基于傅立葉級(jí)數(shù)的半?yún)?shù)CAViaR模型的貝葉斯分析

基于傅立葉級(jí)數(shù)的半?yún)?shù)CAViaR模型的貝葉斯分析*

曾惠芳1， 熊培銀2

(1.湖南科技大學(xué) 商學(xué)院，湖南 湘潭 411201； 2.湖南科技大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

摘要：針對(duì)金融市場(chǎng)復(fù)雜性及不確定性，為了更靈活地測(cè)度金融市場(chǎng)的波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)，提出了一類(lèi)半?yún)?shù)CAViaR模型，利用傅立葉級(jí)數(shù)擬合前一期信息對(duì)當(dāng)前VaR風(fēng)險(xiǎn)值的非線(xiàn)性影響，選擇合適的先驗(yàn)分布，基于非對(duì)稱(chēng)Laplace分布構(gòu)建了相應(yīng)的似然函數(shù)，推導(dǎo)了參數(shù)的后驗(yàn)分布，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)CAViaR模型的貝葉斯推斷；最后利用貝葉斯CAViaR模型研究了上海綜合指數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)波動(dòng)特征，結(jié)果發(fā)現(xiàn)上證綜指的風(fēng)險(xiǎn)波動(dòng)存在自回歸性.

關(guān)鍵詞：貝葉斯分析；傅立葉級(jí)數(shù)；半?yún)?shù)方法；CAViaR模型

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.003

收稿日期：2015-05-20；修回日期：2015-07-20.

基金項(xiàng)目：*國(guó)家自然科學(xué)

作者簡(jiǎn)介：曾惠芳(1981-)，女，湖南省邵陽(yáng)人，講師，博士，從事貝葉斯空間統(tǒng)計(jì)研究.

中圖分類(lèi)號(hào)：F224.9；O212文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

隨著經(jīng)濟(jì)全球化及投資自由化，全球范圍內(nèi)，匯率、利率、股票價(jià)格和商品價(jià)格高度波動(dòng)，呈現(xiàn)不斷加劇的趨勢(shì).這些基礎(chǔ)市場(chǎng)價(jià)格因子的高度波動(dòng)，直接反映為金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的不斷增大.自20世紀(jì)90年代以來(lái)，國(guó)際金融市場(chǎng)經(jīng)歷了一些重大的結(jié)構(gòu)性變化，對(duì)金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)生了更為深遠(yuǎn)且深刻的影響.它們大大增加了金融市場(chǎng)和工具的關(guān)聯(lián)度、復(fù)雜性、不確定性和波動(dòng)性，使得金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)上升，結(jié)構(gòu)成分復(fù)雜，難以測(cè)量分析.

由于金融資產(chǎn)價(jià)格行為的復(fù)雜性，度量金融風(fēng)險(xiǎn)的方法越來(lái)越多，其中利用分位回歸方法度量金融風(fēng)險(xiǎn)是目前研究的熱點(diǎn).分位回歸方法不對(duì)金融時(shí)間序列的分布做任何假設(shè)，為有效地度量金融風(fēng)險(xiǎn)提供了一種靈活的方法.Taylor(1999)提出利用分位回歸模型估計(jì)多期風(fēng)險(xiǎn)值的情形，并研究德國(guó)馬克、英鎊與日元匯率，發(fā)現(xiàn)分位回歸模型用于估計(jì)多期風(fēng)險(xiǎn)值有良好的表現(xiàn)；Engle和Manganelli(2004)提出了非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)VaR模型(CAViaR)，CAViaR模型只描述條件分布尾部的行為，不受異常點(diǎn)的影響；劉新華，黃大山(2005)采用Hansen檢驗(yàn)方法討論了中國(guó)股市風(fēng)險(xiǎn)CAViaR建模的穩(wěn)定性問(wèn)題；張穎和孫和風(fēng)(2012)提出了一類(lèi)包含信息不對(duì)稱(chēng)性的GJR-CAViaR模型，并把它應(yīng)用于刻畫(huà)中美股票市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的差異；閆昌榮(2012)提出了一類(lèi)流動(dòng)性調(diào)整CAViaR模型，并計(jì)算了資產(chǎn)未來(lái)經(jīng)過(guò)流動(dòng)性調(diào)整的風(fēng)險(xiǎn)VaR；王新宇等(2010)考慮到金融資產(chǎn)收益與正負(fù)收益對(duì)分位數(shù)沖擊的不對(duì)稱(chēng)性，建立含有不對(duì)稱(chēng)絕對(duì)值和斜率設(shè)定的AAVS-CAViaR模型，對(duì)1996-2008年期間滬深港股票指數(shù)進(jìn)行了實(shí)證研究；王新宇等(2013)提出了帶有結(jié)構(gòu)變點(diǎn)的條件分位數(shù)自回歸模型，利用非對(duì)稱(chēng)拉普拉斯分布實(shí)現(xiàn)了模型的貝葉斯推斷.此處將基于傅立葉級(jí)數(shù)構(gòu)建一類(lèi)半?yún)?shù)CAViaR模型，并實(shí)現(xiàn)對(duì)模型的貝葉斯推斷，最后把貝葉斯CAViaR模型應(yīng)用于中國(guó)股票市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，發(fā)現(xiàn)中國(guó)股票市場(chǎng)的VaR風(fēng)險(xiǎn)存在自相關(guān)性.

