剪式齒輪傳動機構非線性動力學特性研究

剪式齒輪傳動機構非線性動力學特性研究

何文運，張俊紅，馬梁

(天津大學內燃機燃燒學國家重點實驗室，天津300072)

摘要：考慮齒側間隙、時變嚙合剛度和摩擦力等因素，建立7自由度剪式齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學模型，采用Runge-Kutta法對轉速、嚙合齒隙、扭簧剛度、預緊力矩等對系統(tǒng)振動特性的影響進行了研究。結果表明，隨著轉速的升高系統(tǒng)逐漸進入混沌狀態(tài)，中等轉速區(qū)間系統(tǒng)的非線性動力學行為對轉速的變化更為敏感；隨著齒側間隙的增大，混沌區(qū)間增大，混沌特性加強；扭簧剛度影響系統(tǒng)的非線性運動狀態(tài)，但對沖擊現(xiàn)象的影響較小，較小的扭簧剛度更有利于消除沖擊現(xiàn)象；扭簧的預緊力矩影響系統(tǒng)嚙合狀態(tài)，最小預緊力矩的大小受負載力矩的影響且近似呈正比例關系。

關鍵詞：剪式齒輪；非線性動力學；扭簧剛度；預緊力矩

中圖分類號:TH132.41文獻標志碼：A

基金項目：南京總參創(chuàng)新工作站(NJCX-RW-20120226)

收稿日期：2014-02-12修改稿收到日期：2014-05-15

基金項目：國防基礎科研計劃(A2620110003,A2620130003)

收稿日期：2013-10-09修改稿收到日期：2014-07-12

Nonlinear dynamic characteristics of a scissor gear transmission system

HEWen-yun,ZHANGJun-hong,MALiang(State key Laboratory of Engines，Tianjin University，Tianjin 300072, China)

Abstract:Considering backlash of gear pairs, time-varying mesh stiffness and friction, a nonlinear dynamic model of a scissor gear transmission system with 7-DOF was established with the analytical mechanics theory. An example of such a system was used to investigate the effects of rotational speed, backlash, stiffness and preload of torsional spring on the nonlinear dynamic behavior of the system with Runge-Kutta method. The results showed that the system enters a chaotic state with increase in rotating speed, the nonlinear dynamic behavior of the system in the medium rotating speed range is more sensitive to the change of rotating speed; the larger the backlash, the bigger the rotating speed interval of chaos, the stronger the chaotic characteristics; the torsional stiffness of spring has an effect on the non-linear dynamic behavior of the system, but it has a smaller effect on the impact phenomenon, the smaller torsional stiffness is more helpful to avoiding separating and impacting states of the gear pair; preload of torsional spring affects meshing states of the system, the minimum preload torque is almost proportional to the effect of the load torque.

Key words:scissor gear; nonlinear dynamics; torsional stiffness of spring; preload of torsional spring

剪式齒輪可以及時動態(tài)彌補齒側間隙，緩解齒輪嚙合時的沖擊，既降低了齒嚙合的撞擊噪聲，又對所驅動附件的噪聲有較大影響，從而在汽車行業(yè)噪聲控制上得到廣泛應用。國內外學者對剪式消隙齒輪機構的應用、設計、計算等方面進行了大量的研究取得了許多研究成果[1-4]，但對剪式齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學方面的研究卻較少。Kwon等[5]用三段柔性連接曲線表示消隙齒輪剛度模型，建立了消隙齒輪伺服機構動力學模型；Allan等[6]提出了一種計算消隙彈簧最小預緊力矩的方法，建立了不考慮時變嚙合剛度的多剛體系統(tǒng)扭轉運動學方程。楊政等[7-8]分析了齒輪參數(shù)變化對消隙齒輪綜合嚙合剛度的影響，建立了純扭轉動力學運動方程，分析了摩擦對消隙機構的影響。剪式齒輪消隙機構在工作時表現(xiàn)出復雜的非線性特性，對剪式齒輪的齒面接觸特性、工作狀態(tài)及傳動系統(tǒng)的振動噪聲會產(chǎn)生很大影響。本文考慮摩擦、齒側間隙、時變嚙合剛度、傳動誤差等因素，建立了7自由度剪式齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學模型，采用數(shù)值計算方法對嚙合齒隙、扭簧剛度、預緊力矩、轉速等對系統(tǒng)振動特性的影響進行了研究，為剪式齒輪傳動機構的優(yōu)化設計提供參考與依據(jù)。

