車輛系統(tǒng)的多個(gè)蛇行運(yùn)動(dòng)

高學(xué)軍，李映輝, 關(guān)慶華

(1. 成都理工大學(xué)地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 成都　610059;2.西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院, 成都　610031; 3. 西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 成都　610031)

第一作者高學(xué)軍男，博士, 副教授，1979年生

車輛系統(tǒng)的多個(gè)蛇行運(yùn)動(dòng)

高學(xué)軍1，李映輝2, 關(guān)慶華3

(1. 成都理工大學(xué)地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 成都610059;2.西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院, 成都610031; 3. 西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 成都610031)

摘要：采用升速法和降速法對(duì)復(fù)雜非線性輪軌接觸關(guān)系下車輛系統(tǒng)的分岔行為進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在運(yùn)動(dòng)幅值相差不大的兩個(gè)蛇行運(yùn)動(dòng)解并存的現(xiàn)象，這種多個(gè)蛇行運(yùn)動(dòng)解并存的特性與一般的由單個(gè)亞臨界Hopf分岔所引起的穩(wěn)定定常運(yùn)動(dòng)與穩(wěn)定蛇行運(yùn)動(dòng)并存的特性有所不同，很容易使車輛在相應(yīng)速度附近運(yùn)行時(shí)由于擾動(dòng)的不同而使擺振幅值往復(fù)變化，影響車輛的正常安全運(yùn)行，因此臨界速度測(cè)定時(shí)需要在多種可能的激勵(lì)條件下多次測(cè)試綜合分析。

關(guān)鍵詞：輪軌接觸關(guān)系; 車輛系統(tǒng); 分岔; 并存; 臨界速度

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11102030, 11372257, 51305360,11472064)

收稿日期：2014-01-02修改稿收到日期：2014-05-08

中圖分類號(hào):O322;U260.11

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.035

Abstract:The bifurcation behaviors of a railway vehicle system with a complex nonlinear wheel-rail contact relation were investigated using the methods of increasing speed and decreasing speed. It was shown that two hunting motions with similar amplitudes coexist in the system; there are some differences between the coexistence of multiple hunting motions and the coexistence of the stable steady motions and the stable hunting motions caused by a single sub-critical Hopf bifurcation in the railway vehicle system; the coexistence of multiple hunting motions may easily cause the reciprocating change of the vehicle’s shimmy amplitude due to different disturbances to affect the normal and safe operation of the vehicle; therefore, the critical speed should be determined through comprehensive analysis under various kinds of possible excitations and multiple tests.

Multiple hunting motions of a railway vehicle system

GAOXue-jun1,LIYing-hui2,GUANQing-hua3(1. State Key Laboratory of Geohazard Prevention and Geoenvironment Protection, Chengdu University of Technology, Chengdu 610059, China;2. School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China;3. State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Key words:wheel-rail contact relation; railway vehicle system; bifurcation; coexistence; critical speed

車輛系統(tǒng)橫向運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究[1-2]一直是鐵路工程師和科研工作者非常關(guān)心的問題，因?yàn)樗坏婕暗杰囕v臨界速度[3-4]的確定，直接影響列車允許的最高運(yùn)行速度，而且還涉及到車輛運(yùn)行過程中各種可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及其對(duì)其它性能指標(biāo)的影響。在這方面，國(guó)內(nèi)外許多專家學(xué)者已開展了卓有成效的研究工作：Cooperrider等[5]應(yīng)用非線性修正的縱向和橫向蠕滑力(未考慮自旋蠕滑力)研究車輛系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。True[6]發(fā)現(xiàn)對(duì)稱的車輛系統(tǒng)中會(huì)存在不對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)形式。楊紹普等[7]對(duì)具有滯后非線性懸掛的轉(zhuǎn)向架和車輛蛇行運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定進(jìn)行了研究。高學(xué)軍等[8]探討了延續(xù)算法在簡(jiǎn)單軌道客車系統(tǒng)分岔方面的應(yīng)用。這些研究主要是采用線性或簡(jiǎn)單非線性輪軌接觸關(guān)系來分析的，與實(shí)際的輪軌接觸狀態(tài)存在一些差別，使得應(yīng)用的范圍受到部分限制。

