例說習(xí)題資源的使用——以線性代數(shù)課程為例

例說習(xí)題資源的使用
——以線性代數(shù)課程為例

張 群 英，陳 建 華

(揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002)

摘要：大學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程中，如何充分發(fā)揮教材習(xí)題的功能呢?本文以線性代數(shù)課程為例，通過具體案例從習(xí)題求解、合理變通和尋找聯(lián)系三個層面進(jìn)行了初步探究，并深度思考了在教學(xué)過程中如何將習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)匾?、拓展、調(diào)整和重組，既要深入領(lǐng)會習(xí)題的編寫意圖，充分發(fā)揮習(xí)題的練習(xí)功能，又要創(chuàng)造性地使用習(xí)題，提高練習(xí)的有效性。

關(guān)鍵詞：習(xí)題；功能；優(yōu)化使用；矩陣；向量組

收稿日期：*2015-01-04

基金項(xiàng)目：江蘇省研究生教改課題(教育碩士數(shù)學(xué)方法論課程問題化學(xué)習(xí)的構(gòu)想與實(shí)踐)(JGLX14-131)

作者簡介：張群英(1975-)，女，江蘇省泰州人，博士，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

中圖分類號：O151.21；G642文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0引言

習(xí)題是學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)的載體，大學(xué)數(shù)學(xué)課程也是如此。對于學(xué)生來說，習(xí)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不可或缺的重要環(huán)節(jié)，是學(xué)生掌握知識、形成技能、發(fā)展能力的主要載體，是溝通知識與能力的橋梁；同時(shí)也是教師了解學(xué)生知識掌握情況的主要途徑。然而，在實(shí)踐中，許多大學(xué)生在學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的過程中，特別是考研復(fù)習(xí)過程中，過多地關(guān)注練習(xí)卷、教輔書等課外資料，而忽視課本上的例題和習(xí)題，丟棄了很多重要的學(xué)習(xí)資源。教師對教材習(xí)題及其練習(xí)過程的設(shè)計(jì)也較少深入研究，往往只是把教材習(xí)題作為作業(yè)布置給學(xué)生，缺少對習(xí)題深度的挖掘，使得習(xí)題功能弱化，教材意圖不能凸顯，教學(xué)效果不盡如人意。如何幫助學(xué)生充分發(fā)揮習(xí)題功能，讓學(xué)生能練出一片精彩呢？為此，我們依托線性代數(shù)課程，進(jìn)行了膚淺的探究。

1案例解析

1.1從一道研究生入學(xué)試題說起

習(xí)題A設(shè)向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，則下列向量組中，線性無關(guān)的是()。

(A)α1+α2,α2+α3,α3-α1，

(B)α1+α2,α2+α3,α3+2α2+α1，

(C)α1+2α2,2α2+3α3,α1+3α3，

(D)α1+α2+α3,2α1-3α2+22α3,3α1+5α2-5α3

該題是1997年全國碩士研究生入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)試題，是檢查學(xué)生基礎(chǔ)知識掌握情況，具有較好區(qū)分度的一道題。

從題面看該題是關(guān)于向量組的線性相關(guān)性的判定，在與學(xué)生交流解法時(shí)發(fā)現(xiàn)，有一半同學(xué)是根據(jù)線性無關(guān)的定義去解題，這樣做不但容易出現(xiàn)表述錯誤，而且也很費(fèi)時(shí)間。仔細(xì)解讀，我們應(yīng)該會意識到命題者不可能讓考生一種做法重復(fù)多遍。事實(shí)上，選項(xiàng)(A)通過直接觀察很快會得到判定：第二個向量減去第一個向量就是第三個向量，即第三個向量可以通過前兩個向量線性表示，當(dāng)然是線性相關(guān)的。同理可以給出選項(xiàng)(B)的判定。關(guān)于選項(xiàng)(C)和(D)，我們將其表述作如下改變：

聯(lián)系分塊矩陣運(yùn)算和矩陣秩的結(jié)論，那么向量組的線性相關(guān)性取決于矩陣P,Q的秩，很快就能得到結(jié)論。實(shí)際上，這就是波利亞在總結(jié)解題時(shí)的觀點(diǎn)：我們必須一再地變化它，重新敘述它、變換它[1]。矩陣的秩是線性代數(shù)課程的核心概念之一，在這個改變的動態(tài)過程中，學(xué)生能夠感性地認(rèn)識到矩陣秩的本質(zhì)意義。而借助于矩陣秩來討論向量組的線性相關(guān)性，也正是通過矩陣分塊方法產(chǎn)生的簡潔的、一般化的解法。這兩者之間是有著內(nèi)在關(guān)聯(lián)的，教材習(xí)題就有這方面的體現(xiàn)，如文獻(xiàn)[2]第四章習(xí)題19就是這一思路的課本原題，參見習(xí)題B。