1非線性動力學模型

剪式齒輪，如圖1所示，又稱雙片齒輪、消隙齒輪等，由固定齒輪Z2、浮動齒輪Z3和扭轉彈簧組成。固定齒輪與傳動軸固連，浮動齒輪空套在固定齒輪上，雙片齒輪之間用加載的扭簧連接。當雙片齒輪與配對齒輪嚙合時，扭簧將迫使浮動齒輪相對于固定齒輪作微量轉動，從而可有效消除齒輪本身誤差引起的齒隙。但剪式齒輪不能完全消除軸承以及其它因素引起的齒隙，仍存在少量的殘余回差[1]。

圖1　剪式齒輪結構 Fig.1 Structure of scissor gear

圖2　剪式齒輪傳動機構嚙合過程分析 Fig.2 Meshing states of scissor gear transmission

建立剪式齒輪機構7自由度平移-扭轉動力學模型如圖3所示。該模型是一個集中參數(shù)模型，齒輪采用集中質量和集中轉動慣量模擬，且系統(tǒng)對軸向誤差不敏感，每個構件都在垂直于軸線的平面內振動；軸采用無質量的剛體模擬，軸承為彈性支撐；剪式齒輪組(齒輪2、3)同心配置，能彼此相對旋轉，但沒有相對平移。

圖3　剪式齒輪傳動機構動力學模型 Fig.3 Dynamic model of scissor gear transmission

圖3中cij、kij(i=1,2；j=x,y)為軸承的阻尼、剛度；ke為扭簧扭轉剛度；c1i、k1i(i=2,3)為齒輪嚙合的阻尼、剛度；θi(i=1,2,3)為各齒輪的扭轉角。ei(t)(i=1,2)為齒輪副的法向靜態(tài)傳遞誤差，

式中，Aiel為誤差的l階諧波幅值；Ωe為齒輪副嚙合頻率；Φiel為l階諧波相位。

該模型的非線性振動微分方程如下：

2時變嚙合力及摩擦力分析

在齒輪系統(tǒng)中，時變剛度、時變摩擦和輪齒間隙及其之間的非線性強耦合使傳動系統(tǒng)表現(xiàn)出復雜的非線性特性，是齒輪系統(tǒng)中最重要的內部激勵。

由Ishikawa公式[9]可得單個嚙合齒輪受嚙合力作用時接觸線上單位寬度的剛度ki(t)，

令齒輪副Z1-Z2的輪齒對1第一次在B1點嚙入時為初始時刻t=0，由漸開線齒輪特性和嚙合原理可知，齒輪副Z1-Z2輪齒對1與輪齒對2、齒輪副Z1-Z3輪齒對3與輪齒對4的瞬時嚙合剛度如下式：

km1=k(mod(Ω1t,θ0))

kn1=k(mod(Ω1t+θ2-3,θ0))

兩齒輪齒面嚙合點間由于振動和誤差而產(chǎn)生的沿嚙合點法線方向的相對位移為：

結合齒側間隙位移函數(shù)g(δ′)可以求出嚙合彈性力與阻尼力，其合力即為輪齒間的時變嚙合力Fi(t)，

式中，cai為嚙合阻尼，ki(t)為時變嚙合剛度。嚙合剛度是隨嚙合位置作周期性變化的時間函數(shù)，對其進行Fourier級數(shù)展開，以諧波形式擬合ki(t)，

式中，kai為時變嚙合剛度的平均值；Aikl為時變嚙合剛度的l階諧波幅值；Ωh為齒輪副嚙合頻率；Φikl為l階諧波相位。

齒輪副在連續(xù)運轉的過程中，齒面摩擦力的大小和方向都發(fā)生周期性的變化，定義λ(t)為摩擦力方向系數(shù)，μ(t)為齒面摩擦系數(shù)，則齒面摩擦力fi(t)可以表示為：

fi(t)=λ(t)μ(t)Fi(t)(i=m1,m2,n1,n2)