已有學(xué)者開始應(yīng)用復(fù)雜非線性輪軌接觸關(guān)系來進(jìn)行分析。Zeng[9]使用QR算法結(jié)合牛頓-拉夫遜法求解車輛系統(tǒng)的Hopf分岔點(diǎn)，應(yīng)用龍格-庫(kù)塔法結(jié)合Poincaré映射確定系統(tǒng)的極限環(huán)。Xia[10]考慮了楔塊的二維干摩擦特性研究了三大件式貨車的動(dòng)力學(xué)問題。Hoffmann[11]通過引入“事件系統(tǒng)”分析了歐洲兩軸貨車的動(dòng)力學(xué)問題。Gao等[12]則研究了真實(shí)的輪軌型面下轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)的對(duì)稱/不對(duì)稱分岔行為。

在前人研究工作的基礎(chǔ)上，本文擬采用復(fù)雜非線性輪軌接觸關(guān)系分析鐵道車輛系統(tǒng)的分岔行為，主要討論分岔過程中存在的多個(gè)蛇行運(yùn)動(dòng)的情形。研究結(jié)果可為進(jìn)一步改善車輛運(yùn)行品質(zhì)、臨界速度的測(cè)定及許用范圍值的確定提供參考和部分依據(jù)。

1動(dòng)力學(xué)模型描述

1.1復(fù)雜非線性輪軌接觸關(guān)系

對(duì)中國(guó)的車輪踏面LM和鋼軌型面CHN60，標(biāo)準(zhǔn)軌距1 435 mm，輪對(duì)內(nèi)側(cè)距1 353 mm，采用RSGEO[13]軟件包即可生成輪軌相互匹配時(shí)的復(fù)雜非線性輪軌接觸關(guān)系數(shù)表。

圖1給出了輪軌接觸數(shù)表中Kalker系數(shù)C11與輪對(duì)橫移量之間的非線性變化關(guān)系。由圖可見，當(dāng)輪對(duì)橫移量較小時(shí)，Kalker系數(shù)C11與輪對(duì)橫移量之間存在近似的線性關(guān)系，而一旦輪對(duì)橫移量超過某一值時(shí)，C11與輪對(duì)橫移量之間則不再是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，而是隨著輪對(duì)橫移量的變化急劇變化，其中不乏突增或突減的區(qū)域。

圖1　Kalker系數(shù)C11與輪對(duì)橫移量之間的非線性變化關(guān)系Fig.1 The Kalker’s creepage coefficients C11 as a nonlinear function of the lateral displacement of the wheel-set

1.2蠕滑力/力矩的計(jì)算

輪軌間的蠕滑力/力矩與蠕滑率有關(guān)，縱向、橫向、自旋蠕滑率對(duì)左輪(l,±或?取上面的符號(hào)，后同)，右輪(r, ±或?取下面的符號(hào)，后同)可依次表示為[14]

(1)

式中:V為車輛運(yùn)行速度；Ω=V/r0為車輪名義滾動(dòng)角速度；yw為輪對(duì)橫向位移；ψw為輪對(duì)搖頭角位移；r(l, r)為左/右輪滾動(dòng)圓半徑；(δl,δr)為左/右輪輪軌接觸角；φw為輪對(duì)側(cè)滾角；(al,ar)為輪對(duì)質(zhì)心到左/右輪接觸點(diǎn)的橫向距離。

先根據(jù)Kalker線性蠕滑理論[15]計(jì)算輪軌間的線性蠕滑力，然后再應(yīng)用沈氏蠕滑理論[16]進(jìn)行非線性修正，最后將修正后的接觸斑蠕滑力/力矩通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換到軌道坐標(biāo)系內(nèi)即可建立車輛系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程組。

1.3法向接觸力的計(jì)算

實(shí)際上，車輛運(yùn)行中的法向力也是隨著輪對(duì)橫移量的不同在不斷發(fā)生著變化。

圖2給出了由RSGEO得到并轉(zhuǎn)換后的靜態(tài)法向力與輪對(duì)橫移量的非線性變化關(guān)系，由圖2可知，大多數(shù)情況下，靜態(tài)法向力與軸載荷的一半相差不大，只有當(dāng)輪對(duì)橫移量超過輪軌間隙(η=9.0 mm)時(shí)，法向力才會(huì)發(fā)生急劇變化而減小。

圖2　靜態(tài)法向力與輪對(duì)橫移量的非線性變化關(guān)系Fig.2 The static normal forces as a nonlinear function of the lateral displacement of the wheel-set