習(xí)題B設(shè)向量組(B):β1,β2,…,βr能由向量組(A):α1,α2,…,αs線性表示為

(β1,β2,…,βr)=(α1,α2,…,αs)K(*)

其中K為s×r矩陣，且向量組(A):α1,α2,…,αs線性無關(guān)。證明：向量組(B):β1,β2,…,βr線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣K的秩為r。

1.2合理變通，揭示規(guī)律深化理解

如何讓學(xué)生在理解上述方法意義的基礎(chǔ)上，感悟方法選擇的靈活性、促進(jìn)知識的自主建構(gòu)呢? 讓我們對習(xí)題B做進(jìn)一步解讀。

習(xí)題B條件的必要性：令B=(β1,β2,…,βr),A=(α1,α2,…,αs)，則由向量組(B):β1,β2,…,βr線性無關(guān)，可得矩陣向量組(B):β1,β2,…,βr線性無關(guān)，即它的秩為r，再由r≥R(K)≥R(AK)=R(B)=r可知R(K)=r；而條件的充分性可以用反證法考慮如下：

假設(shè)向量組(B):β1,β2,…,βr線性相關(guān)，則存在不全為零的r個數(shù)l1,l2,…,lr使得(β1,β2,…,βr)(l1,l2,…,lr)T=0，即有(α1,α2,…,αs)K(l1,l2,…,lr)T=0，又因?yàn)棣?,α2,…,αs線性無關(guān)，故有K(l1,l2,…,lr)T=0，這表明矩陣K的列向量組線性相關(guān)，與矩陣K的秩為r矛盾。

特別地，當(dāng)r=s=n時(shí)，關(guān)系式(*)就是n維向量空間中兩組基的關(guān)系，而矩陣K就為一組基到另一組基的過渡矩陣?；氐皆囶}A，那就是當(dāng)α1,α2,α3是3維空間的一組基時(shí)，哪一選項(xiàng)中的向量組也是空間基向量組。如果能聯(lián)系線性方程組理論習(xí)題B還有下列解法：

構(gòu)造齊次線性方程組

x1β1+x2β2+…+xrβr=0(* *)

記X=(x1,x2,…,xr)T，B=(β1,β2,…,βr)，則(* *)為BX=0，由下列充要條件：

向量組(B):β1,β2,…,βr線性無關(guān)?齊次線性方程組BX=0只有零解?

AKX=0只有零解?KX=0只有零解?R(K)=r。

問題得證。

這一解法思路來源于線性代數(shù)經(jīng)典教材[3]第四章習(xí)題16。

習(xí)題C設(shè)B為r×r矩陣，C為r×n矩陣，且矩陣C的秩為r。證明：

(1) 如果BC=O，則B=O；

(2) 如果BC=C，則B=E。

1.3尋找聯(lián)系，延伸拓展思維空間

綜合上述三道題的思想，再融合矩陣運(yùn)算，我們編擬了以下習(xí)題：

2深度思考

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。回味案例分析過程，思索究竟如何合理有效利用課本習(xí)題，下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談幾點(diǎn)看法，與同仁分享。

2.1充分發(fā)揮習(xí)題功能，讓學(xué)生練中提高

日常教學(xué)中，對于課本習(xí)題的練習(xí)，學(xué)生通常會表現(xiàn)出目標(biāo)不明，為練而練；重視結(jié)果，忽視過程；弱化操作性習(xí)題；強(qiáng)調(diào)練習(xí)，忽略體驗(yàn)等。改變這些習(xí)慣可以在指導(dǎo)學(xué)生解題過程中按如下策略糾正。(1)多解求活。經(jīng)常性地對學(xué)生進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，對培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性是很有幫助的。譬如，改變習(xí)題呈現(xiàn)方式就能激發(fā)練習(xí)主動性，促進(jìn)學(xué)生主動參與，讓他們在參與中體驗(yàn)成功，在參與中體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的無窮魅力。(2)多變求深。如案例中設(shè)立四個問題，如果能讓學(xué)生解答、分析、交流問題的思考過程，領(lǐng)會它們在解法上的相通之處。這樣的改變，就可以幫助學(xué)生進(jìn)一步提高分析問題和解決問題的能力。(3)結(jié)論延伸。如果在教學(xué)中，運(yùn)用案例中提及的習(xí)題，從(A)到(C)，有計(jì)劃適時(shí)地介紹給學(xué)生，在學(xué)生不斷感受矩陣、向量之間的規(guī)律聯(lián)系，形成對“秩”的感性認(rèn)識后，再安排習(xí)題D進(jìn)行鞏固練習(xí)。這樣做，學(xué)生的思維就能得到拓展。

2.2優(yōu)化使用教材習(xí)題，提高習(xí)題的利用率

課本上的習(xí)題雖經(jīng)專家審定，但是教師仍然應(yīng)該根據(jù)學(xué)生具備的知識和技能的實(shí)際情況選擇適當(dāng)?shù)牧?xí)題進(jìn)行練習(xí)。