1模型結(jié)構(gòu)分析

Engle和Manganelli(2004)提出了4種CAViaR模型，分別是自適應(yīng)CAViaR，對(duì)稱(chēng)CAViaR，非對(duì)稱(chēng)CAViaR，GARCH(1,1)-CAViaR模型.實(shí)際上，金融市場(chǎng)收益率的波動(dòng)特征更豐富，而且Engle和Ng(1993)曾經(jīng)也提出了利用非參數(shù)方法，即線(xiàn)性樣條方法，估計(jì)滯后收益率對(duì)波動(dòng)率的影響.此處將提出一類(lèi)新的更靈活的模型來(lái)度量VaR風(fēng)險(xiǎn)，即半?yún)?shù)CAViaR模型：

(1)

(2)

其中，

為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可利用式(2)中的前k項(xiàng)近似g(yt-1)，并記Θ=(θ11，…，θk),這樣可以通過(guò)解如下最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)模型的估計(jì)

(3)

其中ρτ(u)=u(τ-I(u<0)).因?yàn)榉治换貧w估計(jì)最小化問(wèn)題可以等價(jià)于以非對(duì)稱(chēng)Laplace分布為似然函數(shù)的極大似然估計(jì)問(wèn)題，因此似然函數(shù)可以表示為

(4)

其估計(jì)量可以看作是分位回歸模型的偽極大似然估計(jì),其中Y=(y1,…,yn).

為了實(shí)現(xiàn)模型的貝葉斯估計(jì)，首先給出參數(shù)的先驗(yàn)分布.因?yàn)閷?duì)函數(shù)g進(jìn)行平滑時(shí)會(huì)依賴(lài)于分位數(shù)τ，一般在極值分位水平下，數(shù)據(jù)比較少，需要較大的光滑.因此可以設(shè)計(jì)參數(shù)g的先驗(yàn)分布為

其中,

(5)

(6)

式(6)可以保證傅立葉級(jí)數(shù)以概率收斂于被擬合的函數(shù).從式(5)來(lái)看，傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)的先驗(yàn)分布的方差有兩種形式.代數(shù)平滑器平滑程度集中于γ的函數(shù)，而幾何平滑器先驗(yàn)平滑程度由解析函數(shù)控制.參數(shù)δ2控制著未知函數(shù)g的全局不確定性，即用于確定先驗(yàn)分布和似然函數(shù)之間的平衡關(guān)系.參數(shù)γ確定了傅立葉系數(shù)的衰減速度，因此能起到對(duì)函數(shù)g平滑的作用.顯然，其他基函數(shù)以及先驗(yàn)分布可以用于模擬函數(shù)g,并且假設(shè)δ2獨(dú)立于{θk}，其先驗(yàn)分布為服從參數(shù)為r02，s02的逆伽瑪分布，可以表示為

2模型的貝葉斯推斷

以非對(duì)稱(chēng)Laplace分布為基礎(chǔ)的非參數(shù)分位回歸模型的貝葉斯推斷很難得到傅立葉系數(shù)的解析后驗(yàn)分布，即無(wú)法得到解析的后驗(yàn)均值和后驗(yàn)方差，以及無(wú)法得到參數(shù)解析的完全條件分布，不能用Gibbs抽樣來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)模型的模擬，引入標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的混合分布，從而可以得到模型參數(shù)解析的完全條件分布，實(shí)現(xiàn)模型的Gibbs抽樣.

假設(shè)z服從標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布，u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,如果變量ε服從非對(duì)稱(chēng)Laplace分布，其密度函數(shù)表示為

那么ε可以表示為

其中φ=(1-2τ)τ(1-τ)，ω2=2τ(1-τ).這樣，半?yún)?shù)CAViaR模型可以表示為

(7)

為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，式(7)可以表示為

(8)

這樣，在一定的條件下Y條件分布可以表示為以β0I+β1q+ΦΘ+φZ(yǔ)為均值，以∑為方差的正態(tài)分布，因此Y的聯(lián)合分布可以表示為

(9)

3實(shí)證分析

圖1　上證綜指周收益率的 波動(dòng)軌跡

金融風(fēng)險(xiǎn)的度量方法有很多，要建立一個(gè)金融風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度機(jī)制，研究金融市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)特征非常重要.迄今為止，描述金融市場(chǎng)動(dòng)態(tài)特征的模型當(dāng)首推廣義自回歸條件異方差模型(GARCH).為了研究上證綜指周數(shù)據(jù)的風(fēng)險(xiǎn)值，樣本選擇的時(shí)間段為2006年1月到2011年2月.圖1給出了周收益率的波動(dòng)軌跡.

