基于FIR濾波的NURBS插補(bǔ)算法研究

基于FIR濾波的NURBS插補(bǔ)算法研究

董伯麟，岳云平

(合肥工業(yè)大學(xué)，安微合肥230009)

摘要：在考慮數(shù)控加工精度和加工效率的基礎(chǔ)上，針對傳統(tǒng)加減速控制中減速點(diǎn)預(yù)測不準(zhǔn)的缺陷，提出了一種基于級聯(lián)濾波器的NURBS插補(bǔ)算法。該插補(bǔ)算法根據(jù)速度敏感點(diǎn)將要加工的曲線進(jìn)行分段處理，避免了插補(bǔ)過程中的爬行與過沖，提高了加工質(zhì)量。基于弓高誤差的速度自適應(yīng)調(diào)整使得加工精度一直在允許的范圍之內(nèi)，基于濾波器的進(jìn)給速度控制方案使速度過渡平穩(wěn)，提高了插補(bǔ)的效率。最后對提出的NURBS插補(bǔ)算法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)仿真，結(jié)果證明該算法的可行性。

關(guān)鍵詞:NURBS插補(bǔ)算法濾波器仿真

中圖分類號：TP273文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

作者簡介：董伯麟(1972-),男,合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院副教授,美國加州大學(xué)博士后研究人員。主要研究方向?yàn)楦咚俑呔葦?shù)控系統(tǒng)等。

收稿日期：2015-03-10

Study on NURBS interpolation algorithm based on FIR filter

DONG Bolin，YUE Yunping

Abstract:A NURBS interpolation algorithm based on cascade filter was proposed considering machining accuracy and efficiency, which was aimed at solving the problem of inaccurate prediction about the deceleration point in traditional speed control. With interpolation algorithm, NURBS was put under segment handling based on sharp corner so crawling and overshoot were avoided in the process of interpolation and the quality improved. The rate adaptive adjustment based on high error helped achieve precision within allowable range. The rate control scheme based on filter enabled the speed transit smoothly and the efficiency of interpolation was improved. Finally an experiment was made and the results showed the feasibility of this new interpolation algorithm.

Keywords:NURBS ; interpolation algorithm; filter; simulation

0引言

傳統(tǒng)的數(shù)控加工是利用以直代曲對自由曲線曲面進(jìn)行處理，該方法不僅加工精度低，而且頻繁加減速導(dǎo)致加工效率低下，NURBS插補(bǔ)直接對自由曲線曲面進(jìn)行插補(bǔ)，克服了這些缺點(diǎn)，在提高加工速度和精度等方面具有顯著的效果。因此，NURBS插補(bǔ)技術(shù)是數(shù)控技術(shù)研究的重要方向。

Bedi等[1]提出等參數(shù)算法，算法雖然簡單，但忽略NURBS曲線一維參數(shù)與三維軌跡空間的映射并非等比例線性變化的因素，帶來速度波動問題。Shpitalni等[2]采用泰勒展開法實(shí)現(xiàn)了參數(shù)的密化，但加工輪廓的誤差沒有得到有效控制。Yeh等[3]提出了速度自適應(yīng)算法，保證了加工過程中的弓高誤差。文獻(xiàn)[4-5]引入了加減速控制。但這些算法都是通過前瞻計算獲得加減速區(qū)域的弧長，根據(jù)弧長來確定加減速的參數(shù)區(qū)間，弧長的不精確性會產(chǎn)生速度偏差。文獻(xiàn)[6]在插補(bǔ)算法中引用了濾波技術(shù)，但是在濾波之前還要進(jìn)行T型加減速規(guī)劃。

本文設(shè)計了一種基于級聯(lián)濾波器的NURBS插補(bǔ)算法。該算法利用濾波技術(shù)對速度進(jìn)行S型曲線加減速規(guī)劃，避免了減速點(diǎn)預(yù)測不準(zhǔn)產(chǎn)生的加工誤差，提高了輪廓的加工精度，同時，取消了前瞻計算，顯著提高了插補(bǔ)運(yùn)算的效率。

1NURBS插補(bǔ)算法

1.1NURBS曲線分段預(yù)處理

在復(fù)雜形狀輪廓的工件高速加工時，當(dāng)加工過程中曲線路徑發(fā)生轉(zhuǎn)折，或者曲線路徑雖然連續(xù)，但進(jìn)給速度的方向改變快速，即加工的進(jìn)給速度發(fā)生突變，稱這樣的位置為速度敏感點(diǎn)。針對速度敏感點(diǎn)，需要進(jìn)行相應(yīng)的降速處理，但如果速度敏感點(diǎn)位置計算有差，會導(dǎo)致加工零件表面質(zhì)量的破壞。因此，速度敏感點(diǎn)的精確計算對于加工零件的外形輪廓精度尤為重要。

