劉 帥, 閆鋒剛, 金 銘, 喬曉林
(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院, 山東 威海 264209)
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基于四元數(shù)MUSIC的錐面共形陣列極化-DOA聯(lián)合估計(jì)
劉帥, 閆鋒剛, 金銘, 喬曉林
(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院, 山東 威海 264209)
摘要:基于交叉偶極子構(gòu)成的錐面共形陣列,建立了四元數(shù)表示的錐面共形陣列模型并提出了四元數(shù)多重信號(hào)分類 (multiple signal classification,MUSIC)算法。算法通過同極化子陣的構(gòu)造以及秩損原理實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)向矢量中極化信息和波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)信息的剝離,進(jìn)而得到入射信號(hào)的二維DOA估計(jì)和極化參數(shù)估計(jì),有效降低了極化-DOA聯(lián)合估計(jì)的計(jì)算量。仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性。
關(guān)鍵詞:錐面共形陣列; 四元數(shù); 極化-DOA聯(lián)合估計(jì)
0引言
由于具有滿足空氣動(dòng)力學(xué)要求、節(jié)省空間、減輕重量、極化敏感、充分利用孔徑改善波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計(jì)精度等優(yōu)點(diǎn),共形陣列[1]在軍事、航空、航天、通信等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。電磁波極化信息包括極化角和極化相位,其在軍事上的應(yīng)用可以提高地基雷達(dá)的抗干擾能力,提高機(jī)載雷達(dá)抑制地雜波和區(qū)分目標(biāo)的能力,提高偵測系統(tǒng)信號(hào)分選與識(shí)別能力等;在移動(dòng)通信中的應(yīng)用,可以克服共信道干擾和多徑衰落干擾,提高信道利用率,提高通信質(zhì)量。錐面共形陣列作為共形陣列的典型代表,在機(jī)載、彈載等平臺(tái)上有廣泛的應(yīng)用前景。因此,開展基于錐面共形陣列的多參量估計(jì)算法研究具有十分重要的意義。
目前在共形陣列的研究方面,已取得較多的研究成果[2-12]。其中文獻(xiàn)[2]采用流形分離技術(shù)(manifold separation technique, MST)實(shí)現(xiàn)了共形陣列下全極化和差波束形成;文獻(xiàn)[3]利用線性約束最小方差(linearly constrained minimum variance, LSMV)準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)了共形陣列條件下的寬帶自適應(yīng)波束形成;文獻(xiàn)[4]采用基于遺傳算法的投影方法,實(shí)現(xiàn)了共形陣列條件下的低旁瓣波束形成。在錐面共形陣列參數(shù)估計(jì)方面,文獻(xiàn)[5]利用錐面共形陣列的多極化特性,結(jié)合多重信號(hào)分類 (multiple signal classification,MUSIC)算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)入射信號(hào)的極化-DOA聯(lián)合估計(jì);文獻(xiàn)[6]針對(duì)電磁偶極子構(gòu)成的錐面共形陣列,先由坡印廷矢量得到信號(hào)到達(dá)角的粗略估計(jì),再對(duì)下圓環(huán)子陣解相位模糊,最終得到DOA的精確估計(jì)值;文獻(xiàn)[7]通過陣元結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),給出了基于旋轉(zhuǎn)不變子空間算法(estimation of signal parameters via rotational invariant techniques, ESPRIT)的錐面共形陣列解相干空間平滑算法,實(shí)現(xiàn)了相干信源的高分辨DOA估計(jì);文獻(xiàn)[8]通過空間平滑實(shí)現(xiàn)了信源的解相干,由ESPRIT算法完成了多個(gè)相干信源DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)。此外,文獻(xiàn)[9]實(shí)現(xiàn)了共形陣列條件下寬帶信號(hào)的波束掃描,其1 dB增益帶寬達(dá)到20%;文獻(xiàn)[10]通過MST技術(shù)實(shí)現(xiàn)了球面共形陣列條件下的穩(wěn)健的波束形成算法;文獻(xiàn)[11]利用四階累積量和旋轉(zhuǎn)不變子空間算法實(shí)現(xiàn)了共形陣列(錐面、柱面、球面)條件下的盲極化DOA估計(jì);文獻(xiàn)[12]首先對(duì)柱面共形陣列進(jìn)行建模,然后通過旋轉(zhuǎn)不變子空間算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)入射信號(hào)DOA和極化參數(shù)的估計(jì)。
