三視圖

肖斌

空間幾何體的三視圖是從三個互相垂直的方向的正投影來刻畫空間幾何體，用三個維度的平面圖形來刻畫抽象的空間圖形，是將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的重要途徑（三垂直方向）. 在這一部分的學(xué)習(xí)中，無論是從平面到空間（合成），還是從空間到平面（分解），都對空間想象能力有較高的要求. 因此，空間幾何體的三視圖承載著空間圖形與平面圖形的聯(lián)系，是每年高考的必考內(nèi)容.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn) 掌握空間幾何體三視圖的畫法規(guī)則，能夠畫出簡單空間幾何體（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐等的簡單組合體）的三視圖，能識別上述幾何體的三視圖所表示的空間幾何體的模型，并用三視圖解決一些簡單的綜合問題.？搖

難點(diǎn) 識別空間幾何體（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐等的簡單組合體）的三視圖所表示的幾何體.

方法突破

一、畫空間幾何體的三視圖的基本思路

（1）掌握畫空間幾何體的三視圖的兩個基本步驟：第一步，確定三個視圖的形狀；第二步，將這三個視圖擺放在同一平面上. 在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓用虛線表示出來，即“眼見為實(shí)，不見為虛”.

（2）掌握畫空間幾何體的三視圖的畫法規(guī)則：長對正、寬相等、高平齊，即正視圖和俯視圖的“長對正”，側(cè)視圖和俯視圖的“寬相等”. 正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”.

（3）弄清三視圖與空間幾何體的幾何量之間的關(guān)系：空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖的長就是空間幾何體的最大長度，側(cè)視圖、俯視圖的寬就是空間幾何體的最大寬度. 要嚴(yán)格按照這個規(guī)則畫空間幾何體的三視圖.

二、畫空間幾何體的三視圖的基本策略

（1）理解三視圖的概念，并能恰當(dāng)選擇投影面畫出三視圖.

（2）明確平行投影的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用：①直線或線段的平行投影仍是直線或線段；②平行直線的平行投影是平行或重合的直線；③平行于投影面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；④與投影面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等；⑤在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比.

（3）明確正投影的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用. 在物體的平行投影中，如果投影線正對著投影面（即投影線與投影面垂直），這樣平行投影即為正投影. 正投影除具有平行投影的性質(zhì)外，還有如下性質(zhì)：①垂直于投影面的直線或線段的正投影是點(diǎn)；②垂直于投影面的平面圖形的正投影是直線或直線的一部分.

（4）在進(jìn)行三視圖與直觀圖的相互轉(zhuǎn)化中，應(yīng)牢記柱、錐、臺、球圖形的特征及斜二側(cè)畫法的規(guī)則和正投影的性質(zhì)，特別注意側(cè)視圖的投影方向.

（5）注意投影規(guī)律和作圖規(guī)則. 作圖要熟記投影規(guī)律：“正側(cè)一樣高，正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬”. 作圖時切記被遮擋的部分要畫成虛線.

典例精講

一、畫圖——作出空間幾何體的三視圖

■ 一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時，以平面zOx為投影面，則得到正視圖可以為（ ）

■

A B C D

思索 在空間直角坐標(biāo)系中，畫出這四個點(diǎn)就可發(fā)現(xiàn)所給四面體為一個正三棱錐，且以邊長為1的正方體的兩條互為異面的對角線為其相對的兩條棱，在畫線的投影時，要注意能看見的線為實(shí)線，不能看見的線為虛線.

破解 易知A正確，故選A.

二、識圖——還原空間幾何體

■ 如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，E是AB的三等分點(diǎn)，G，N是CD的三等分點(diǎn)，F(xiàn)，H分別是BC，MN的中點(diǎn)，則四棱錐A1-EFGH的側(cè)視圖為（ ）

■

圖1

■

A B C D

思索 已知直觀圖，求作三視圖，只需將直觀圖“壓扁”到“墻角”的三個面中即可，但要注意哪些點(diǎn)、線重合了，哪些線被遮住了，遮住的部分需畫虛線.

破解 點(diǎn)A1在地面的投影與點(diǎn)A重合，故側(cè)視圖是傾斜的三角形，另從正左方看時，側(cè)視圖是C選項，故選C.

■例3 某幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的表面積為（ ）

A. 54 B. 60 C. 66 D. 72

思索 解題的關(guān)鍵是通過三視圖想象原空間幾何體，其依據(jù)是三視圖的畫法規(guī)則. 由三個視圖的圖形特征及聯(lián)系，可確定原幾何體分為兩部分：下部分是三棱柱，上部分是四棱錐，三棱柱的上底面是四棱錐的一個側(cè)面，且為直角三角形，由三視圖中標(biāo)注的量可得到原幾何體中長度的度量，由此來計算其表面積.

■

圖2

破解 由畫法規(guī)則還原幾何體的形狀，可知這個幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱上面去掉一個三棱錐后一部分，如圖3. 其中∠BAC=90°，側(cè)面A1ACC1是矩形，其余兩個側(cè)面都是直角梯形. 由于A1C1∥AC，AC⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，所以AC⊥平面ABB1A1，A1C1⊥平面ABB1A1，所以A1C1⊥A1B1，因而△A1B1C1是直角三角形. A1B1=■=■=5，故幾何體的表面積為：S=S△ABC+S△A■B■C■+S■+S■+S■=■×3×4+■×3×5+3×5+■×（5+2）×4+■×（5+2）×5=60. 故選B.

■

圖3

■ 一個四棱錐的三視圖如圖4所示，其側(cè)視圖是等邊三角形.該四棱錐的體積等于（ ）

A. ■？搖？搖？搖 B. 2■

C. 3■？搖？搖？搖 D. 6■

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