式中，齒對Z1-Z2、Z1-Z3的摩擦力方向系數(shù)為：

潤滑處于混合潤滑狀態(tài)時，齒面摩擦系數(shù)μ(t)適用Benedict & Kelly模型[10]，

式中，Savg為齒面間平均粗糙度；η為潤滑油動力粘度；ξs為嚙合點處滑移速度；ξe為嚙合點處卷汲速度。

3動力學方程的無量綱化

式中，

a1=sinα，a2=cosα

ξij=cij/2miωn,(i=1,2;j=x,y)

ξνij=cij/2mνωn,(ν=1,2,e1,e2,e3;i=m,n;j=1,2)

φAmi=a1+λmiμmia2，φAni=a1+λniμnia2

φBmi=a2-λmiμmia1，φBni=a2-λniμnia1

4計算與討論

以一壓力角17.5°、模數(shù)2.25的剪式齒輪機構為研究對象，采用四階Runge-Kutta方法對非線性微分方程進行求解，通過時間序列、相圖、分岔圖、Poincare截面、頻譜及Lyapunov指數(shù)等方法對求解結果進行分析，研究系統(tǒng)參數(shù)對非線性動力學行為的影響。各齒輪參數(shù)如表1所示，各齒輪材料均為20CrMnTi。

表1　傳動機構各齒輪基本參數(shù)

齒輪的嚙合阻尼可由下式計算[11]：

式中，ξg為齒輪嚙合的阻尼比，一般為0.03～0.17，取ξg=0.09。各軸承的支撐剛度、阻尼取相同值，分別為：剛度Ks=5×108N/m，阻尼Cs=1 000 N·s/m。扭簧扭轉剛度Ke=5×104N·m/rad。圖4所示為只有主動齒輪Z1和固定齒輪Z2時的普通齒輪機構與剪式齒輪機構綜合嚙合剛度[7]對比曲線，可以看出剪式齒輪傳動時的綜合嚙合剛度大于普通齒輪機構。

圖4　剪式齒輪與普通齒輪綜合嚙合剛度對比曲線 Fig.4 Mesh stiffness of scissor gear comparing with normal gear

4.1齒側間隙的影響

轉速2 500 r/min、齒側間隙20 μm時齒對Z1-Z2、Z1-Z3沿嚙合線方向的無量綱相對位移δ1、δ2的時間歷程、相圖、Poincare截面、頻譜如圖5所示。由圖5可知δ1、δ2均既存在大于一半齒隙又存在小于一半齒隙的現(xiàn)象，說明齒對Z1-Z2、Z1-Z3均處于單邊沖擊狀態(tài)；相圖為非橢圓閉合曲線，Poincare截面包含單一離散點，F(xiàn)FT頻譜圖的譜線為八個基頻成倍數(shù)關系的離散分量，表明齒對Z1-Z2、Z1-Z3的響應為非簡諧單周期響應。

圖5　轉速2 500 r/min、齒隙20 μm的響應 Fig.5 Responses at 2 500 r/min and backlash of 20 μm

轉速2 500 r/min、齒側間隙40 μm時δ1、δ2的時間歷程、相圖、Poincare截面、頻譜如圖6所示。由圖6可知，齒對Z1-Z2、Z1-Z3均出現(xiàn)沖擊，相平面圖由相互纏繞和交叉但不重復不封閉的曲線組成，Poincare映射圖為分布在一定區(qū)域的點集，F(xiàn)FT頻譜圖的譜線變?yōu)檫B續(xù)譜。以互信息法和G-P法確定時延和嵌入維，采用wolf法[12]計算得到的最大Lyapunov指數(shù)分別為0.000 333 63和0.001 455 1，均大于0，表明傳動系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌運動。

圖6　轉速2 500 r/min、齒隙40 μm的響應 Fig.6 Responses at 2 500 r/min and backlash of 40 μm

圖7　最大Lyapunov指數(shù)與轉速的關系 Fig.7 Variation of maximal lyapunov exponent with speed

