水平荷載作用下的框架支撐拓?fù)湫螒B(tài)創(chuàng)構(gòu)

姜寶石 ，崔昌禹

(1.海南大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，海南 ?？冢?70228；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱，150090)

框架結(jié)構(gòu)中梁內(nèi)力以彎曲為主，柱內(nèi)力以拉彎或壓彎為主，材料承載效率低，而結(jié)構(gòu)整體在水平荷載作用下表現(xiàn)為剪切變形，抗側(cè)剛度低變形大． 這些受力特性影響了框架結(jié)構(gòu)的應(yīng)用范圍，在高層建筑結(jié)構(gòu)中表現(xiàn)得尤為突出． 目前有很多學(xué)者致力于改善框架結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，以擴(kuò)展其應(yīng)用范圍． Liang 等[1]采用應(yīng)變能敏感度分析方法對連續(xù)體多層鋼框架進(jìn)行側(cè)向支撐的拓?fù)湫螒B(tài)創(chuàng)構(gòu)，方法中以移除單元為主要操作方式，尚不能實現(xiàn)單元的增加． 胡云昌和王國慶[2]以構(gòu)件截面為設(shè)計變量，通過單元級的滿應(yīng)力優(yōu)化和結(jié)構(gòu)級的滿位移優(yōu)化兩級優(yōu)化實現(xiàn)結(jié)構(gòu)重量的最小化． Ohsaki[3]介紹了日本桁架和框架結(jié)構(gòu)的發(fā)展現(xiàn)狀，目前桁架、框架優(yōu)化多以重量最小化為目標(biāo)函數(shù)，以節(jié)點和桿件截面面積為設(shè)計變量實現(xiàn)形狀和拓?fù)鋬?yōu)化，但難以在實際工程中應(yīng)用．Claus[4]研究了基于依賴路徑響應(yīng)的二維框架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，考慮了梁塑性鉸影響下的結(jié)構(gòu)重量最輕化．Wang[5]提出了以最大彎矩最小化為目標(biāo)的框架結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化方法． 黃冀卓和王湛[6]采用遺傳算法與基結(jié)構(gòu)法相結(jié)合的方式對桿系結(jié)構(gòu)進(jìn)行形態(tài)創(chuàng)構(gòu)，該方法即適用于桁架結(jié)構(gòu)也適用于框架結(jié)構(gòu)，但其設(shè)計變量是桿件截面面積且進(jìn)化中需要對結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)錂z查，影響了方法的效率．Chan和Wong[7]使用準(zhǔn)則法與遺傳算法的混合算法研究了高層鋼框架的拓?fù)浜蛦卧叽鐑?yōu)化設(shè)計，形成了較有效的支撐構(gòu)件分布．隋允康等[8]提出了框架結(jié)構(gòu)的截面和形狀兩級優(yōu)化算法，在截面層以截面慣性矩為設(shè)計變量，在應(yīng)力和位移約束下追求結(jié)構(gòu)重量最小化；在節(jié)點層以節(jié)點坐標(biāo)為設(shè)計變量，在結(jié)構(gòu)質(zhì)量約束下追求結(jié)構(gòu)最大位移的最小化，優(yōu)化過程中二者交替進(jìn)行取得了較好的優(yōu)化效果． 黃冀卓和王湛[9-10]將遺傳算法和漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法相結(jié)合，通過刪除遺傳算法中產(chǎn)生的無效單元，加快了結(jié)構(gòu)進(jìn)化速度，形成了求解連續(xù)型和離散型拓?fù)鋬?yōu)化問題的復(fù)合拓?fù)鋬?yōu)化算法, 并將其應(yīng)用于有支撐鋼框架結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中．其對水平荷載則采用對稱的方式來解決．Stromberg等[11]同時使用梁單元和四面體單元實現(xiàn)了框架結(jié)構(gòu)支撐優(yōu)化，取得了較好的效果．胡興國和程赫明[12]對漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn)，周期性對結(jié)構(gòu)周圍的材料進(jìn)行效率再評估，并進(jìn)行恢復(fù)，使結(jié)構(gòu)形式效果較漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法更好．這些方法多以結(jié)構(gòu)重量最小化為目標(biāo)函數(shù)，在以簡單結(jié)構(gòu)開始的設(shè)計時往往達(dá)不到預(yù)期目的，而這導(dǎo)致優(yōu)化設(shè)計時初始結(jié)構(gòu)需要足夠復(fù)雜，這給設(shè)計帶來不便．此外，對于水平荷載，如風(fēng)載，并沒有給出直接有效的解決方案．