綜上,基于錐面共形陣列的多參量聯(lián)合估計(jì)算法大多通過ESPRIT算法實(shí)現(xiàn),在多參量估計(jì)過程中需要參數(shù)配對(duì);而基于MUSIC的多參量估計(jì)算法需要在二維極化域和二維DOA域構(gòu)成的四維空間內(nèi)尋優(yōu),計(jì)算量巨大。
四元數(shù)是一種長復(fù)數(shù)的表示形式,將其應(yīng)用于極化敏感陣列可以實(shí)現(xiàn)對(duì)色噪聲的有效抑制以及降維參數(shù)估計(jì)等。在極化敏感陣列多參量估計(jì)方面,文獻(xiàn)[13]提出了四元數(shù)模型下的矢量傳感器信號(hào)建模和處理的新方法。此后文獻(xiàn)[14]通過定義四元數(shù)的相關(guān)函數(shù),利用四元數(shù)MUSIC算法在高斯背景下有效地估計(jì)出了信號(hào)參數(shù)。國內(nèi)方面,文獻(xiàn)[15]針對(duì)極化敏感陣列,通過八元數(shù)的定義以及相應(yīng)矩陣的特征值分解實(shí)現(xiàn)了八元數(shù)MUSIC算法,該方法相對(duì)于經(jīng)典長矢量算法有效地提高了參數(shù)估計(jì)性能。文獻(xiàn)[16]在建立電磁矢量傳感器陣列四元數(shù)模型的基礎(chǔ)上,利用四元數(shù)-MUSIC方法實(shí)現(xiàn)了參數(shù)估計(jì)的降維處理,降低了極化-DOA聯(lián)合估計(jì)算法的計(jì)算量。綜上,基于四元數(shù)的多參量估計(jì)算法主要通過對(duì)導(dǎo)向矢量的四元數(shù)表示,將極化參數(shù)與DOA參數(shù)的“去耦合”,進(jìn)而得到多參量估計(jì)結(jié)果。由于錐面共形陣列的特點(diǎn)導(dǎo)致其全局坐標(biāo)系下陣元的極化形式不完全一致,因此已有的四元數(shù)MUSIC算法無法應(yīng)用于錐面共形陣列。
本文首先建立了由四元數(shù)表示的錐面共形陣列信號(hào)模型,然后通過構(gòu)造若干同極化子陣并結(jié)合秩損理論給出了基于錐面共形陣列的四元數(shù)MUSIC算法,實(shí)現(xiàn)了極化和DOA參數(shù)聯(lián)合估計(jì)的降維處理。算法先估計(jì)入射信號(hào)的DOA參數(shù),再由文獻(xiàn)[5]中給出的長矢量MUSIC算法估計(jì)信號(hào)的極化參數(shù),有效地降低了計(jì)算量,且自動(dòng)完成參數(shù)配對(duì)。最后通過仿真實(shí)驗(yàn)比較了四元數(shù)MUSIC算法和長矢量MUSIC算法的估計(jì)精度。
1四元數(shù)定義及性質(zhì)
(1) 四元數(shù)定義
設(shè)q=a+bi+cj+dk,a,b,c,d∈R,若i,j,k滿足:i2=j2=k2=-1,其中ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j則稱數(shù)q為四元數(shù),稱a為四元數(shù)q的實(shí)部,稱bi+cj+dk為q的虛部。
(2) 四元數(shù)矩陣的特征值分解
(1)
(2)
2基于四元數(shù)的錐面共形陣列模型
2.1雙極化錐面共形陣列
雙極化錐面共形陣列由交叉偶極子在錐面載體共形形成,其具體形式如圖1所示[2,5],圓錐頂點(diǎn)處存在一個(gè)陣元,其下排列了若干圓環(huán)陣,n為由上至下的圓環(huán)陣序號(hào),d為圓環(huán)陣間距離,每個(gè)圓環(huán)陣包含8個(gè)陣元,每個(gè)圓環(huán)陣中陣元序號(hào)m按逆時(shí)針方向排序,起始陣元位于X正半軸上,β為圓錐頂角的1/2。陣元坐標(biāo)可表示為
(3)
(4)
(5)
圖1 雙極化錐面共形陣列示意圖
2.2雙極化錐面共形陣列信號(hào)模型
假設(shè)有M個(gè)信號(hào)入射到由N個(gè)雙極化陣元構(gòu)成的錐面共形陣列,其信號(hào)模型[5]可表示為
(6)
(7)
(8)
式中,“⊙”為矩陣的Hadamard乘積;a(θi,φi)為導(dǎo)向矢量中與入射信號(hào)DOA相關(guān)的空域信息(具體形式見文獻(xiàn)[5]);p(θi,φi,γi,ηi)為導(dǎo)向矢量中的極化信息,可表示為
(9)
(10)