左、右輪法向力在橫向方向的分量N(l,r)y和垂向方向的分量N(l,r)z分別為：

(2)

1.4車輛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

考慮包括1個(gè)車體(mc,Icx,Icz)、2個(gè)構(gòu)架(mt,Itx,Itz)、4個(gè)輪對(duì)(mw,Iwx,Iwz)等剛體和一系懸掛(Kpx,Kpy,Kpz,Cpx,Cpy,Cpz)及二系懸掛(Ksx,Ksy,Ksz,Csx,Csy,Csz)的四軸客車橫向穩(wěn)定性分析模型(見圖3)。

圖3　四軸客車橫向穩(wěn)定性分析模型Fig.3 Model of four-axle railway passenger car system

分析中只考慮各個(gè)剛體的橫向運(yùn)動(dòng)[2]，因此整個(gè)系統(tǒng)共有17個(gè)自由度：4個(gè)輪對(duì)的橫移ywi(i=1-4)和搖頭ψwi運(yùn)動(dòng)；2個(gè)構(gòu)架的橫移ytj(j=1-2)、側(cè)滾φtj及搖頭ψtj運(yùn)動(dòng)；車體的橫移yc，側(cè)滾φc及搖頭ψc運(yùn)動(dòng)。

整個(gè)車輛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程組可以表示如下

(3)

式中:F(l,r)x、F(l,r)y、M(l,r)z為非線性關(guān)系修正且已轉(zhuǎn)換到軌道坐標(biāo)系內(nèi)的縱向蠕滑力、橫向蠕滑力和旋轉(zhuǎn)蠕滑力矩。dw為一系懸掛橫向距離之半，ds為二系懸掛橫向距離之半，lt是轉(zhuǎn)向架軸距之半，lc為車輛定距之半。hcb為車體重心至二系懸掛高度，hbt為構(gòu)架重心至二系懸掛高度，htw為構(gòu)架重心至一系懸掛高度。

式(3)中一系懸掛縱向力、橫向力、垂向力為

(4)

式中:i=1,3時(shí)，±或?取上面的符號(hào)；i=2,4時(shí)則取下面的符號(hào)。下標(biāo)i(j)=1(1), 2(1), 3(2), 4(2)代表四個(gè)輪對(duì)及其所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)向架。

同理，二系懸掛縱向力、橫向力、垂向力為

(5)

式中:j=1,2分別為前后轉(zhuǎn)向架構(gòu)架且當(dāng)j=1時(shí)，±或?取上面的符號(hào)；j=2時(shí)則取下面的符號(hào)。

令系統(tǒng)狀態(tài)向量y∈R34，則車輛系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題式(3)可歸結(jié)為如下形式的自治常微分方程組系統(tǒng)

(6)

式中:V∈R+是系統(tǒng)參數(shù)，此處即為車輛運(yùn)行速度，f為狀態(tài)向量函數(shù)。

2分析方法

首先通過解析法并結(jié)合數(shù)值方法確定系統(tǒng)式(6)的線性化Jacobi矩陣，求解系統(tǒng)的Hopf分岔點(diǎn)速度。然后通過Poincaré截面法構(gòu)造分岔圖說明系統(tǒng)的分岔行為。分析中將Poincaré截面定義為前轉(zhuǎn)向架前導(dǎo)輪對(duì)橫向速度為零，橫向位移非負(fù)的那個(gè)瞬時(shí)

(7)

在接觸數(shù)表的使用方面，采用三次樣條對(duì)任意輪對(duì)橫移處的相關(guān)非線性輪軌接觸相關(guān)參量進(jìn)行插值，以保證計(jì)算結(jié)果的可靠性。

3數(shù)值計(jì)算結(jié)果與分析

以某高速客車為分析對(duì)象，車輛系統(tǒng)中各剛體的質(zhì)量值、剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)等，輪軌間的粘著系數(shù)取μ=0.40。

3.1Hopf分岔點(diǎn)

為了尋求車輛系統(tǒng)的Hopf分岔點(diǎn)，需要通過方程組式(6)線性化系統(tǒng)Jacobi矩陣的特征值進(jìn)行判定。圖4給出的是系統(tǒng)Jacobi矩陣非零元素分布情況。其中“*”表示解析計(jì)算元素，“+”表示數(shù)值計(jì)算元素，“1”表示1元素。雖然整個(gè)矩陣共有34×34=1156個(gè)元素，但非零元素卻只有159個(gè)，而這些元素中需要通過數(shù)值計(jì)算的則只有32個(gè)，應(yīng)用這種方法可以大大提高計(jì)算的效率和精度。