為解決以上問題，本文以應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)，以梁單元為設(shè)計變量，以簡單初始結(jié)構(gòu)為進(jìn)化起點，提出了一種進(jìn)化策略和改進(jìn)的效率指標(biāo)來表征水平荷載作用下的構(gòu)件效率，并以典型算例來說明該策略對框架拓?fù)鋬?yōu)化的有效性和可行性．

1 形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法的數(shù)學(xué)模型

結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)問題可用以下數(shù)學(xué)模型來表述：

式中：C為結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能；S表示結(jié)構(gòu)形狀；Ω0為設(shè)計允許空間；σmax，δmax分別表示最大應(yīng)力和最大位移；0σ，0δ為允許應(yīng)力和允許位移．P表示設(shè)計變量，為單元（若無特殊說明，文中單元均為梁單元，節(jié)點均為剛接）．隨著進(jìn)化的進(jìn)行，結(jié)構(gòu)剛度變得越來越大，應(yīng)力和位移約束往往不起作用，該問題就變成了無約束優(yōu)化問題．

筆者在文獻(xiàn)[13]中介紹了一種桿系結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化思想，即以單元應(yīng)變能敏感度作為衡量單元承受荷載效率的評價指標(biāo)，撤除結(jié)構(gòu)中承載效率低的單元，在承載效率高的單元附近增加單元以減輕內(nèi)力較大單元的負(fù)擔(dān)，從而使結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布趨于均勻，提高結(jié)構(gòu)剛度．

向結(jié)構(gòu)添加較高效率的單元，可以減少結(jié)構(gòu)節(jié)點間的相對變形．這與向結(jié)構(gòu)中隨意添加單元不同，隨意增加單元可能會引起較大的不利內(nèi)力，反而使結(jié)構(gòu)剛度下降．算例表明在結(jié)構(gòu)高效傳力路徑出現(xiàn)之前，這種進(jìn)化策略可保證結(jié)構(gòu)向高效率的方向演化并使結(jié)構(gòu)剛度總體趨于增加，而在這之后結(jié)構(gòu)剛度會停留在某一水平呈現(xiàn)微小的波動．

2 單元效率指標(biāo)的推證

有限元基本方程和應(yīng)變能的表達(dá)式，如式(2)-(3)所示：

式中：F為整體坐標(biāo)系中的荷載向量，U為整體坐標(biāo)系下結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移向量，K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣．

令結(jié)構(gòu)變化后的結(jié)構(gòu)剛度矩陣為，則由n個單元構(gòu)成的結(jié)構(gòu)體的第i個單元被消除或者增加前后的結(jié)構(gòu)剛度矩陣變化量為

假定單元的消除或增加對荷載向量的影響忽略不計，則

帶入得到：

與其他項相比，ΔKΔU是二階小量，可以假定因此，得到節(jié)點位移變化量的表達(dá)式：

結(jié)構(gòu)變化前后應(yīng)變能變化量

于是，推得結(jié)構(gòu)應(yīng)變能變化量

當(dāng)結(jié)構(gòu)只消除或者增加一個單元時，結(jié)構(gòu)的單元增減應(yīng)變能敏感度α公式可以表達(dá)為

3 尋找高效傳力路徑的進(jìn)化策略

結(jié)構(gòu)進(jìn)化一般需要一個初始設(shè)計，以結(jié)構(gòu)重量最小化為優(yōu)化目標(biāo)的演化方式需要一個復(fù)雜初始結(jié)構(gòu)才能達(dá)到目標(biāo)．這為方法的工程設(shè)計應(yīng)用帶來不便．