一方面，選擇習(xí)題要“百里挑一”。從眾多的數(shù)學(xué)習(xí)題中選擇到恰到好處的習(xí)題，這就需要我們在“精”字上下功夫。精選習(xí)題的目的要明確，針對性要強(qiáng)。也就是說選擇的習(xí)題能夠?qū)ΠY下藥。 精選習(xí)題示范性要好，選擇一題要能夠代表一片。例如，我們在講解完矩陣與向量組的秩后安排如下習(xí)題：已知向量組(I)α1,α2,α3；(II)α1,α2,α3,α4；(III)α1,α2,α3,α5.如果各向量組的秩分別為R(I)=R(II)=3，R(III)=4，證明：向量組α1,α2,α3,α5-α4的秩也為4。訓(xùn)練的目的性和示范性就能很好地體現(xiàn)，從橫的方面溝通了矩陣與向量組的聯(lián)系、線性無關(guān)與向量組的關(guān)系，從方法看彰顯了矩陣列分塊的作用，矩陣初等行變換討論秩和列向量組線性相關(guān)性的效能。

另一方面，運(yùn)用習(xí)題要“以一當(dāng)百”。數(shù)學(xué)習(xí)題的運(yùn)用不能僅僅滿足一題一解一問一答，需要我們在運(yùn)用習(xí)題時(shí)注意在“活”字上做文章。同一道題，從多方面提出問題，讓學(xué)生思考問題，就能夠達(dá)到“練一題，帶一串”的效果。同一道題，教師可結(jié)合學(xué)生實(shí)際，從不同方面啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去思考，用多種方法來解答，就能很好地發(fā)展學(xué)生的思維。

2.3巧用教材習(xí)題，優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)

注意整合習(xí)題內(nèi)容提高練習(xí)有效性。在教學(xué)中，我們要根據(jù)學(xué)生實(shí)際和課堂需要靈活使用教材習(xí)題，適時(shí)地對書中的習(xí)題進(jìn)行調(diào)整或改編以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。譬如， “設(shè)A是3階矩陣，矩陣A的每行元素之和等于3” ，提法生活化且直觀，數(shù)學(xué)的理解它告訴我們3是矩陣A的一個特征值，α=(1,1,1)T是對應(yīng)的一個特征向量；“β,γ是AX=o的兩個線性無關(guān)的非零解”就知道0是矩陣的特征值，β,γ是對應(yīng)的特征向量。 兩個條件結(jié)合就提供了3階矩陣A的全體特征值和特征向量，這種變呆板為新穎有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

拉卡托斯曾經(jīng)指出：“整個數(shù)學(xué)理論體系本身就是通過理論的不斷批判和反駁而生長，通過理論的更新和競爭而取得進(jìn)展的”[4](P28-29)。教學(xué)過程中，我們應(yīng)該充分利用課本習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考習(xí)慣，養(yǎng)成善于揚(yáng)棄的思維品質(zhì)。

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家奧蘇伯爾指出："影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道的知識”[5](P114)，因此在習(xí)題教學(xué)中，對于難度較大的習(xí)題要設(shè)計(jì)好知識鋪墊，面向全體學(xué)生，力爭全體學(xué)生參與知識的獲取過程。讓學(xué)生在練習(xí)中有成功感，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)心理。

3結(jié)束語

總之，教材習(xí)題是對教學(xué)內(nèi)容的鞏固和發(fā)展。用好用活習(xí)題，是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率、增強(qiáng)教學(xué)有效性的重要環(huán)節(jié)，需要引起教師足夠關(guān)注。充分發(fā)揮習(xí)題功能，這與教師對教材的理解、教材的處理能力息息相關(guān)。對教材習(xí)題有效使用策略的選擇和運(yùn)用，要求教師在認(rèn)真鉆研習(xí)題的基礎(chǔ)上，靜心解讀編寫意圖，精細(xì)設(shè)計(jì)練習(xí)過程，盡可能放大習(xí)題資源的教學(xué)功能，做到“題”盡其用，將習(xí)題教學(xué)演繹得更加精彩。

參考文獻(xiàn)〔〕

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Example Research of the Use of Exercise Resources

——Taking Linear Algebra Course as an Example

ZHANG Qun-ying,CHEN Jian-hua

(School of Mathematics Science,Yangzhou University,Yangzhou 225002)

Abstract:In the teaching and learning process of university mathematics,how to make best use of the function of textbook exercises? Taking linear algebra course as an example,preliminary exploration has been studied on three levels of problem solving,reasonable accommodation and finding relations through specific case analysis. And it is also deeply analyzed on how to extend,develop,adjust and restructure the exercises appropriately in the teaching process. It’s important for students not only to thoroughly understand the writing intention of exercises and take good advantage of the practicing function of exercises,but also to creatively use exercises and improve the effectiveness of practice.

Key words:Exercises;Function;Optimum use;MatrixVvector group