立體幾何中的探索性問題？搖

桂曉宇

立體幾何中的探索性問題既能夠考查空間想象能力，又可以考查意志力及探究的能力.一般此類立體幾何問題描述的是動態(tài)過程，結(jié)果具有不唯一性或者隱藏性，往往需要耐心嘗試及等價轉(zhuǎn)化，因此，對于常見的探究方法的總結(jié)和探究能力的鍛煉是必不可少的.

重點難點

立體幾何的計算和證明常常涉及兩大問題：一是位置關(guān)系，它主要包括線線垂直、線面垂直、線線平行、線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等.

方法突破

一、與平行有關(guān)的探索性問題

對線面平行問題的向量解法，有兩種思路：（1）用共面向量定理，證明直線的方向向量能用平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量表示出來，即這三個向量共面，根據(jù)共面向量定理及直線在平面外，可得線面平行；（2）求出平面的法向量，然后證明平面的法向量與直線的方向向量垂直即可.

對面面平行問題的向量解法，有兩種思路：（1）利用向量證明一個平面內(nèi)兩條相交直線分別與另一個平面平行，根據(jù)面面平行的判定定理即得；（2）分別求出兩個平面的法向量，若能證明這兩個法向量平行，則這兩個平面就平行.

二、與垂直有關(guān)的探索性問題

對坐標(biāo)系易建立的空間線面垂直問題，通常用向量法. 先求出平面的法向量和直線的方向向量，證明平面的法向量與直線的方向向量平行或者直接用向量法證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，再運用線面垂直的判定定理即可.

三、與角有關(guān)的探索性問題

利用向量知識求線線角、線面角、二面角的大小的方法.

（1）線線角：設(shè)l1，l2是兩條異面直線，A，B是直線l1上的任意兩點，C，D是直線l2上的任意兩點，則l1，l2所成角的余弦值為■.

（2）線面角：設(shè)n是平面α的法向量，AB是穿過平面α的一條斜線，則直線AB與平面α所成角的正弦值？搖？搖為■.

（3）二面角：設(shè)n1，n2是二面角α-l-β的面α，β的法向量，則〈n1，n2〉=arccos■就是二面角的平面角或補角的大小.

四、與距離有關(guān)的探索性問題

立體幾何中的點面距、線面距和面面距等都可由點A到平面α的距離公式d=■解決，其中n為平面α的法向量，向量■為該點或線（面） 上任一點與平面上任意一點所構(gòu)成的向量.

典例精講

■ 如圖1，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形. 平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（1）求證：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）證明：在線段BC1存在點D，使得AD⊥A1B，并求■的值.

思索 空間中的線線、線面、面面垂直問題都可以轉(zhuǎn)化為兩向量的垂直問題來解決，使幾何問題代數(shù)化，降低思維的難度. 立體幾何中的點的位置的探求經(jīng)常借助于空間向量，引入?yún)?shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù). 這是立體幾何中的點的位置的探求的常用方法.

■

圖1 圖2

破解 （1）略.

（2）因為AB=3，AC=4，BC=5，所以AB⊥AC，所以AB，AC，AA1兩兩垂直. 以A為原點，分別以AC，AB，AA1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖2）.

由已知得A1（0，0，4），B（0，3，0），C1（4， 0，4），B1（0，3，4），■=（4，0，0），■=（0，3，-4），■=（4，-3，0），■=（0，0，-4）.

易得平面A1BC1的法向量為m=（0，4，3），平面B1BC1的法向量為n=（3，4，0）.

設(shè)二面角A1-BC1-B1的平面角為θ，則有cosθ=■？搖=■=■. 又因為二面角A1-BC1-B1為銳角，所以其余弦值為■.

（3）假設(shè)存在點D，坐標(biāo)為（x，y，z），則■=（x，y-3，z），■=（4，-3，4）.

設(shè)■=λ■（0≤λ≤1），則可得x=4λ，y-3=-3λz=4λ，，即x=4λ，y=3-3λz=4λ.，所以D（4λ，3-3λ，4λ），■=（4λ，3-3λ，4λ）.

因為AD⊥A1B，所以■·■=0，即3（3-3λ）-16λ=0，解得λ=■，所以■=■.

■ 如圖3，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD， AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E為棱AA1的中點.

（1）證明B1C1⊥CE；

（2）求二面角B1-CE-C1的正弦值；

（3）設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為■，求線段AM的長.

■

圖3 圖4

思索 本題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系、二面角、直線與平面所成的角、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識；考查空間向量解決立體幾何問題的方法；考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.

破解 如圖4，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）.

（1）易得■=（1，0，-1），■=（-1，1，-1），于是■·■=0，所以■⊥■. 所以B1C1⊥CE.