當(dāng)滿足條件：

(1)

時，點(diǎn)Ci即為速度敏感點(diǎn)。

NURBS曲線上任意一點(diǎn)曲率的計算公式為：

(2)

(3)

根據(jù)上述判別條件及對應(yīng)的計算公式就能得到速度敏感點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，并進(jìn)行相應(yīng)的降速處理，從而保證零件外形輪廓的加工精度。

1.3NURBS曲線泰勒插補(bǔ)算法

根據(jù)二階泰勒展開式：

(4)

其中ui≤uξ≤ui+1

便可得到插補(bǔ)點(diǎn)參數(shù)的二階泰勒展開求值公式

(5)

利用插補(bǔ)點(diǎn)參數(shù)的二階泰勒展開求值公式求解插補(bǔ)點(diǎn)參數(shù)雖然需要求其插補(bǔ)點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)，但是利用矩陣形式求解NURBS曲線的導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式并不復(fù)雜，且統(tǒng)一了插補(bǔ)點(diǎn)參數(shù)求值公式，精度得到了保證。因此，本文采用二階泰勒展開式來對插補(bǔ)點(diǎn)參數(shù)進(jìn)行求解。

1.4基于弓高誤差的速度調(diào)整

為了解決二階泰勒展開插補(bǔ)公式中輪廓誤差不可控的問題，引入插補(bǔ)算法速度自適應(yīng)調(diào)整機(jī)制，在插補(bǔ)過程中實(shí)時監(jiān)控輪廓誤差的大小。由于NURBS曲線插補(bǔ)算法所得到的插補(bǔ)點(diǎn)都在曲線上，因此不存在累積弦長誤差。但NURBS曲線插補(bǔ)是以微小直線段來逼近自由曲線，該過程不可避免的存在弓高誤差，因此提出基于弓高誤差的速度自適應(yīng)調(diào)整方法。

假設(shè)pi與pi+1為兩相鄰插補(bǔ)點(diǎn)，h為弓高誤差，其大小為兩相鄰插補(bǔ)點(diǎn)間曲線上的點(diǎn)與插補(bǔ)線段的最大距離。該值的計算十分繁瑣，達(dá)不到實(shí)時監(jiān)控弓高誤差的目的。考慮到插補(bǔ)步長pipi+1很小，可以對弓高誤差作一些近似處理。在此，引入局部圓弧逼近法來計算弓高誤差的值，將相鄰插補(bǔ)點(diǎn)pipi+1之間的自由曲線近似為一段圓弧，其圓心為o，并記其曲率半徑為pi，插補(bǔ)步長為ΔLi，則可以得到弓高誤差hi的求值公式為：

(6)

再將求得的弓高誤差hi與設(shè)定的最大弓高誤差值hmax進(jìn)行對比，看是否滿足條件

hi≤hmax

(7)

若滿足，即弓高誤差在設(shè)定的誤差范圍之內(nèi)，進(jìn)給速度無需調(diào)整；若不滿足，即弓高誤差超出了設(shè)定的誤差范圍，則根據(jù)最大的弓高誤差來調(diào)整進(jìn)給速度。

由此可得，插補(bǔ)進(jìn)給速度的自適應(yīng)調(diào)整公式如下所示：

(8)

2濾波器的設(shè)計

根據(jù)FIR濾波卷積數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

=x[0]h[n]+…+x[k]h[n-k]+…+x[n]h[0]

(9)

式中x[n]為輸入信號，y[n]為輸出信號，當(dāng)∑h[k]=1時，輸出信號y[n]呈現(xiàn)梯形規(guī)律。同理將y[n]作為輸入信號與h[n]進(jìn)行卷積，可得

=y[0]h[n]+…+y[k]h[n-k]+…+y[n]h[0]

(10)

式中輸入信號y[n]為公式(9)中的輸出信號，此時的輸出信號f[n]呈現(xiàn)S型規(guī)律。雖然S型規(guī)律需要進(jìn)行二次卷積，計算所需時間增加，但是控制精度也大為提高，若將進(jìn)給速度提前規(guī)劃，插補(bǔ)計算所需的時間也將減少。利用該原理，根據(jù)S型速度曲線加減速控制要求，構(gòu)建S型加減速控制級聯(lián)濾波器，該級聯(lián)濾波器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1　加減速級聯(lián)濾波器結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)圖1級聯(lián)濾波器的結(jié)構(gòu)圖，結(jié)合S型速度曲線，該濾波器的濾波項(xiàng)數(shù)m和n的計算公式為：