為解決這一問題，提出一種新的進(jìn)化策略：即以較簡單結(jié)構(gòu)（只包含基本的結(jié)構(gòu)信息和建筑信息）作為結(jié)構(gòu)進(jìn)化的初始設(shè)計，在文獻(xiàn)[13]的拓?fù)鋬?yōu)化方式基礎(chǔ)上，通過在進(jìn)化過程中調(diào)整文獻(xiàn)[13]的式（13）-（16）的單元增減操作的經(jīng)驗系數(shù)的大小來改變增加閾值和消除閾值，實現(xiàn)單獨的單元增加和單元減少操作．先增加單元，使結(jié)構(gòu)的高效傳力路徑出現(xiàn)并連續(xù)，其標(biāo)志是應(yīng)變能隨單元增加而趨于平緩，這表明新增高效單元已對提高結(jié)構(gòu)剛度作用較小；此時再從新確定增加閾值和消除閾值，消除結(jié)構(gòu)中低效單元，直至結(jié)構(gòu)應(yīng)變能因低效單元的消除而偏離當(dāng)前的應(yīng)變能水平為止，并取前一迭代步為最終進(jìn)化結(jié)果．

為方便起見，把這種進(jìn)化策略稱為“先增后減策略”．

4 單元敏感度的修正

在第2節(jié)中所述效率指標(biāo)只適用單一荷載作用時的形態(tài)創(chuàng)構(gòu)，對于水平荷載作用的框架結(jié)構(gòu)則存在困難．故提出水平荷載作用下的結(jié)構(gòu)單元效率指標(biāo)的修正．

如圖1所示超靜定框架，單元1和單元2是完全對稱的，在右側(cè)荷載P作用下單元1和單元2的應(yīng)變能敏感度大小不等．在單元增減時，增加的是敏感度值大的單元，進(jìn)化后結(jié)構(gòu)不再對稱． 這樣的單元增減操作在荷載作用下存在問題：由于結(jié)構(gòu)所受水平荷載來向改變：圖1所示水平荷載P可從左側(cè)作用也可從右側(cè)作用，在該荷載作用下，圖1a)中的單元1和b)中的單元2對結(jié)構(gòu)的貢獻(xiàn)應(yīng)相同；但當(dāng)只考慮一側(cè)荷載進(jìn)行單元增減，得到的結(jié)構(gòu)也只是在該方向水平荷載作用下的合理結(jié)構(gòu)，而在反方向水平荷載作用下該結(jié)構(gòu)卻是不合理結(jié)構(gòu)甚至是薄弱結(jié)構(gòu)．解決方法是更新結(jié)構(gòu)單元的效率評價指標(biāo)iα，如式(11)所示，令

圖1 左右作用荷載的框架結(jié)構(gòu)Fig.1 The frame structure with left or right load

5 框架拓?fù)湓鰷p操作的實現(xiàn)方法

方法實現(xiàn)程序流程如圖 2所示． 水平荷載作用下框架結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)方法的基本步驟可歸結(jié)為:

圖2 方向可變水平荷載下框架拓?fù)鋭?chuàng)構(gòu)流程Fig.2 The topological morphogenesis flow of frame structure with left or right lateral load

(1) 根據(jù)建筑空間條件、結(jié)構(gòu)條件、視覺條件確定初始結(jié)構(gòu)．

(2)用式(10)分別計算向左/向右的水平荷載下結(jié)構(gòu)各單元應(yīng)變能敏感度．

(3)用式(11)修正結(jié)構(gòu)單元的效率指標(biāo)．

(4)按第3節(jié)所述方式進(jìn)行拓?fù)洳僮?，更新結(jié)構(gòu)．

(5)采用先增后減策略重復(fù)(2)～(4)操作步驟，直至滿足設(shè)定的收斂條件，收斂條件參見文獻(xiàn)[13]中的式（23）．

6 算例與方法特點

(1) 進(jìn)化策略的驗證

為驗證該進(jìn)化策略的有效性，對一集中荷載作用的簡單桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)湫螒B(tài)創(chuàng)構(gòu)，此時效率指標(biāo)不修正．

如圖3所示，初始結(jié)構(gòu)為120 m×20 m的矩形框，節(jié)點布置如圖中黑點所示． 一集中荷載F=1 kN作用在結(jié)構(gòu)上部中點處，簡支，結(jié)構(gòu)單元采用梁單元．尺寸如圖所示．其中l(wèi)=20 m，彈性模量面慣性矩I=245 cm4．為避免過長桿件出現(xiàn)，進(jìn)化過程中限制桿長