2008年的全球金融危機(jī)對(duì)中國(guó)經(jīng)濟(jì)也產(chǎn)生了巨大的影響.在度量中國(guó)股票市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，金融危機(jī)對(duì)中國(guó)股市的影響不容忽視.為了更靈活地度量中國(guó)股票市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)，此處將采用半?yún)?shù)CAViaR模型來(lái)度量中國(guó)股票市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn),利用三階傅立葉級(jí)數(shù)擬合模型中的非參數(shù)部分，用一條馬爾可夫鏈模擬模型參數(shù)的后驗(yàn)分布，將最初的4 000次迭代得到的樣本舍去，用第4 001次到第10 000次迭代得到6 000個(gè)模擬樣本去估計(jì)模型參數(shù).圖2給出了模型參數(shù)的后驗(yàn)分布核密度函數(shù).圖2密度曲線(xiàn)表現(xiàn)比較平滑且呈鐘型，說(shuō)明MCMC(MarkovChainMonteCarlo)算法有效地模擬了模型中各參數(shù)的邊緣后驗(yàn)分布.表1給出了半?yún)?shù)CAViaR模型參數(shù)的后驗(yàn)均值、標(biāo)準(zhǔn)方差、蒙特卡羅誤差和貝葉斯置信區(qū)間.

圖2　參數(shù)的后驗(yàn)核密度函數(shù)

參 數(shù)均 值標(biāo)準(zhǔn)差MC誤差0.025分位數(shù)0.975分位數(shù)α(0.5)0.46530.11740.01400.2700.720θ1(0.5)-9.92903.2300.2960-17.06-3.755θ2(0.5)11.06005.5550.50300.25922.570θ3(0.5)-13.92004.1400.3845-22.920-5.842α(0.9)-0.01430.49690.0468-0.7960.872θ1(0.9)42.84018.3301.5294.99472.620θ2(0.9)-20.62012.5801.008-42.0904.679θ3(0.9)9.1406.9390.5075-4.49422.29

根據(jù)表1可知，在分位水平τ=0.5時(shí)，參數(shù)部分自回歸系數(shù)α后驗(yàn)均值的估計(jì)為0.465 3，95%置信區(qū)間為(0.270，0.72)；非參數(shù)部分傅立葉級(jí)數(shù)θ1后驗(yàn)均值的估計(jì)為-9.929，95%置信區(qū)間為(-17.06，-3.755)；θ2后驗(yàn)均值的估計(jì)為11.06，95%置信區(qū)間為(0.256，22.57)，θ3后驗(yàn)均值的估計(jì)為-13.92，95%置信區(qū)間為(-22.92，-5.842).在分位水平τ=0.9時(shí)，參數(shù)部分自回歸系數(shù)α后驗(yàn)均值的估計(jì)為-0.014 3，95%置信區(qū)間為(-0.796，0.872)；非參數(shù)部分傅立葉級(jí)數(shù)θ1后驗(yàn)均值的估計(jì)為42.84，95%置信區(qū)間為(4.994，72.62)；θ2后驗(yàn)均值的估計(jì)為-20.62，95%置信區(qū)間為(-42.09，4.679)，θ3后驗(yàn)均值的估計(jì)為9.14，95%置信區(qū)間為(-4.494，22.29).從結(jié)果可以看出，VaR過(guò)程存在自回歸過(guò)程，即滯后一階的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)目前的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)有影響，同時(shí)，滯后一階的沖擊對(duì)當(dāng)前的風(fēng)險(xiǎn)也存在非線(xiàn)性的影響.

4結(jié)論

提出了一類(lèi)基于傅立葉級(jí)數(shù)的半?yún)?shù)CAViaR模型，并給出了模型的貝葉斯推斷和MCMC抽樣估計(jì)算法，對(duì)于靈活地測(cè)度金融市場(chǎng)的VaR風(fēng)險(xiǎn)值具有重要的意義.把貝葉斯半?yún)?shù)CAViaR模型應(yīng)用于中國(guó)股票市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，結(jié)果發(fā)現(xiàn)中國(guó)股票市場(chǎng)的VaR風(fēng)險(xiǎn)存在自相關(guān)性和羊群效應(yīng).但是，如何把極值理論與非參數(shù)方法結(jié)合起來(lái)估計(jì)金融風(fēng)險(xiǎn)值是未來(lái)研究的方向.

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Bayesian Analysis of Semi-parametric CAViaR Model Based on Fourier Series

ZENG Hui-fang1， XIONG Pei-gen2

(1.Business School，Hunan University of Science and Technology，Hunan Xiangtan 411201，China; 2.School of

Information and Electrical Engineering，Hunan University of Science and Technology，Hunan Xiangtan 411201，China)

Abstract：According to the complexity and uncertainty in financial market，in order to more flexibly measure the volatility risk of financial market，this paper presents a class of semi-parametric CAViaR model by using the non-linear influence of former term fitting information of Fourier series on current VaR risk value to select suitable priori distribution，the related likelihood function is constructed based on asymmetric Laplace distribution，the posterior distribution of the parameters is deduced，and thus，the Bayesian deduction for CAViaR model is implemented.Finally，the feature of the risk volatility of Shanghai Composite Index is studied based on Bayesian CAViaR model and its results show the risk volatility of Shanghai Composite Index has auto-regression.

Key words： Bayesian analysis; Fourier series; semi-parametric method; CAViaR model