對(duì)兩菌株SIJS傳染病數(shù)學(xué)模型的分析

對(duì)兩菌株SIJS傳染病數(shù)學(xué)模型的分析

錢德亮

(中原工學(xué)院, 鄭州 450007)

摘要：主要研究了帶兩菌株的SIJS傳染病數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的分析，討論了傳染病的傳播與消亡原理。 首先，根據(jù)傳染病的傳播規(guī)律，建立帶兩菌株的SIJS傳染病的數(shù)學(xué)模型；其次，給出基本再生數(shù)R0, 并證明當(dāng)R0<1時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性；最后，證明了當(dāng)R0>1時(shí),地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定。

關(guān)鍵詞：傳染病模型; 無(wú)病平衡點(diǎn); 地方病平衡點(diǎn); 穩(wěn)定性

收稿日期：2015-05-26

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11401604)；中國(guó)博士后基金項(xiàng)目(2012M510885)；河南省基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃項(xiàng)目(142300410251，142300410355)；河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(15B110012，15A110045)

作者簡(jiǎn)介：錢德亮(1971-)，男，河南信陽(yáng)人，講師，博士，主要研究方向?yàn)榉謹(jǐn)?shù)微分動(dòng)力系統(tǒng)。

文章編號(hào)：1671-6906(2015)04-0065-04

中圖分類號(hào)：O193

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1671-6906.2015.04.016

Abstract:In this paper, the epidemic mathematical SIJS model with two strains is studied, by analyzing the mathematical model, the principle of the demise and the spread of infectious diseases are discussed. Firstly, according to the propagation of infectious diseases, a epidemic mathematical SIJS model is established with two strains to the infectious diseases. Secondly, the basic reproductive number is established, and it is proved that if R0<1, the disease-free equilibrium is locally asymptotically stable and the disease dies out eventually. Finally, if R0>1, a unique endemic equilibrium is locally asymptotically stable.

研究傳染病的預(yù)防與控制具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。相關(guān)學(xué)者根據(jù)傳染病傳播規(guī)律， 利用動(dòng)力學(xué)方法，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究與分析, 為人們預(yù)防和治療疾病提供重要的信息支持。傳染病數(shù)學(xué)建模研究常用1926年由Kermack W O等構(gòu)造的倉(cāng)室模型，在其建立的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上,提出區(qū)分疾病流行與否的“閾值理論”,為傳染病動(dòng)力學(xué)研究提供定量研究的方法[1-2]。

近年來(lái), 國(guó)際上傳染病動(dòng)力學(xué)的發(fā)展十分迅速, 大量的數(shù)學(xué)模型被用來(lái)研究各種各樣的傳染病問(wèn)題。 傳染病動(dòng)力學(xué)是對(duì)傳染病進(jìn)行定量研究的一種重要方法。 它是根據(jù)種群生長(zhǎng)的特性、疾病發(fā)生及在種群內(nèi)的傳播和發(fā)展規(guī)律、以及與之有關(guān)的社會(huì)等因素,建立能反映傳染病動(dòng)力學(xué)特征的數(shù)學(xué)模型,通過(guò)對(duì)模型動(dòng)力學(xué)形態(tài)的定性、定量分析和數(shù)值模擬,描述疾病的發(fā)展過(guò)程,揭示其流行規(guī)律,預(yù)測(cè)其發(fā)展趨勢(shì),分析疾病流行的原因和關(guān)鍵因素,尋求對(duì)其預(yù)防和控制的最優(yōu)策略,為傳染病防治決策提供理論基礎(chǔ)和數(shù)量依據(jù)。

當(dāng)前，應(yīng)用數(shù)學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型是研究傳染病的一種重要分支。例如競(jìng)爭(zhēng)與共存的SIS、SID模型[3-4]、具有兩菌株的SIJR模型[5-6]。但是, 目前研究?jī)删甑腟IJS模型的文獻(xiàn)還不是很多。 本文主要研究感染兩菌株傳染病并且康復(fù)后人群不具有免疫能力而繼續(xù)染病的可能性。