（2）易得■=（1，-2，-1），設(shè)平面B1CE的法向量m=（x，y，z），則可得m·■=0，m·■=0，即x-2y-z=0，-x+y-z=0，消去x得y+2z=0. 不妨設(shè)z=1，可得平面B1CE的一個法向量為m=（-3，-2，1）.

由（1），B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故■=（1，0，-1）為平面CEC1的一個法向量.endprint

于是cos〈m，■〉=■=■=-■，從而可得sin〈m，■〉=■. 所以二面角B1-CE-C1的正弦值為■.

（3）■=（0，1，0），■=（1，1，1），設(shè)■=λ■=（λ，λ，λ），0≤λ≤1，有■=■+■=（λ，λ+1，λ）. 可取■=（0，0，2）為平面ADD1A1的一個法向量. 設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則可得sinθ=cos〈■，■〉= ■=■=■，于是■=■，解得λ=■，所以AM=■.

■ 如圖5，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA1=2，CA=2，D是CC1的中點，試問A1B（不在端點上）上是否存在一點E使得點A1到平面AED的距離為■.

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圖5

思索 設(shè)出點E的坐標(biāo)， 利用距離公式可求得點E的位置.

破解 以CA，CB，CC1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），A1（2，0，2），D（0，0，1）. 假設(shè)存在點E，設(shè)E到A1B1的距離為a，則E（2-a，a，2-a），AD=（-2，0，1），AE=（-a，a，2-a）. 設(shè)向量n=（x，y，z）為平面AED 的法向量，則-2x+z=0，-ax+ay+（2-a）z=0？圯n=1，■，2，由d=■=■. 得a=1，即E（1，1，1）. 所以，當(dāng)點E為A1B的中點時，A1到平面AED的距離為■.

變式練習(xí)

1. 如圖6，在△ABC中，∠B=90°，AB=■，BC=1，D，E兩點分別在線段AB，AC上，滿足■=■=λ，λ∈（0，1）. 現(xiàn)將△ABC沿DE折成直二面角A-DE-B.

（1）求證：當(dāng)λ=■時，平面ADC⊥平面ABE；

（2）當(dāng)λ∈（0，1）時，二面角E-AC-D的大小能否等于■？若能，求出λ的值；若不能，請說明理由.

■

圖6

2. 如圖7，已知平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，AC=16，PA=PC=10.

（1）設(shè)G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE；

（2）證明：在△ABO內(nèi)存在一點M，使FM⊥平面BOE，并求點M到OA，OB的距離.

■

圖7

3. 如圖8，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形， PA=AD=2，點E，F(xiàn)，G分別為線段PA，PD，CD的中點.

（1）求異面直線EG與BD所成角的余弦值；

（2）在線段CD上是否存在一點Q，使得點A到平面EFQ的距離恰為■？若存在，求出線段CQ的長；若不存在，請說明理由.

■

圖8

參考答案

1. （1）略.

（2）以DB，DE，DA為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，■λ），C（■-■λ，1，0），E（0，λ，0），■=（0，λ，-■λ），■=（■λ-■，λ-1，0）. 易得平面AEC的法向量為n1=（1，-■，-1），平面ADC的法向量為n2=（1，■λ-■，0）. 則cos〈n1，n2〉=■=■，解得λ=■. 所以當(dāng)λ=■時，二面角E-AC-D的大小等于■.

2. （1）連結(jié)OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則O（0，0，0），A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F(xiàn)（4，0，3），由題意得G（0，4，0）. 因為■=（8，0，0），■=（0，-4，3），所以平面BOE的法向量為n=（0，3，4），由■=（-4，4，-3）得n·■=0，又直線FG不在平面BOE內(nèi)，因此FG∥平面BOE.

（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x0，y0，0），則■=（x0-4，y0，-3），因為FM⊥平面BOE，所以■∥n，因此有x0=4，y0= -■，即點M的坐標(biāo)為4，-■，0. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組x>0，y<0，x-y<8，經(jīng)檢驗，點M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以△ABO在內(nèi)存在一點M，使FM⊥平面BOE，由點M的坐標(biāo)得點M到OA，OB的距離分別為4，■.

3. （1）以點A為坐標(biāo)原點，射線AB，AD，AZ分別為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則E（0，0，1），G（1，2，0），B（2，0，0），D（0，2，0），易得異面直線EG與BD所成角的余弦值為■.

（2）假設(shè)在線段CD上存在一點Q滿足條件，設(shè)點Q（x0，2，0），平面EFQ的法向量為n=（x，y，z），則n·■=0，n·■=0，得y=0，z=xx0. 取x=1，所以n=（1，0，x0），則■=0.8. 又x0>0，解得x0=■，所以點Q■，2，0，即■=-■，0，0，則■=■. 所以在線段CD上存在一點Q滿足條件，且長度為■. ■endprint