圖3 初始結(jié)構(gòu)及節(jié)點布置Fig.3 The initial structure and nodal distribution

進(jìn)化過程中保持材料參數(shù)和單元截面與已有單元一致． 結(jié)構(gòu)進(jìn)化過程如圖4所示，Step1～Step4增加單元，Step5-Step7撤除單元，最終結(jié)果和均質(zhì)化方法結(jié)果(圖5)相近．這表明該進(jìn)化策略有效．

圖4 進(jìn)化過程中的結(jié)構(gòu)形態(tài)Fig.4 The structural shape in evolutionary process

圖5 均質(zhì)化方法得到的結(jié)構(gòu)Fig.5 The structure by Homogenization method

圖6為結(jié)構(gòu)進(jìn)化過程中應(yīng)變能相對值變化． 由曲線可以看出，結(jié)構(gòu)單元增加使結(jié)構(gòu)剛度增加，應(yīng)變能迅速降低，到Step4時表明增加單元已不能使結(jié)構(gòu)的剛度明顯提高，應(yīng)變能降低幅度也大大變?。畯腟tep5開始去除低效單元，結(jié)構(gòu)剛度略有降低，應(yīng)變能增加幅度微小，繼續(xù)減少結(jié)構(gòu)單元，最終得到Step7的結(jié)構(gòu)． 此結(jié)構(gòu)每個單元的應(yīng)變能占結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能的比重都比較大，不能繼續(xù)消除單元． 如果繼續(xù)減少，即使只減少一根單元，也會使結(jié)構(gòu)剛度急劇降低

圖6 進(jìn)化過程中應(yīng)變能相對值的變化Fig.6 The change of strain energy

圖 7為結(jié)構(gòu)進(jìn)化中的最大軸力和最大彎矩變化．最大軸力總體呈現(xiàn)上升趨勢，而最大彎矩則持續(xù)下降，Step4以后保持在一個很低的水平上．顯然，結(jié)構(gòu)內(nèi)力在進(jìn)化過程中都呈現(xiàn)改善趨勢．

此算例表明這種創(chuàng)構(gòu)策略可快速找到結(jié)構(gòu)的高效傳力路徑，且初始結(jié)構(gòu)單元數(shù)較少，只需滿足荷載和約束的基本條件即可，初始結(jié)構(gòu)輸入信息量很低，有利于提高設(shè)計效率．

圖7 最大軸力和最大彎矩相對值變化Fig.7 The change of maximum axis force and bending moment

（2）水平荷載作用下效率指標(biāo)的驗證

在進(jìn)行框架結(jié)構(gòu)的形態(tài)創(chuàng)構(gòu)時，初始形態(tài)與傳統(tǒng)框架相同，進(jìn)化過程中保持這些構(gòu)件不變，通過尋求合理支撐布置來提高結(jié)構(gòu)抗側(cè)剛度．同時為便于實際工程應(yīng)用，新增支撐構(gòu)件必須限制在每層和每一跨內(nèi)，而構(gòu)件端點不能跨層交錯連接．

為保證這一要求，算例中新增單元的長度進(jìn)行了限制．

圖8 框架結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋭?chuàng)構(gòu)過程Fig.8 The topologcal morphogenesis of the frame structure

圖9 應(yīng)變能相對值變化Fig.9 The change of strain energy

跨度6 m層高4 m的12層三跨平面框架結(jié)構(gòu)，10 kN水平集中荷載施加在每層樓板處． 考慮到每層總水平剪力從上到下逐漸增加，在布置桿件截面時將整體結(jié)構(gòu)分為三部分：最下部三層、最上部五層以及中間四層，每部分選用的截面從下到上逐步增大． 桿件為圓鋼管，從下到上的截面直徑D和壁厚t依次為：(1)D=219 mm，t=6 mm；(2)D=159 mm，t=4.5 mm和(3)D=100 mm，t=4 mm，彈性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3．進(jìn)化中初始結(jié)構(gòu)構(gòu)件保持不變，同時限制桿長大于4 m，且不大于5.0 m以保證桿件只會在同層相近節(jié)點之間連接．單元增減敏感度用式(11)進(jìn)行修正． 構(gòu)件自重按照外荷載加在節(jié)點荷載向量中，因外荷載遠(yuǎn)大于自重，自重對應(yīng)變能敏感度的影響很小，可忽略不計．圖8是結(jié)構(gòu)進(jìn)化過程，先向框架中增加桿件，待結(jié)構(gòu)高效受力構(gòu)件出現(xiàn)后(如Step50所示)，控制操作參數(shù)，消除低效桿件（此時的操作是增加與減少桿件同時進(jìn)行的，只是減少的桿件數(shù)量要多于增加的桿件數(shù)量），最終結(jié)構(gòu)形式如圖Step102所示． 此結(jié)構(gòu)每層最多布置兩個桿件，桿件之間形成了連續(xù)的側(cè)向支撐，可有效傳遞側(cè)向荷載．