1SIJS模型的建立及無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

本文主要研究具有兩菌株傳染病的傳播與消亡規(guī)律。 近年來(lái), 雙菌株傳染病動(dòng)力學(xué)的研究與數(shù)學(xué)建模已經(jīng)引起國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的興趣, 但這方面的實(shí)際研究工作做的較少。 探討不同菌株之間的相互作用最終導(dǎo)致菌株共存還是排斥、揭示多菌株病原體引起的疾病在人群中的傳播規(guī)律是該研究領(lǐng)域的重要問(wèn)題[7-8]。

1.1模型的建立

令S(t)為t時(shí)刻易感者，I(t)、J(t)分別為兩菌株感染者的數(shù)量, 則兩菌株傳染病的數(shù)學(xué)模型為：

(1)

其中，I(t)、J(t)為引起同一種疾病的兩類菌株，對(duì)易感者具有不同的傳染力。 該系統(tǒng)的人口自然輸入率為A, 自然輸出率系數(shù)為B, 自然死亡率為μ；α1≥0和α2≥0分別表示I(t)類和J(t)類感染者的因病死亡率；γ1≥0和γ2≥0分別表示I(t)類和J(t)類感染者的康復(fù)率，康復(fù)病人具有再次感染的可能；p1≥0和p2≥0分別為易感者進(jìn)入I(t)類和J(t)類感染者的概率,且p1+p2=1；β1和β2為對(duì)兩種菌株有效接觸的傳染率。

1.2無(wú)病平衡點(diǎn)的漸進(jìn)穩(wěn)定性

令

(2)

則式(1)轉(zhuǎn)化為：

(3)

令

(4)

(5)

(6)

接下來(lái)證明無(wú)病平衡點(diǎn)與地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，從而更好地研究傳染病的傳播規(guī)律。

定理1當(dāng)R0<1時(shí),式(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時(shí)，P0是不穩(wěn)定的。

(7)

顯然,λ1=-(μ+B)是J(P0)的一個(gè)特征根,J(P0)的其余特征根由下列方程決定：

(8)

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，有

(9)

2地方病平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性

式(3)的地方病平衡點(diǎn)P*(S*,I*,J*)是方程組(4)的解。關(guān)于地方病平衡點(diǎn)P*(S*,I*,J*)的穩(wěn)定性有如下定理。

定理2若R0>1, 式(3)存在地方病平衡點(diǎn), 且是局部漸近穩(wěn)定的。

證明式(3)在P*(S*,I*,J*)平衡點(diǎn)的雅可比矩陣為：

J(P*)=

J(P*)=

(10)

由雅可比矩陣可得到特征方程:

λ3+a1λ2+a2λ+a3=0

(11)

其中:

(β1I*+β2J*)[p1(β1S*-γ1)+p2(β2S*-γ2)];

a3=p1(β1I*+β2J*)·

p2(β1I*+β2J*)·

(β1I*+β2J*)(c1+c2-p2γ2-p1γ1),

a3=(β1I*+β2J*)[(β1S*-γ1)p1c2+(β2S*-γ2)p2c1]

而

a1a2-a3=(μ+B)·

+(β1I*+β2J*){[(μ+B)+(β1I*+β2J*)+

由于R0>1,因此可以判斷a1>0,a2>0,a3>0并且a1a2-a3>0,由Routh-Hurwitz判別法可知,特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部,從而，地方病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的。

4結(jié)語(yǔ)

(2)通過(guò)對(duì)SIJS模型的研究,本文得到了模型的無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)。傳染病數(shù)學(xué)模型方面值得研究的內(nèi)容還很多,本文只考慮了一種模型。在實(shí)際生活中,影響傳染病傳播的因素還很多,比如年齡結(jié)構(gòu)、接種疫苗等。傳染病與人類的生活息息相關(guān),所以研究前景和意義是不可估量的。

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(責(zé)任編輯：王長(zhǎng)通)

AnalysisoftheSIJSMathematicalEpidemicModelwithTwoStrains

QIANDe-liang

(ZhongyuanUniversityofTechnology,Zhengzhou450007,China)

Keywords:epidemicmodels;disease-freeequilibrium;endemicequilibrium;stability