圖7所示為不同齒側間隙時計算得到的齒對Z1-Z2、振動的最大Lyapunov指數(shù)隨轉速的變化。由圖7可知，轉速的變化對混沌的產(chǎn)生具有很大的影響。隨轉速的升高，最大Lyapunov指數(shù)由負值變?yōu)檎?，即隨著轉速的升高系統(tǒng)逐漸進入混沌狀態(tài)；且在中等轉速時，混沌區(qū)域存在小于零的最大Lyapunov指數(shù)，說明在混沌參數(shù)區(qū)域存在周期窗口，在中等轉速區(qū)間系統(tǒng)的非線性動力學行為對轉速的變化更為敏感。同時可以看出，隨著齒側間隙的增大，混沌區(qū)間增大，混沌特性加強。

4.2扭簧剛度的影響

齒側間隙取為20 μm，對扭簧剛度的影響進行分析。在其它參數(shù)不變的情況下，分別取轉速為1 000 r/min、2 500 r/min，分析扭簧剛度在1.0×104～1.0×105N·m·rad-1區(qū)間變化時對傳動系統(tǒng)動力學特性的影響。

轉速1 000 r/min隨扭簧剛度變化的分岔圖和不同扭簧剛度時δ2的極大值與極小值如圖8、圖9所示?？梢钥闯觯S扭簧剛度的變化，系統(tǒng)出現(xiàn)了跳躍、分岔、混沌等非線性動力學特征，混沌與周期交替出現(xiàn)。在整個區(qū)間內，系統(tǒng)一直呈現(xiàn)沖擊狀態(tài)。當扭簧剛度在1.0×104～2.6×104N·m·rad-1之間時，沖擊幅度基本保持不變，之后隨著扭簧剛度的增加系統(tǒng)進入混沌運動狀態(tài)，沖擊幅度總體呈增大趨勢；當扭簧剛度大于8.3×104N·m·rad-1時，系統(tǒng)退化為周期運動，沖擊幅度略微減小。

圖8　轉速1 000 r/min隨扭簧剛度變化的分岔曲線 Fig.8 The bifurcation diagram depend on torsional stiffness of spring at 1 000 r/min

圖9　轉速1 000 r/min動態(tài)響應與扭簧剛度的關系 Fig.9 Relation between responses δ 2 and torsional stiffness of spring at 1 000 r/min

轉速為2 500 r/min系統(tǒng)隨扭簧剛度變化的分岔圖如圖10所示，不同扭簧剛度下沿嚙合線方向的無量綱相對位移δ2的極大值與極小值如圖11所示。可以看出，當扭簧剛度在1×104～3.2×104N·m·rad-1之間時，系統(tǒng)運動以周期運動為主，此區(qū)間內，沖擊幅度基本保持不變，之后系統(tǒng)進入混沌運動狀態(tài)，沖擊幅度隨扭簧剛度的增加變化明顯；在4.9×104～5.0×104N·m·rad-1之間出現(xiàn)了短暫的周期運動，馬上經(jīng)倍周期分岔進入到混沌運動；在6.7×104N·m·rad-1附近沖擊幅值發(fā)生跳躍；當扭簧剛度大于9.4×104N·m·rad-1時系統(tǒng)由混沌運動經(jīng)2倍周期分岔退化為周期運動，沖擊幅度減小。

圖10　轉速2 500 r/min隨扭簧剛度變化的分岔曲線 Fig.10 The bifurcation diagram depend on torsional stiffness of spring at 2 500 r/min

圖11　轉速2 500 r/min動態(tài)響應與扭簧剛度的關系 Fig.11 Relation between responses δ 2and torsional stiffness of spring at 2500r/min

結合圖8～圖11可知，扭簧剛度是影響系統(tǒng)非線性運動狀態(tài)的重要因素，隨扭簧剛度的變化，系統(tǒng)呈現(xiàn)出了豐富的非線性動力學特征，且不同轉速下，系統(tǒng)動力學行為的變化規(guī)律不同；扭簧剛度對沖擊現(xiàn)象的影響較小，扭簧剛度增大到一定值后反而會使沖擊幅度增大，所以較小的扭簧剛度有利于消除沖擊現(xiàn)象，但是扭簧剛度也不能過小，否則預變形量過大、超過屈服極限，將導致扭簧發(fā)生塑性變形。

