基于響應(yīng)面方法的結(jié)構(gòu)非概率可靠性分析

基于響應(yīng)面方法的結(jié)構(gòu)非概率可靠性分析

陳江義， 文尉超， 王迎佳

(鄭州大學(xué) 機械工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

摘要：響應(yīng)面方法可以用來建立工程結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)的顯式數(shù)學(xué)表達式，而橢球模型和區(qū)間模型則是計算結(jié)構(gòu)非概率可靠性指標(biāo)的兩種基本模型.筆者基于響應(yīng)面方法，用二次多項式近似擬合結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)，然后分別采用橢球模型和區(qū)間模型對結(jié)構(gòu)的非概率可靠性指標(biāo)進行計算,最后以懸臂梁作為算例，對不同模型計算出的可靠性指標(biāo)進行了比較.結(jié)果表明:在對結(jié)構(gòu)進行非概率可靠性設(shè)計時，使用區(qū)間模型要比橢球模型更安全.

關(guān)鍵詞：非概率可靠性；橢球模型；區(qū)間模型；響應(yīng)面方法

收稿日期:2015-04-29；

修訂日期：2015-07-28

基金項目：河南省科技攻關(guān)重點資助項目(132102210107);河南省教育廳科學(xué)研究重點項目(13A460719)

作者簡介：陳江義(1974—)，男，湖北仙桃人，鄭州大學(xué)副教授，博士，主要從事結(jié)構(gòu)動力學(xué)，CAD技術(shù)方面的研究，E-mail：cjy1974@zzu.edu.cn.

文章編號:1671-6833(2015)05-0121-04

中圖分類號：TB114.3

文獻標(biāo)志碼：A

doi:10.3969/j.issn.1671-6833.2015.05.026

Abstract:Response surface method (RSM) is often employed to construct the explicit mathematical expression of the limit state function of engineering structure. And the non-probabilistic reliability of engineering structure can be evaluated by using two basic models which are ellipsoid model and interval model. Based on RSM, the quadratic polynomial is adopted to replace approximately the limit-state function in this paper. Then ellipsoid model and interval model are used to evaluate the non-probabilistic reliability of engineering structure. Finally, as a numerical example, the non-probabilistic reliability of a cantilever beam is analyzed and compared. The numerical result shows that interval model is safer than ellipsoid model for evaluation of the non-probabilistic reliability of structures.

0引言

在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中，不確定因素很多，如材料屬性、載荷和幾何尺寸的不確定性，這些因素往往對結(jié)構(gòu)的可靠性產(chǎn)生直接影響.基于概率的可靠性設(shè)計是處理不確定因素的有效途徑之一，近幾十年的研究在理論和應(yīng)用上都已有充分的證明[1].概率可靠性模型需要足夠的數(shù)據(jù)來描述不確定變量的概率特征，然而在工程實踐中，這些數(shù)據(jù)難以獲得，并且概率可靠性對隨機參數(shù)的分布信息非常敏感，即模型數(shù)據(jù)的小誤差可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)可靠性計算出現(xiàn)較大的誤差[2].

在工程實踐中，不確定變量的概率分布雖不易確定，但其界限一般較易獲得，可使用凸模型(包括超橢球模型和超立方盒模型)處理這類不確定但有界的參數(shù).20世紀(jì)90年代Ben-haim[3]和Elisbakoff[4]提出了基于凸集模型的非概率可靠性概念，與概率可靠性強調(diào)系統(tǒng)可接受不確定性的概率不同，它強調(diào)系統(tǒng)可接受不確定性的范圍.郭書祥等[5]對結(jié)構(gòu)非概率可靠性方法和概率可靠性方法進行了比較，驗證了當(dāng)掌握的信息數(shù)據(jù)較少時，非概率可靠性方法的適用性.亢戰(zhàn)等[6]建立了基于凸模型的非概率理論體系，用橢球模型計算了非概率可靠性指標(biāo)，并用于優(yōu)化.郭書祥等[7]建立了基于區(qū)間模型的非概率可靠性理論體系以及對非概率可靠性指標(biāo)的求解方法.非概率可靠性技術(shù)已經(jīng)成功地應(yīng)用到一些相對簡單的結(jié)構(gòu)實例分析中，但對于解決較復(fù)雜的工程問題仍具有一定的挑戰(zhàn)性，這些復(fù)雜結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)一般不可以用顯式函數(shù)來表達，故其可靠性分析比較困難.響應(yīng)面方法[8]能夠擬合出一個基于顯式函數(shù)的功能函數(shù)模型，從而可以完成非概率可靠性分析.

筆者運用響應(yīng)面方法構(gòu)建極限狀態(tài)方程，基于橢球模型和區(qū)間模型分別計算結(jié)構(gòu)的可靠性指標(biāo)并進行比較，最后以懸臂梁作為算例驗證筆者提出方法的正確性.