由以上討論可知,式(8)所示的雙極化錐面共形陣列導(dǎo)向矢量中的每個(gè)元素代表雙極化陣元的一個(gè)極化單元對(duì)入射信號(hào)的響應(yīng),因此對(duì)N個(gè)雙極化陣元構(gòu)成的共形陣列而言,其導(dǎo)向矢量的維數(shù)為2N。
2.3雙極化錐面共形陣列四元數(shù)模型
對(duì)于錐面共形陣列中的第k個(gè)雙極化陣元,其兩個(gè)極化單元對(duì)第i個(gè)信號(hào)源的響應(yīng)可以用一個(gè)二維列向量表示為
(11)
將pki用四元數(shù)表示為
(12)
此時(shí),陣列的導(dǎo)向矢量用四元數(shù)表示為
(13)
(14)
(15)
式中,k和l分別為入射信號(hào)方向矢量和陣元的位置矢量,具體定義見文獻(xiàn)[5]。
觀察式(13)可以發(fā)現(xiàn),由于錐面共形陣列中每個(gè)雙極化陣元受載體曲率的影響,使陣元在全局坐標(biāo)下具有不同的極化狀態(tài)。對(duì)同一個(gè)入射信號(hào)而言,共形陣列中陣元的極化響應(yīng)不同,所有陣元的極化響應(yīng)不能用一個(gè)四元數(shù)表示,而應(yīng)為式(15)所示的四元數(shù)向量。此時(shí)四元數(shù)定義下的錐面共形陣列信號(hào)模型可以表示為
(16)
式中
(17)
(18)
式(18)為噪聲向量在四元數(shù)模型下的表示,其中元素可以表示為
(19)
式中,nih(t)和niv(t)表示疊加在第i個(gè)陣元兩個(gè)極化單元上的復(fù)噪聲。
與共形陣列不同,文獻(xiàn)[16]給出的由偶極子構(gòu)成的傳統(tǒng)極化敏感陣列,其四元數(shù)定義下的導(dǎo)向矢量表示為
(20)
綜上,完成了雙極化錐面共形陣列在四元數(shù)定義下的信號(hào)建模。對(duì)比式(13)和式(20)可知,共形陣列四元數(shù)模型與一般極化敏感陣列的四元數(shù)模型差別在于:由于共形載體曲率的影響,陣元的方向圖發(fā)生旋轉(zhuǎn),使得共形陣列中不同陣元感受到入射信號(hào)的極化信息不同,不能使用一個(gè)四元數(shù)表示所有陣元的極化輸出;而對(duì)一般極化敏感陣列來說,由于每個(gè)陣元的擺放形式一致,陣列中所有陣元感受到的入射信號(hào)極化信息相同,可以使用一個(gè)四元數(shù)表示所有陣元的四元數(shù)輸出。因此傳統(tǒng)的降維四元數(shù)MUSIC算法無法直接應(yīng)用于共形陣列,需要研究一種適用于雙極化錐面共形陣列的降維四元數(shù)MUSIC算法。
3基于錐面共形陣列的四元數(shù)MUSIC算法
3.1傳統(tǒng)極化敏感陣列的四元數(shù)MUSIC算法
文獻(xiàn)[16]給出了基于傳統(tǒng)極化敏感陣列的四元數(shù)算法,其主要處理過程為:計(jì)算陣列的四元數(shù)自相關(guān)函數(shù)
(21)
(22)
(23)
將式(20)代入式(23),并整理可得
(24)
其中
(25)
(26)
由式(26)構(gòu)造的空間譜函數(shù)在(θ,φ)二維搜索得到M個(gè)極大值即對(duì)應(yīng)信號(hào)的入射方向。在得到二維DOA估計(jì)值后,將其代入聯(lián)合譜中做(γ,η)兩維的逐個(gè)搜索即可估計(jì)得到信號(hào)的極化參數(shù)。
3.2錐面共形陣列的四元數(shù)MUSIC算法
由第2節(jié)討論可知,錐面共形陣列四元數(shù)模型與一般極化敏感陣列四元數(shù)模型相比,差別主要在于共形載體曲率導(dǎo)致的陣元方向圖的旋轉(zhuǎn),使共形陣列導(dǎo)向矢量的表達(dá)形式不同于一般極化敏感陣列,傳統(tǒng)四元數(shù)MUSIC算法無法直接應(yīng)用。本文根據(jù)錐面共形陣列特點(diǎn),從布陣形式入手,結(jié)合秩損原理[17],實(shí)現(xiàn)了錐面共形陣列下的四元數(shù)MUSIC算法。
考慮對(duì)錐面共形陣列構(gòu)造極化形式相同的子陣,構(gòu)造方法如圖1所示。由共形陣列的建模過程可知[2,5],圖1中的錐面共形陣列,除去原點(diǎn)處陣元,S1、S2、S3 3條母線上各自的陣元具有相同的極化形式。
假設(shè)錐面共形陣列共有L條母線,每條母線上的陣元個(gè)數(shù)為K,則錐面共形陣列的陣元數(shù)N=L×K+1。由式(13)~式(15)可知,此時(shí)錐面共形陣列的導(dǎo)向矢量可以表示為
(27)
式(27)可重寫為
(28)
式中
(29)
其中
(30)
(31)
將式(28)代入到式(23)中,整理可得
(32)
式中
(33)
(34)
式中,det[·]表示求行列式值。
(35)
根據(jù)四元數(shù)矩陣行列式與矩陣特征值關(guān)系,可得對(duì)入射信源的二維DOA估計(jì)為
(36)
式中,λmin{·}為求矩陣的最小特征值。
在得到入射信號(hào)源的DOA估計(jì)結(jié)果后,即可使用MUSIC算法[5]實(shí)現(xiàn)對(duì)極化參數(shù)的估計(jì)
