α-預不變凸函數(shù)的一個可導性質

α-預不變凸函數(shù)的一個可導性質*

王海英， 符祖峰,吳永武,甘松

(安順學院 數(shù)理學院,貴州 安順561000)

摘要：利用α-預不變凸函數(shù)的二次連續(xù)可微性，建立了α-預不變凸函數(shù)的一個等價條件,然后研究了α-預不變凸函數(shù)在多目標優(yōu)化中的應用.

關鍵詞：α-預不變凸函數(shù);二次連續(xù)可微;弱有效解

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.012

收稿日期：2015-05-18；修回日期：2015-06-23.

基金項目：*貴州省科技廳、安順市政府、安順學院三方聯(lián)合基金(黔科合J字LKA[2013]19號).

作者簡介：王海英(1982-)，女，河南南陽人，副教授，碩士研究生，從事優(yōu)化理論的研究.

中圖分類號：O211.4文獻標志碼：A

0引言

在研究最優(yōu)化問題時，凸性和廣義凸性起著很重要的作用.1988年，Avriel[1]給出了可微的凸函數(shù)的一個等價條件.

引理1[1]設f(x)是(a,b)上的二次連續(xù)可微函數(shù)，則f(x)為(a,b)上的凸函數(shù)的充要條件為其二階導數(shù)f"(x)≥0在(a,b)上成立.

引理1不但為研究函數(shù)的凸性提供了新的思路,而且也為研究廣義凸函數(shù)、廣義凸模糊映射提供了一種新的研究方法[2,3]，比如2010年，趙[3]將凸函數(shù)的這個可導性質推廣到預不變凸函數(shù)，得到了預不變凸函數(shù)的一個等價條件.

2006年，Noor和Noor[4]提出了一類廣義凸函數(shù)：α-預不變凸函數(shù).

定義1[4]如果對于?x,y∈K，?λ∈[0,1]，有

則稱K是關于η和α的α-不變凸集.

定義2[4]設f(x)為α-不變凸集K上的函數(shù)，如果?x,y∈K，?λ∈[0,1]，有

那么就稱f(x)為K上的α-預不變凸函數(shù).

由于預不變凸函數(shù)是α-預不變凸函數(shù)的特殊情形，因此考慮將引理1和引理2的結果進一步推廣到α-預不變凸函數(shù)情形.在一定條件下，給出二次連續(xù)可微的α-預不變凸函數(shù)的一個充要條件，為判斷函數(shù)的α-預不變凸性提供一種新的思路.最后，將討論α-預不變凸函數(shù)在多目標優(yōu)化中的應用，得到α-預不變凸多目標優(yōu)化的局部弱有效解與其全局弱有效解之間的關系.

下面的討論中將用到條件A和條件B，為此先給出這兩個條件的內容.

條件A[5]?x,y∈K，?λ∈[0,1]，η和α滿足下列關系式:

顯然，t=0，η(x,y)=0?x=y.

條件B[5]f(y+α(x,y)η(x,y))≤f(x),?x,y∈K.

1α-預不變凸函數(shù)的一個等價條件

在文獻[6]中建立了α-預不變凸函數(shù)的一個結果：

引理3[6]設K是關于α:K×K→R和η:K×K→H的α-不變凸集，η滿足條件A，α滿足條件α(x,y)=α(y,y+λα(x,y)η(x,y))，f(x)滿足條件B，那么f(x)關于相同的η和α是α-預不變凸函數(shù)? ?x,y∈K，λ∈[0,1]，g(λ)=f(y+λα(x,y)η(x,y))是[0,1]上的凸函數(shù).

下面利用這個結果，建立二次連續(xù)可微的α-預不變凸函數(shù)的一個等價條件.

證明設f(x)是α-預不變凸函數(shù)且二次連續(xù)可微，則由題設條件,引理3成立，從而對于?x,y∈K，λ∈[0,1]，g(λ)=f(y+λα(x,y)η(x,y))是[0,1]上的凸函數(shù)且二次連續(xù)可微.利用引理1，有?λ∈[0,1]，g″(λ)≥0，而

這里

由f(x)的二次連續(xù)可微性，令λ→0+，則有

另一方面，假設對于?x,y∈K，有

則由條件A及式(1)

(1)

也即

于是得到g″(λ)≥0，再由引理1和引理3，即可得到f(x)是K上的α-預不變凸函數(shù).

定理1提供了一種新的判斷函數(shù)α-預不變凸性的方法，如例1所示.

例1設X=(-2，-1)∪(1，2)，α(x,y)=1，

可以驗證η滿足條件A，f(x)二次連續(xù)可微且滿足條件B.此外，對于?x,y∈X，可以驗證

故由定理1，f(x)是X上的α-預不變凸函數(shù).

2α-預不變凸函數(shù)在多目標優(yōu)化中的應用

考慮下面的多目標優(yōu)化問題：

1.若等腰三角形的一邊長為6cm，另一邊長為9cm，求此等腰三角形的周長。（6cm是腰長還是底邊長？）

其中F:K→RP，fi:K→R(K?Rn)是關于α和η的α-不變凸集.

定理2設K?Rn是關于α:K×K→R和η:K×K→H的α-不變凸集，x≠y，有η(x,y)≠0，f1(x),f2(x),…,fp(x)為K上關于α和η的α-預不變凸函數(shù)，那么(VP)的局部弱有效解也是其全局弱有效解.

(2)

(3)

當λ>0且充分小時，有

根據式(3)得

與式(2)矛盾.

參考文獻：

[1] AVRIEL M,DIEWERT W E,SCHAIBLE S S,etal. Generalized concavity[M].New York: Penum Press,1988

[2] 張成,劉先.預不變凸模糊映射的一些性質[J].重慶工商大學學報：自然科學版，2015,32(3):8-11

[3] 趙克全.預不變凸函數(shù)的一個等價條件[J].重慶師范大學學報：自然科學版，2010,27(3):6-8

[4] NOOR M A,NOOR K I. Some Characterizations of Strongly Preinvex Functions[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2006(316):697-706

[5] LIU C P. Some Characterizations and Applications on Strongly α-preinvex and Strongly α-invex Functions[J]. Journal of Industrial and Management Optimization，2008,4(4):727-738

[6] 王海英,符祖峰.α-預不變凸函數(shù)的若干性質[J].西南大學學報：自然科學版，2015,37(3):99-105

[7] 林銼云,董加禮.多目標優(yōu)化的方法與理論[M].長春:吉林教育出版社,1992

A Differentiable Characterization ofα-Preinvex Function

WANG Hai-ying,FU Zu-feng,WU Yong-wu,GAN Song

(Department. of Mathematics and Physics,Anshun College, Guizhou Anshun 561000,China)

Abstract：An equivalent characterization of α-preinvex function is set up under the twice continuously differentiable condition. The application of the α-preinvex function is studied in multi-objective optimization.

Key words： α-preinvex function; twice continuously differentiability; weak efficient solution