1非概率可靠性指標(biāo)

1.1橢球模型

在結(jié)構(gòu)可靠性分析中，結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程一般由功能函數(shù)或極限狀態(tài)函數(shù)描述

g(X)=0,

(1)

式中：X=[x1,x2,…,xn]∈Rn表示所有具有不確定性的設(shè)計變量.極限狀態(tài)方程將設(shè)計空間劃分成可靠性區(qū)間(g(X)>0)和失效區(qū)間(g(X)<0)兩部分.不確定變量X的界定可用以下橢球模型[9]確定

(X-Xc)G(X-Xc)≤1,

式中：Xc為X的均值；矩陣G是一個表示橢球模型特征的正定矩陣，用來確定橢球體的主軸方向和大小.

為便于計算可靠性指標(biāo)，首先將不確定變量X中各元素歸一化為

(3)

(4)

基于標(biāo)準(zhǔn)變換，轉(zhuǎn)化為在U空間上的等效橢球模型

UTWU≤1,

(5)

式中：W表示在U空間上的特征矩陣.

對W進行特征值分解

ΦTWΦ=Λ,ΦTΦ=I，

(6)

式中：Φ是由特征向量組成的正交化矩陣；Λ是由矩陣W的特征值組成的對角矩陣；I是單位矩陣，引入向量δ

δ=Λ1/2ΦTU.

(7)

將式(7)帶入式(2)，橢球模型轉(zhuǎn)化為

δ∈Ωδ={δ|δTδ≤1}.

(8)

同樣在δ空間內(nèi)，可以獲得轉(zhuǎn)化的極限狀態(tài)方程

g(δ)=0.

(9)

1.2區(qū)間模型

(10)

M=g(X)=G(δ),

(11)

式中：δ={δ1,…,δn}.

1.3非概率可靠性指標(biāo)

為便于直觀了解非概率可靠性指標(biāo)，圖1展示了二維情形下橢球模型和區(qū)間模型非概率可靠性指標(biāo)的幾何意義.圖中曲線為極限狀態(tài)曲線，曲線兩側(cè)分別為失效區(qū)域和安全區(qū)域.圖(a)中單位圓和圖(b)中正方形為不確定設(shè)計變量對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化凸域，可靠性指標(biāo)β定義為從原點到極限狀態(tài)曲線的最短距離，只不過橢球模型按二范數(shù)來度量距離，而區(qū)間模型按無窮范數(shù)來度量距離.因此基于橢球模型的可靠性指標(biāo)為

β=min‖δ‖,

s.t.g(δ)=0,

(12)

式中：‖·‖代表向量的二范數(shù).基于區(qū)間模型的可靠性指標(biāo)為

β=min(‖δ‖∞),

s.t.G(δ)=0,

(13)

式中：‖δ‖∞表示無窮范數(shù).這樣非概率可靠性指標(biāo)β的求解轉(zhuǎn)化為式(12)和式(13)的優(yōu)化問題.

從圖1還可以看出，若β≤1，失效區(qū)與不確定變量凸域有交集，所以結(jié)構(gòu)可能處于失效狀態(tài)；當(dāng)β>1，表示結(jié)構(gòu)完全可靠.β值越大，結(jié)構(gòu)能容許的不確定變量變差程度越大，結(jié)構(gòu)越可靠.

圖1基于兩種模型的非概率可靠性指標(biāo)

Fig.1Non-probabilisticreliabilityindexbasedontwo

differentmodels(a)Ellipsoidmodel(b)Intervalmodel

2響應(yīng)面方法

響應(yīng)面方法是一種數(shù)學(xué)建模方法，其基本思想是通過一系列的試驗設(shè)計點擬合出一個顯式函數(shù)，用來近似代替復(fù)雜的物理模型，在可靠性分析中可以用來構(gòu)造功能函數(shù).

響應(yīng)面的數(shù)學(xué)表達式在能描述真實功能函數(shù)的前提下應(yīng)盡可能簡單，一般可選用二次多項式進行回歸分析

(14)

式中：α0、αi、αij為待定因子，通常用最小二乘法確定.通過變量代換將其化為形式上的線性函數(shù)，便于下面的推導(dǎo)，得到統(tǒng)一的形式

(15)

式中：λi為待定系數(shù).

通過試驗設(shè)計，得到m(m≥k)個樣本點，將其帶入式(15)中，得到一系列的數(shù)據(jù).利用最小二乘法原理擬合所有試驗數(shù)據(jù)點，可將其誤差的平方和表示為

(16)

式(16)取極小值的必要條件是

l=0,1,…,(k-1).

(17)

將這k個方程化簡并整理成矩陣形式為

(Xλ-y)TX=0,

(18)

解式(18)可得

λ=(XTX)-1XTy.