圖10 最大彎矩和最大軸力變化Fig.10 The change of maximum inner force

圖9是結(jié)構(gòu)應(yīng)變能變化情況，結(jié)構(gòu)在Step10之后，應(yīng)變能保持在一個較低水平，為初始結(jié)構(gòu)的1.5%左右．可以看到Step50和Step102的應(yīng)變能幾乎差不多，但從圖8可知桿件數(shù)量卻相差很多． 這充分說明，結(jié)構(gòu)剛度的增加不是簡單的增加桿件即可，而是要按照結(jié)構(gòu)高效傳力路徑布置桿件．

圖 10是結(jié)構(gòu)的最大彎矩和最大軸力變化情況．最終結(jié)構(gòu)的最大軸力較初始結(jié)構(gòu)有較大降低，約為初始結(jié)構(gòu)的60.0 %．而最大彎矩則降低為初始結(jié)構(gòu)的5.8 %．Step102所示的最終結(jié)構(gòu)的最大水平位移是3.45 cm，為初始結(jié)構(gòu)最大水平位移的1.8 %，結(jié)構(gòu)剛度提高顯著．

圖 11表示同樣形式的框架結(jié)構(gòu)在水平集中荷載作用下的另一拓?fù)溥M(jìn)化過程，區(qū)別是初始結(jié)構(gòu)所有桿件截面都一樣，選用直徑D=100 mm，壁厚t=4 mm的圓鋼管，操作策略同前．可以看到不同的結(jié)構(gòu)桿件截面設(shè)置，得到的傳力路徑不同，結(jié)構(gòu)形式也不同．Step111的最終結(jié)構(gòu)中下部每層設(shè)置四根斜支撐，其最大水平位移是 1.61 cm，為初始結(jié)構(gòu)最大水平位移的1.0 %．本節(jié)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)的基本方式都是先增加桿件使得高效受力構(gòu)件出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)中，再減少桿件，將低效桿件從結(jié)構(gòu)中移除．這種思路具有普適性，亦可用于其它形式結(jié)構(gòu)的形態(tài)創(chuàng)構(gòu)以獲得高剛度的高效結(jié)構(gòu)．

圖11 框架結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋭?chuàng)構(gòu)過程Fig.11 The topological morphogenesis of the frame structure

7 結(jié)論

在以往研究的基礎(chǔ)上，針對水平荷載下的框架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋭?chuàng)構(gòu)問題，提出了改進(jìn)的構(gòu)件效率指標(biāo)和創(chuàng)構(gòu)策略，通過算例說明了方法的有效性．主要得到以下結(jié)論：

(1) 改進(jìn)的效率指標(biāo)對尋找水平荷載作用下框架結(jié)構(gòu)的有效支撐有效，所得結(jié)構(gòu)支撐分布連續(xù)簡潔，抗側(cè)剛度大．文中所得結(jié)構(gòu)形式也可為格構(gòu)式結(jié)構(gòu)墻作設(shè)計參考．

(2) 本文尋找高效傳力路徑的“先增后減”策略具有普遍性，可在其他結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)中得到推廣．同時以簡單初始結(jié)構(gòu)為進(jìn)化起點的方式也為拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計的工程應(yīng)用提供方便．

最后需要指出的是，從方法原理可知，該方法可用于非對稱結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫螒B(tài)創(chuàng)構(gòu)．此外，本文方法如果結(jié)合節(jié)點位置調(diào)整，可預(yù)期獲得更佳效果，將在后續(xù)研究中展開詳盡的探討．

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