4.3扭簧預緊力矩的影響

齒側間隙為20 μm、扭簧剛度為5×104N·m·rad-1、轉速分別為2 500 r/min、3 000 r/min時傳動機構沿嚙合線方向的無量綱相對位移δ1、δ2與加載扭簧預緊力矩的關系如圖12所示。圖12表明預緊力矩對固定齒輪和浮動齒輪的嚙合狀態(tài)均有重要影響，對浮動齒輪嚙合狀態(tài)的影響更加顯著；預緊力矩較小時，浮動齒輪處于完全脫齒狀態(tài)，此時只有固定齒輪與主動齒輪嚙合，剪式齒輪成為普通齒輪；轉速為3 000 r/min時，隨預緊力矩的增加，沖擊幅度逐漸減小，最終脫齒現(xiàn)象消失，進入正常嚙合狀態(tài)；轉速為2 500 r/min時，隨預緊力矩的增加沿嚙合線方向的相對位移幅值增加，但系統(tǒng)始終處于正常嚙合與瞬時脫齒之間，沖擊現(xiàn)象一直存在。由此可知，加載扭簧的預緊力矩是影響剪式齒輪傳動機構嚙合狀態(tài)的關鍵因素，合適的預緊力矩可以緩解或消除沖擊現(xiàn)象的產(chǎn)生，但也不宜盲目加大預緊力矩，否則不但不能消除沖擊現(xiàn)象，還會導致輪齒變形增大、齒間嚙合力增加、齒面磨損加劇等。

圖12　動態(tài)響應與預緊力矩的關系 Fig.12 Relation between responses and preload of torsional spring

圖13　不同轉速時最小扭簧預緊力矩與負載的關系 Fig.13 Relation between minimum preload of torsional spring and drive torque at different speed

圖14　不同負載時最小扭簧預緊力矩與轉速的關系 Fig.14 Relation between minimum preload of torsional spring and speed at different drive torque

扭簧剛度取1.0×104N·m·rad-1、齒隙取20 μm，對基于嚙合沖擊[13]的最小扭簧預緊力矩Min_Tp的變化規(guī)律進行分析。圖13給出了轉速一定時Min_Tp與負載的關系，可以看出，Min_Tp隨著負載的增加而近似線性增加，不同轉速Min_Tp對負載變化的靈敏度略有不同。圖14給出了負載一定時Min_Tp與轉速的關系，可以看出，小于2 250 r/min的轉速區(qū)間隨轉速升高Min_Tp變化較為平緩，Min_Tp約等于2倍負載力矩；在高轉速區(qū)域轉速對Min_Tp的影響顯著，隨轉速的升高Min_Tp明顯增加，Min_Tp等于(2～5)倍負載力矩。

5結論

(1)轉速的變化對剪式齒輪傳動系統(tǒng)混沌的產(chǎn)生有很大影響，隨著轉速的升高系統(tǒng)逐漸進入混沌狀態(tài)；中等轉速區(qū)間系統(tǒng)的非線性動力學行為對轉速的變化更為敏感。

(2)齒隙間隙影響剪式齒輪傳動系統(tǒng)動力學行為的復雜程度，隨著齒側間隙的增大，混沌區(qū)間增大，混沌特性加強。

(3)扭簧剛度是影響剪式齒輪傳動系統(tǒng)非線性運動狀態(tài)的重要因素，但對沖擊現(xiàn)象的影響較小，較小的扭簧剛度更有利于消除沖擊現(xiàn)象。

(4)加載扭簧的預緊力矩是影響剪式齒輪傳動系統(tǒng)嚙合狀態(tài)的關鍵因素，合適的預緊力矩可以緩解或消除沖擊現(xiàn)象的產(chǎn)生。最小預緊力矩的大小受負載力矩的影響且近似呈正比例關系。

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第一作者段綿俊男，博士生，1982年生

第一作者唐曉慧男，碩士，1986年6月生

通信作者錢林方男，教授，博士生導師，1961年12月生