圖4　Jacobi矩陣非零元素分布情況Fig.4 The distribution of the nonzero elements of the Jacobi matrix

分析中，應(yīng)用向前差分法數(shù)值計(jì)算Jacobi矩陣中的數(shù)值計(jì)算元素。為了得到第i行第j列處數(shù)值計(jì)算元素的值，若函數(shù)在yj處的值為fi，現(xiàn)給yj增加一個(gè)擾動(dòng)δ，得到該狀態(tài)下的函數(shù)值fi,+，則Jacobi矩陣(i,j)處數(shù)值計(jì)算元素的值為

(8)

計(jì)算中系統(tǒng)狀態(tài)向量y的初始值取蛇行運(yùn)動(dòng)(如速度V=67.5 m/s)時(shí)某個(gè)解向量的10-6倍，而擾動(dòng)量則取δ=10-9。

通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)當(dāng)車輛運(yùn)行速度V=97.491 m/s (α1,2=-1.004×10-5±26.405i,α代表系統(tǒng)特征值)時(shí)，系統(tǒng)第一對(duì)復(fù)共軛特征值正向穿越虛軸，原來穩(wěn)定的定常解變得不穩(wěn)定，據(jù)此判定V=97.491 m/s是系統(tǒng)第1個(gè)Hopf分岔點(diǎn)速度。當(dāng)車輛運(yùn)行速度繼續(xù)增加到V=100.816 m/s(α1,2=0.351±26.851i,α3,4=2.739×10-5± 26.871i)時(shí)，系統(tǒng)又有一對(duì)復(fù)共軛特征值正向穿越虛軸，原來不穩(wěn)定的定常解變得“更加不穩(wěn)定”，由此可以斷定V=100.816 m/s是系統(tǒng)第2個(gè)Hopf分岔點(diǎn)速度。從這兩個(gè)不同的Hopf分岔點(diǎn)會(huì)分岔出不同的周期解分支，下面進(jìn)行闡釋。

3.2蛇行運(yùn)動(dòng)1解

圖5　前轉(zhuǎn)向架前導(dǎo)輪對(duì)橫向位移分岔圖Fig.5 The bifurcation diagram of the leading wheel-set of the front bogie showing the lateral displacements versus the speed

圖5給出的是前轉(zhuǎn)向架前導(dǎo)輪對(duì)(1位輪對(duì))在速度67.0 m/s

因降速過程中出現(xiàn)多次跳躍現(xiàn)象，再通過升速的方法追蹤系統(tǒng)其它可能的分岔點(diǎn)。車輛運(yùn)行速度從VA=68.5 m/s的蛇行運(yùn)動(dòng)解開始逐漸增加，數(shù)值積分初始值的取法與降速時(shí)類似，整個(gè)系統(tǒng)則會(huì)沿著ABB′CC′DD′E解分支前進(jìn)。也就是說，隨著速度的增加，1位輪對(duì)橫向振動(dòng)幅值緩慢增加達(dá)到圖中的B點(diǎn)，然后出現(xiàn)一個(gè)跳躍，從周期吸引子B點(diǎn)跳躍到周期吸引子B′點(diǎn)。之后隨著速度的繼續(xù)增加，振動(dòng)幅值緩慢增加直到到達(dá)C點(diǎn)之后出現(xiàn)一個(gè)大幅跳躍到周期吸引子C′點(diǎn)上，而后到達(dá)D點(diǎn)之后又跳躍到更高幅值的D′點(diǎn)上，最后到達(dá)E點(diǎn)。

由上述分析可知，降速過程中的跳躍HH′比升速過程中的跳躍BB′延遲了，形成了遲滯現(xiàn)象。由此可以推斷，B點(diǎn)和H點(diǎn)對(duì)應(yīng)于車輛系統(tǒng)的兩個(gè)鞍結(jié)分岔點(diǎn)，在BH之間應(yīng)該存在不穩(wěn)定的周期解分支曲線，類似的現(xiàn)象也同樣發(fā)生于CG和DF點(diǎn)之間，因此可以確定：整個(gè)分岔行為都是在同一個(gè)解分支上發(fā)生的。

