂直方向排布的邊緣.

根據(jù)這樣的邊緣特征可能排布方向，圖像在二進(jìn)制表達(dá)的過程中，圖像的全部區(qū)域Θ可以形成一個(gè)細(xì)分的結(jié)果，其數(shù)學(xué)形式為Θ∪Θi.其中：Θi表征每一個(gè)被細(xì)分的圖像區(qū)域.這種細(xì)分工作做到非常細(xì)致的程度時(shí)，每一個(gè)Θi內(nèi)最多只保留一條邊緣特征線.圖像的分割情況，如圖1所示.圖1中：黑色的粗線為圖像中的邊緣特征；虛線框?yàn)榉指畛龅膮^(qū)域.最終分割出的區(qū)域可分為如下4種主要類型：

圖1　圖像的分割Fig.1　Image segmentation

1) 區(qū)域內(nèi)含有邊緣特征信息，且邊緣特征的方向是水平的；

2) 區(qū)域內(nèi)含有邊緣特征信息，且邊緣特征的方向是垂直的；

3) 區(qū)域內(nèi)含有邊緣特征信息，恰好是兩個(gè)方向走勢(shì)的邊緣特征不同走向，并形成相交；

4) 區(qū)域內(nèi)不含有任何邊緣特征信息.

進(jìn)一步定義一個(gè)正交投影的計(jì)算子，其數(shù)學(xué)表達(dá)形式為

式(14)中:QΛg(x，y)為這個(gè)正交投影的計(jì)算子；Λ為正交投影計(jì)算子的空間.

進(jìn)一步可以得出，在圖像分割形成后的每一個(gè)區(qū)域上的正交投影計(jì)算子，可以合并成L2([0，1]2)上的一個(gè)完整的框架，這個(gè)框架就是Bandelet正交基框架.

3.2　Bandelet字典和分割尋優(yōu)

實(shí)際上，構(gòu)建Bandelet框架的意義在于，將要分析的圖像按照支撐空間劃分成細(xì)小的區(qū)域.這樣每一個(gè)細(xì)小的區(qū)域上可以采用幾何流特征執(zhí)行Bandelet逼近處理或者小波逼近處理.這個(gè)分割處理的過程相當(dāng)于執(zhí)行二進(jìn)制分割的策略.首先，第一個(gè)層次上圖像被劃分成完全相等的4個(gè)小子塊圖像，可以采用四叉樹的方法對(duì)這個(gè)分割結(jié)果進(jìn)行表示.然后，每一個(gè)子塊的圖像又可以根據(jù)是否含有特征信息的具體情況進(jìn)一步執(zhí)行二進(jìn)制細(xì)分處理.

采用一個(gè)具體的圖形說明這一分割過程，如圖2所示.由圖2可知：原始圖像已經(jīng)被劃分為多個(gè)子塊圖像，分別是子塊圖像A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I，J，K，L，M.這是一個(gè)多次二進(jìn)制分割的結(jié)果，原始圖像經(jīng)過三級(jí)分割，子塊圖像M，L屬于第一級(jí)分割結(jié)果；左上角第一層級(jí)分割圖像又被分為4個(gè)子塊圖像，即子塊圖像E，F(xiàn)，G，H；右下角第一層級(jí)分割圖像又被分成4個(gè)子塊圖像，即子塊圖像I，J，K，以及最右下角的子塊圖像，它又被進(jìn)一步細(xì)分成4個(gè)三級(jí)子塊圖像，即子塊圖像A，B，C，D.

根據(jù)Bandelet變換構(gòu)建的原始圖像四叉樹表達(dá)，如圖3所示.由圖3可知：子塊圖像L，M成為第二級(jí)四叉樹節(jié)點(diǎn)；子塊圖像E，F(xiàn)，G，H，I，J，K成為第三級(jí)四叉樹節(jié)點(diǎn)；子塊圖像A，B，C，D成為第四級(jí)四叉樹節(jié)點(diǎn).當(dāng)然，子塊圖像L，M，E，F(xiàn)，G，H，I，J，K，A，B，C，D也都最終成為葉子節(jié)點(diǎn).

圖2　基于Bandelet變換的圖像二進(jìn)制分割處理　　　　　圖3　基于Bandelet變換的圖像四叉樹構(gòu)建　　Fig.2　Binary image segmentation based on Fig.3　Image 4-fork tree construction based on 　Bandelet tranform　　　　　　　　　　　　　　　　　Bandelet tranform

圖2所示的圖像分塊結(jié)果和圖3所示的四叉樹結(jié)果是一一對(duì)應(yīng)的.如果將原始圖像的整體寬度設(shè)置為1時(shí)，則對(duì)應(yīng)寬度為2-k的圖像子塊相當(dāng)于在Bandelet四叉樹中具有的節(jié)點(diǎn)深度為|k|.

在圖1中：每一個(gè)用Θi標(biāo)記的小圖像方塊，都可以采用一個(gè)參量表達(dá)這個(gè)小圖像方塊上的基函數(shù)是小波基函數(shù)，還是Bandelet基函數(shù).如果其中的基函數(shù)是Bandelet基函數(shù)的類型，還需要進(jìn)一步對(duì)Bandelet基函數(shù)構(gòu)建模型的類別進(jìn)行區(qū)分，即區(qū)分是水平方向上的基函數(shù)構(gòu)建模型，還是垂直方向上的基函數(shù)的構(gòu)建模型.

