兩類不定積分巧解

張玉斌

摘 ?要：本文就高等數(shù)學(xué)中的兩類不定積分的計(jì)算給出了更簡捷的方法，以期幫助讀者提高解題效率。

關(guān)鍵詞：分部積分;表格法;循環(huán)積分

在高等數(shù)學(xué)中，當(dāng)被積函數(shù)函數(shù)出現(xiàn)兩類不同類型的函數(shù)乘積時，一般要用分部積分公式計(jì)算。但對于以下兩類積分，如果按照常規(guī)的方法來求解計(jì)算量會很大，而且也不易得出正確結(jié)果。為了提高解題效率，筆者就給出更簡捷的方法，供廣大讀者參考。

一、■pn（x）v■（x）dx型積分的解題技巧

對于■pn（x）v■（x）dx型積分，其中pn（x）為變量的次多項(xiàng)式，函數(shù)v■（x）為具有n+1階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)vx的n+1階導(dǎo)函數(shù)，直接運(yùn)用不定積分的分部積分公式的求解過程如下：

■pn（x）v■（x）dx=■pn（x）dv■（x）=pn（x）v■（x）-■v■（x）dpn（x）

=pn（x）v■（x）-■v■（x）Pn-1（x）dx=pn（x）v■（x）-■pn-1（x）dv■（x）

=pn（x）v■（x）-■pn-1（x）dv■（x）

=pn（x）v■（x）-[pn-1（x）v■（x）-■v■（x）dPn-1（x）]

=pn（x）v■（x）-pn-1（x）v■（x）+■v■（x）Pn-2（x）dx ? ? ? ? ? （1）

在（1）式中， pn-1（x）是一個n-1次多項(xiàng)式，這里，我們也用Pn-1（x）來表示函數(shù)pn（x）的導(dǎo)函數(shù).類似地，Pn-1（x）是一個n-i次多項(xiàng)式，也表示次多項(xiàng)式Pi（x）的導(dǎo)函數(shù)（i=1，2，…，n-1）.

對（1）式等號右邊的積分，再應(yīng)用分部積分公式次，得到下列結(jié)果：■pn（x）v■（x）dx=-pn（x）v■（x）-pn-1（x）v■（x）+pn-2（x）

v■（x）-…+（-1）n+1P0（x）v（x） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

不難看出，上述解法解題計(jì)算量大，雖過程重復(fù)單一，但會很繁瑣.

觀察（2）式，我們不難發(fā)現(xiàn)，（2）式有以下特點(diǎn)：

（1）積分運(yùn)算式有項(xiàng);

（2）除函數(shù)本身所帶符號外，符號正負(fù)相間;

（3）各項(xiàng)的第一個因式由pn（x）及其各階導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成，且導(dǎo)函數(shù)由pn（x）始降階排列;第二個因式由對v■（x）的1次，2次，…，次積分的一個原函數(shù)構(gòu)成.

注意到上述規(guī)律，我們可以列一個表格如下：

（3）

表格的第一行豎線右邊的函數(shù)是依次對pn（x）求導(dǎo)數(shù)得到的各階導(dǎo)函數(shù)，第二行是對依次求積分得到的一個原函數(shù).v■（x）這樣，（2）式的結(jié)果可以通過（3）式表格交錯相乘，符號正負(fù)相間得到。我們不妨把這種方法稱為表格法.

下面通過兩個例子來說明表格法的應(yīng)用.

【例1】求不定積分.

【解】 列表如下：

根據(jù)上表，得到

? ? ? ? ? ? ? ? .

【例2】求不定積分■v■ln2xdx.

【解】此題如果直接利用表格法計(jì)算也較為困難，我們來做一個變換：lnx=t，則x=et，dx=etdt，于是

對上式最后一個積分使用表格法，列表如下：

故

.

二、一類循環(huán)積分的解題技巧

在使用分部積分公式解題時，如果被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積，則此類積分會出現(xiàn)循環(huán)，我們不妨稱之為循環(huán)積分.

對于循環(huán)積分，直接計(jì)算計(jì)算量也較大，因此，筆者也就循環(huán)積分給出一種簡捷計(jì)算公式.

公式一：

，其中a2+c2≠0.

公式二：

，其中a2+c2≠0.

上述兩個公式利用分部積分法不難得出，這里證明從略.

【例3】計(jì)算不定積分.

【解】利用公式一得到：

參考文獻(xiàn)：

[1] 《高等數(shù)學(xué)》高等教育出版社 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編 （第六版）.

[2] 黃慶懷《高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義》.

[3] 陳文燈 世界圖書出版社 ?《考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）》