(11)

式中：F為加工程序設(shè)定的最大進(jìn)給速度；A為最大加速度；J為最大加加速度；T為系統(tǒng)的插補(bǔ)周期。

沒有加減速規(guī)劃的速度曲線其最大速度為vmax，加工時間為N·T，構(gòu)造S型速度曲線，結(jié)果如圖2所示。

圖2　級聯(lián)濾波器構(gòu)造的速度曲線

利用濾波技術(shù)可以得到S型速度曲線加減速控制的加工效果，但是為了確保利用級聯(lián)濾波器進(jìn)行加減速速度規(guī)劃前后等效，則必須保證濾波前后不發(fā)生位置偏移，即濾波后的位置結(jié)束點(diǎn)與濾波前的位置結(jié)束點(diǎn)一致。下面進(jìn)行級聯(lián)濾波器速度規(guī)劃前后等效性驗(yàn)證。

級聯(lián)濾波器速度規(guī)劃前速度曲線對應(yīng)的位移量為：

(12)

經(jīng)級聯(lián)濾波器速度規(guī)劃后速度曲線對應(yīng)的位移量為：

(13)

因此，級聯(lián)濾波器進(jìn)行加減速規(guī)劃前后是等效的。

3實(shí)驗(yàn)仿真

給定一條三次NURBS曲線，其加工路徑代碼如下所示：

現(xiàn)設(shè)定最大加速度Amax=2 000mm/s2,最大加加速度Jmax=40 000mm/s3,弓高誤差hmax=0.001mm,系統(tǒng)插補(bǔ)周期T=1ms。

圖4　插補(bǔ)軌跡曲率圖

圖3為該加工路徑代碼所對應(yīng)的插補(bǔ)軌跡。

該插補(bǔ)軌跡對應(yīng)的曲率如圖4所示。

圖6　插補(bǔ)加速度變化圖

從圖3可以看出，加工路徑插補(bǔ)軌跡可以分為直線段AB與曲線段BC兩個部分，同時從圖4可以看出，加工路徑軌跡曲率在0≤u<0.5區(qū)間內(nèi)為零，對應(yīng)部分為插補(bǔ)軌跡直線段AB，在0.5

NURBS插補(bǔ)過程中進(jìn)給速度、加速度與加加速度的變化圖如圖5與圖6所示。

從插補(bǔ)的速度圖可以看出插補(bǔ)算法很好的滿足了S型速度曲線變化規(guī)律，且在速度敏感點(diǎn)處將插補(bǔ)進(jìn)給速度降為零，保證了加工質(zhì)量，以及加工過程中速度的平穩(wěn)過渡。從插補(bǔ)的加速度圖可以看出，加速度能夠連續(xù)變化，且滿足最大加速度的要求，避免沖擊，提高柔性。

4結(jié)語

本文針對插補(bǔ)過程中進(jìn)給速度平穩(wěn)過渡的特性，設(shè)計了基于級聯(lián)濾波器的NURBS插補(bǔ)算法。該插補(bǔ)算法利用速度敏感點(diǎn)將NURBS曲線分段處理，實(shí)現(xiàn)加速度的連續(xù)變化，滿足了機(jī)床的動力學(xué)特性，且能準(zhǔn)確控制加減速位置，避免了傳統(tǒng)減速點(diǎn)預(yù)測所帶來的誤差。

參考文獻(xiàn)

[1]Bedi S, Ali I, Quan N.Advanced interpolation techniques for CNC machines[J].ASME Journal of Engineering for Industry, 1993,115: 329-336

[2]Shpitalni M, Koren Y, Lo C C.Real-time curve interpolators[J].Computer-Aided Design, 1994,26(11): 832-838

[3]Yeh S, Hsu P.Adaptive-feedrate interpolation for parametric curve with confined chord error[J].Computer-Aided Design, 2002(34): 229-237

[4]Nam, S H,M Y Yang.A study on a generalized parametric interpolator with real-time Jerk-limited acceleration[J].Computer-Aided Design，2004(36):27-36

[5]趙巍,王太勇,萬淑敏.基于NURBS曲線的加減速控制方法研究[J].中國機(jī)械工程,2006(17):1-3

[6]于東,胡韶華,蓋榮麗,等.基于濾波技術(shù)的數(shù)控系統(tǒng)加減速研究[J].中國機(jī)械工程,2008, 19(7):804-807

岳云平(1990-),男,合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院碩士研究生。