如前文所述，因?yàn)榛瘮?shù)模型需要借助流積分進(jìn)行構(gòu)造，因此，需要對(duì)在尺度2ki之下的流積分進(jìn)一步明確表達(dá)，即

原始圖像分割后形成的所有子塊圖像，其上的Bandelet基函數(shù)或小波基函數(shù)所構(gòu)建的完整集合，可以形成一個(gè)可用于Bandelet分析的逼近框架.即

式(16)中:F為一個(gè)子塊圖像上Bandelet基函數(shù)構(gòu)成的框架；B為這個(gè)子塊圖像上的Bandelet基函數(shù)；FC為全部子塊圖像形成的逼近框架，C為框架中所含有的全部參數(shù)的個(gè)數(shù)，C=CS+CH+CB，CS為原始圖像二進(jìn)制分割所需要的參量個(gè)數(shù)，CH為原始圖像幾何流表達(dá)所需要的參量個(gè)數(shù)，CB為原始圖像Bandelet表達(dá)所需要的參量個(gè)數(shù).

至此，要獲得圖像分割最優(yōu)結(jié)果的過程，就變成對(duì)式(16)的框架進(jìn)行尋優(yōu)的過程.如果原始圖像的分辨率可以限制在T2之內(nèi)，按照Lagrange方法對(duì)C計(jì)算式執(zhí)行尋優(yōu)過程，那么，原始圖像四叉樹的最大深度可以表示為‖|log2T2|-1‖.此時(shí)，如果將流積分參數(shù)βn執(zhí)行量化處理，則對(duì)于尺寸為2k的子圖像塊而言，在|βn|

4結(jié)束語

對(duì)Bandelet變換的基本原理及逼近特性展開研究.依托幾何流和地平線模型分析Bandelet變換的基礎(chǔ)流積分,在二元小波變換的理論基礎(chǔ)之上，構(gòu)建Bandelet變換的標(biāo)準(zhǔn)正交基.對(duì)Bandelet變換逼近特性進(jìn)行分析，并利用這種性質(zhì)實(shí)現(xiàn)圖像邊緣逼近的Bandelet最優(yōu)框架.

參考文獻(xiàn)：

[1]SHANTHII，VALARMATHIML.SARimagedespecklingusingpossibilisticfuzzyC-meansclusteringandedgedetectioninbandeletdomain[J].NeuralComputingandApplications，2013，23(1):279-291.

[2]楊楊，戴明，周籮魚，等.基于非下采樣Bandelet變換的多聚焦圖像融合[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版)，2014，44(2):525-530.

[3]PANDIANK，SOUNDARAK，KUMARE，etal.ReconstructionofmissingdatainVHRimagesusingBandeletandexemplarbasedinpaintingstrategies[C]∥3rdInternationalConferenceonComputerTechnologyandDevelopment.Chengdu：[s.n.]，2011：25-27.

[4]MAALOUFA,LARABIMC.Bandeletbasedstereoimagecoding[C]∥InternationalConferenceofAcoustics，Speech，andSignalProcessing.Dallas:IEEEPress,2010:698-701.

[5]MAALOUFA,LARABIMC.ImageretargetingusingaBandelet-basedsimilaritymeasure[C]∥InternationalConferenceonAcoustics，Speech，andSignalProcessing.Dallas:IEEEPress,2010:942-945.

[6]JANSENM，CHOIH，LAVUS，etal.Multiscaleimageprocessingusingnormaltriangulatedmeshes[C]∥InternationalConferenceonImageProcessing.Thessaloniki:IEEEPress,2001:229-232.

[7]WAKINM，ROMBERGJ，CHOIH，etal.Ratedistortionoptimizedimagecompressionusingwedgelets[C]∥InternationalConfernceonImageProcessing.Newyork:IEEEPress，2002:237-240.

[8]CANDESE，DONOHOD.NewtightframesofcurveletsandoptimalrepresentationsofobjectswithpiecewiseC2singularities[J].PureApplicationofMath，2004，57(4):219-266.

[9]潘曉明，余俊，楊釗，等.一種將線性粘彈微分型本構(gòu)方程應(yīng)用到ABAQUS的方法[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，31(5):570-575.

[10]ARTEAGAJA，VELASCOMJ.DesignofimagecodecbasedonBandelettransformusingaNIOSⅡprocessor[J].IngeniareRevistaChilenaDeIngenieria，2012，20(2):211-219.

[11]綦科,謝冬青.基于第二代Bandelet變換的抗幾何攻擊圖像水印[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2012,38(10):1646-1653.

[12]劉緒崇,羅永,王建新,等.基于第二代Bandelet變換的圖像認(rèn)證水印算法[J].通信學(xué)報(bào),2010,31(12):123-129.

(責(zé)任編輯： 錢筠英文審校： 吳逢鐵)

BandeletTransformandAnalysisofItsApproximationCharacteristics

HUANGYong

(CollegeofMathematicsandStatistics，ZhaotongUniversity，Zhaotong657000，China)

Abstract：Firstly, the flow integral and the edge expression in the scanning band are analyzed from the geometric flow and the horizon model. Secondly, the standard orthogonal basis of Bandelet transform is built by considering the problem of the suppression for the discrete wavelet basis functions. Finally, we analyze the approximation property of the Bandelet transform in the scanning band, and construct the approximate error figure for the estimating edge and the real edge. Results show that the optimal frame can be obtained by the image edge expression.

Keywords：Bandelet transform； basis function； approximation property； estimated edge

基金項(xiàng)目：云南省教育廳科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目(2014Y499)

通信作者：黃永(1966-)，女，副教授，主要從事Bandelet變換逼近特性的研究.E-mail:3281578930@qq.com.

收稿日期：2015-11-13

中圖分類號(hào)：TN 919.81

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.01.0062

文章編號(hào)：1000-5013(2016)01-0062-05