(37)
綜上,可得四元數(shù)MUSIC算法的具體步驟為:
步驟 5將得到的入射方向估計(jì)值分別代入式(37),做極化參數(shù)的二維搜索得到與入射信號(hào)對(duì)應(yīng)的極化參數(shù)估計(jì)值。
4仿真實(shí)驗(yàn)
(1) 驗(yàn)證四元數(shù)MUSIC算法的有效性。仿真中取雙極化錐面共形陣列,形式如圖1所示,具體參數(shù)為:β=20°,圓環(huán)陣個(gè)數(shù)3,由上至下每個(gè)圓環(huán)均勻分布8個(gè)陣元。圓環(huán)陣之間的高度為2.75λ,最底層圓環(huán)陣的半徑為3λ,λ為入射信號(hào)波長。
假設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立信號(hào)源入射到陣列,入射參數(shù)分別為(θ1,φ1,γ1,η1)=(15°,50°,45°,90°),(θ2,φ2,γ2,η2)=(35°,150°,70°,0°),信噪比均為10 dB,快拍數(shù)為500。可由四元數(shù)MUSIC算法得到陣列的估計(jì)結(jié)果如圖2所示。
圖2 雙極化錐面共形陣列四元數(shù)算法結(jié)果圖
由圖2(a)的仿真結(jié)果可以看出,對(duì)于兩個(gè)不同極化的入射信號(hào),通過四元數(shù)降維算法在角度域形成了二維譜峰,譜峰位置分別為(15°,50°)和(35°,150°)與仿真中設(shè)置的信號(hào)入射方向相同。
四元數(shù)MUSIC算法在得到入射信號(hào)的兩個(gè)DOA估計(jì)值后,將其分別代入式(37)描述的聯(lián)合譜中,做極化域的二維搜索可得對(duì)入射信號(hào)極化參數(shù)的估計(jì)結(jié)果如圖2 (b)和圖2(c)所示,可分別得到兩個(gè)信號(hào)的極化參數(shù)估計(jì)結(jié)果為 (45°,90°)和(70°,0°)。由于在極化域搜索時(shí),已知信號(hào)的DOA信息,因此四元數(shù)MUSIC算法自動(dòng)實(shí)現(xiàn)了極化-DOA參數(shù)的配對(duì)。
對(duì)共形陣列而言,在采用文獻(xiàn)[5]中的MUSIC算法估計(jì)信號(hào)極化和DOA參數(shù)時(shí),需要做極化和DOA參數(shù)的四維搜索。以兩個(gè)入射信號(hào),1°搜索步長為例,極化-DOA聯(lián)合譜估計(jì)算法[5]需要計(jì)算的譜值點(diǎn)數(shù)為90×360×91×360=1 061 424 000。在采用四元數(shù)算法時(shí)做二維DOA搜索時(shí),所需計(jì)算的譜值點(diǎn)數(shù)為97 920點(diǎn)(二維DOA搜索需90×360=32 400,兩次二維極化搜索需2×91×360=65 520),可以看出,四元數(shù)降維算法大大降低了參數(shù)估計(jì)所需的計(jì)算量。
綜上分析可知,四元數(shù)算法可以將極化信息剝離,先估計(jì)入射信號(hào)的二維DOA參數(shù),在此基礎(chǔ)上,可以由聯(lián)合譜算法分別得到入射信號(hào)的極化參數(shù)估計(jì)結(jié)果,與聯(lián)合譜算法所需的四維搜索不同,四元數(shù)算法大大降低了錐面共形陣列條件下參數(shù)估計(jì)的計(jì)算量。仿真結(jié)果證明了算法的有效性。
(2)考察算法參數(shù)估計(jì)精度與SNR關(guān)系。假設(shè)有一個(gè)信號(hào)源入射到陣列上,參數(shù)為(θ1,φ1,γ1,η1)=(30°,85°,65°,120°),陣列接收的快拍數(shù)為200,信噪比從0 dB開始以2 dB為間隔增加到20 dB,在每個(gè)信噪比上獨(dú)立實(shí)驗(yàn)200次,統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)的均方根誤差,仿真結(jié)果如圖3所示。
圖3 參數(shù)估計(jì)精度隨信噪比變化關(guān)系
由圖3的仿真結(jié)果可以看出,信噪比較低時(shí),四元數(shù)MUSIC算法的DOA和極化參數(shù)估計(jì)精度略遜于MUSIC[5];在信噪比大于15dB時(shí),四元數(shù)MUSIC算法的估計(jì)精度接近MUSIC算法[5]。綜上,總體上看四元數(shù)MUSIC算法的估計(jì)精度低于MUSIC,但考慮到四元數(shù)算法的降維過程大大降低了參數(shù)估計(jì)的計(jì)算復(fù)雜度,在實(shí)際應(yīng)用中仍不失為一種較好的選擇。
5結(jié)束語