(19)

將其代入式(15)中,經(jīng)過變量代換得出響應(yīng)面的二次多項式.

3算例及分析

以圖2中的懸臂梁結(jié)構(gòu)[9]為對象進行非概率可靠性分析，該結(jié)構(gòu)盡管簡單，但足以說明筆者提出的方法.梁的長度為L，寬度和高度分別為b和h，受水平和垂直載荷分別為Px=50 kN和Py=25 kN.極限狀態(tài)方程定義為最大應(yīng)力小于許用屈服強度S，

g(b,h,L)=S-σmax(b,h,L),

(20)

式中：L、b和h為不確定變量，其變化范圍分別為L[900 mm，1 100 mm]、b[90 mm，110 mm]和h[180 mm，220 mm].

對于式(20)所表示的極限狀態(tài)方程，可通過有限元方法獲得模擬試驗樣本點，然后采用響應(yīng)面方法將其轉(zhuǎn)化為顯式的二次多項式

g(b,h,L)=S-815.942+12.908b-0.420L-0.047b2+0.001 2hL.

(21)

圖2懸臂梁結(jié)構(gòu)

Fig.2Acantileverbeam

表1為利用橢球模型和區(qū)間模型計算出的非概率可靠性指標(biāo)β.為了檢驗響應(yīng)面方法的正確性，在用上述模型計算可靠性時，分別采用有限元方法(FEM)和響應(yīng)面方法(RSM).

表1　懸臂梁的可靠性指標(biāo)β

由表1可以得出：①對于同一種模型，利用RSM方法與FEM方法計算出的可靠性指標(biāo)基本相同，尤其是在S較小的區(qū)域，說明用響應(yīng)面方法構(gòu)建分析模型是可行的；②在β>0區(qū)域，在同一許用屈服強度S下，基于區(qū)間模型的可靠性指標(biāo)小于基于橢球模型可靠性指標(biāo)，說明在進行結(jié)構(gòu)非概率可靠性設(shè)計時，如果滿足同一可靠性指標(biāo)的要求，區(qū)間模型相對于橢球模型更安全些.

4結(jié)論

工程結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程一般以隱式函數(shù)形式存在，不易進行非概率可靠性分析.筆者基于響應(yīng)面方法對結(jié)構(gòu)進行非概率可靠性分析，用二次多項式近似代替結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)，一方面避免了結(jié)構(gòu)的隱式函數(shù)，另一方面可以提高工程結(jié)構(gòu)計算效率.同時用RSM和FEM計算出的可靠性指標(biāo)結(jié)果相差很小，驗證了響應(yīng)面方法的正確性和可行性.另外，筆者還比較了橢球模型和區(qū)間模型下的可靠性指標(biāo)，算例表明兩種模型都能較好地對結(jié)構(gòu)進行可靠性分析，但區(qū)間模型相對于橢球模型更安全些.

參考文獻：

[1]DOLTSINIS I, KANG Zhan. Robust design of structures using optimization methods[J]. Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg, 2004(193): 2221-2237.

[2]ELISHAKOFF I. Essay on uncertainties in elastic and viscoelastic structures: from A.M Freuden-thal’s criticisms to modern convex modeling [J]. Computers & Structures, 1995,56(6): 875-895.

[3]BEN-H Y. A non-probabilistic concept of reliability [J]. Structural Safety,1994,14(4): 227-245.

[4]ELISHAKOFF I. Discussion on: A non-probabilistic concept of reliability[J]. Structural Safety, 1995, 17(3): 195-199.

[5]郭書祥，呂震宙. 結(jié)構(gòu)的非概率可靠性方法和概率可靠性方法的比較[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2003,20(3):107-110.

[6]KANG Zhan, LUO Yang-jun, ALEX L. On non-probabilistic reliability-based design optimization of structures with uncertain-but-bounded parameters[J]. Structure Safety,2011(33): 196-205.

[7]郭書祥，張陵，李穎.結(jié)構(gòu)非概率可靠性指標(biāo)的求解方法[J].計算力學(xué)學(xué)報，2005, 22(2): 227-231.

[8]隋允康，宇慧萍.響應(yīng)面方法的改進及其對工程優(yōu)化的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[9]JIANG Chao, BI Ren-gui, LU Guo-ying, et al. Structural reliability analysis using non-prob-abilistic convex model[J]. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg, 2013(254): 83-98.

Analysis of Structural Non-probabilistic Reliability Based on Response Surface Method

CHEN Jiang-yi， WEN Wei-chao， WANG Ying-jia

(School of Mechanical Engineering，Zhengzhou University，Zhengzhou 450001，China)

Key words: non-probabilistic reliability；ellipsoid model；interval model；response surface method