本文針對(duì)的雙極化錐面共形陣列的特點(diǎn),建立了陣列的四元數(shù)信號(hào)模型,提出了適用于錐面共形陣列的四元數(shù)MUSIC算法。算法通過同極化接收子陣的設(shè)置及秩損原理完成了導(dǎo)向矢量中極化信息和DOA信息的去耦合,先由四元數(shù)MUSIC算法對(duì)入射信號(hào)的DOA進(jìn)行估計(jì),再由DOA估計(jì)結(jié)果及MUSIC算法得到極化參數(shù)的估計(jì),實(shí)現(xiàn)了DOA參數(shù)和極化參數(shù)的自動(dòng)配對(duì);同時(shí)方法將極化和DOA域的四維搜索問題轉(zhuǎn)換為2維DOA搜索和2維極化域搜索,大大減小了極化-DOA聯(lián)合估計(jì)的計(jì)算量。最后通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法的有效性。
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劉帥(1980-),男,副教授,博士,主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理及自適應(yīng)波束形成。
E-mail:liu_shuai_boy@163.com
閆鋒剛(1982-),男,副教授,博士,主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理、遙感圖像處理、統(tǒng)計(jì)性能及時(shí)頻域分析。
E-mail:yfglion@163.com
金銘(1968-),男,教授,博士,主要研究方向?yàn)槔走_(dá)信號(hào)處理。
E-mail:jinming0987@163.com
喬曉林(1948-),男,教授,博士,主要研究方向?yàn)槔走_(dá)信號(hào)處理。
E-mail:paulqiao@sohu.com
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Joint polarization-DOA estimation for conical conformal
array based on quaternion MUSIC
LIU Shuai, YAN Feng-gang, JIN Ming, QIAO Xiao-lin
(SchoolofInformationandElectricalEngineering,HarbinInstituteofTechnology(Weihai),Weihai264209,China)
Abstract:Based on conical conformal array with crossed dipole elements, the quaternion array signal model is built, and the quaternion multiple signal classification (MUSIC) algorithm is proposed. This algorithm realizes de-coupling polarization and direction of arrival (DOA) information through resetting the elements with the same polarizations of sub-arrays and the principle of rank-loss, then it obtains the estimations of 2D DOA and the polarization parameter of incident signals. The computational complexity of joint polarization-DOA estimation is reduced significantly. Finally, the simulation result verifies the effectiveness of the method.
Keywords:conical conformal array; quaternion; joint polarization-DOA estimation
作者簡介:
中圖分類號(hào):TN 911.7
文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A
DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.01.01
基金項(xiàng)目:中央高?;究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(HIT.NSRIF.2016102);中國博士后科學(xué)基金(2015M571414);山東省自然科學(xué)基金(ZR2014FQ003);哈爾濱工業(yè)大學(xué)校科研啟動(dòng)經(jīng)費(fèi)(HIT(WH)201411)資助課題
收稿日期:2015-03-12;修回日期:2015-07-15;網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期:2015-08-18。