為說明圖5中從A點(diǎn)跳躍到定常解的現(xiàn)象，圖6給出了相同初始條件下車輛運(yùn)行速度分別為V=68.5 m/s和V=68.4 m/s時(shí)1位輪對(duì)橫向位移時(shí)間歷程圖。由圖可見，當(dāng)運(yùn)行速度V=68.5 m/s時(shí)，隨著時(shí)間的推移，1位輪對(duì)以8.841 4 mm的振動(dòng)幅值作周期性的橫向運(yùn)動(dòng)；而當(dāng)運(yùn)行速度降低到V=68.4 m/s時(shí)，隨著時(shí)間的延續(xù)，1位輪對(duì)橫向振動(dòng)最終衰減到軌道中心線的位置。

圖6　速度V=68.5 m/s和V=68.4 m/s時(shí)前轉(zhuǎn)向架前導(dǎo)輪對(duì)橫向位移時(shí)間歷程圖Fig.6 Time histories of the leading wheel-set of the front bogie at V=68.5 m/s and V=68.4 m/s

3.3蛇行運(yùn)動(dòng)2解

一個(gè)很有意思的現(xiàn)象是，在圖5中周期解位置的附近還存在另外一個(gè)周期解分支見圖7。當(dāng)車輛運(yùn)行速度V≤85.8 m/s時(shí)，該周期解分支所發(fā)生的分岔現(xiàn)象與圖5類似，只是相對(duì)應(yīng)特征點(diǎn)的位置及幅值有所變化；當(dāng)速度達(dá)到V=85.8 m/s時(shí)，這個(gè)解分支與圖5中的解分支合并成一個(gè)周期解分支，因此后面的分岔現(xiàn)象與圖5完全一致，這里就不再對(duì)這個(gè)解分支上的分岔現(xiàn)象及具體狀態(tài)進(jìn)行重復(fù)描述。

圖7　前轉(zhuǎn)向架前導(dǎo)輪對(duì)橫向位移分岔圖Fig.7 The bifurcation diagram of the leading wheel-set of the front bogie showing the lateral displacements versus the speed

表2給出了蛇行運(yùn)動(dòng)1解和2解相關(guān)特征點(diǎn)值，其中灰色區(qū)域代表兩個(gè)解分支重合部分的特征點(diǎn)值。由表可知，蛇行運(yùn)動(dòng)2解和蛇行運(yùn)動(dòng)1解確實(shí)分屬于兩個(gè)不同的解分支。

表1　蛇行運(yùn)動(dòng)1解和2解相關(guān)特征點(diǎn)值

3.4小討論

實(shí)際上，在鐵道車輛系統(tǒng)中，蛇行運(yùn)動(dòng)是一種非常普遍的自激振橫向擺動(dòng)現(xiàn)象，這種現(xiàn)象主要是由車輛的前進(jìn)速度和輪軌間的非線性接觸力引起。由于這種運(yùn)動(dòng)是鐵道車輛系統(tǒng)的一種內(nèi)在特性，因此車輛蛇行運(yùn)動(dòng)一旦出現(xiàn)就很難被消除，除非車輛的運(yùn)行速度低于車輛臨界速度。當(dāng)車輛發(fā)生蛇行運(yùn)動(dòng)時(shí)，試圖控制系統(tǒng)的擾動(dòng)使蛇行運(yùn)動(dòng)消除基本是不可能的，因?yàn)閷?shí)際的軌道不可能是理想光滑平直的，總是存在很多的不平順，這些不平順不停的“激發(fā)”車輛系統(tǒng)，使其響應(yīng)實(shí)際上是大量瞬態(tài)成分和穩(wěn)態(tài)成分疊加的結(jié)果，因此蛇行運(yùn)動(dòng)時(shí)實(shí)際的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果往往看起來并不如圖6中蛇行運(yùn)動(dòng)的結(jié)果平整、光滑。

由于車輛臨界速度定義為在參數(shù)-解空間中尋找最高速度值使定常解是唯一漸近穩(wěn)定的解，或者尋找最低速度值使蛇行運(yùn)動(dòng)剛好出現(xiàn)的過程，因此對(duì)應(yīng)本文所研究的車輛系統(tǒng)，臨界速度應(yīng)為V=67.5 m/s，Hopf分岔點(diǎn)速度為V=97.491 m/s和V=100.816 m/s，系統(tǒng)實(shí)際上發(fā)生的是亞臨界Hopf分岔，其間存在不穩(wěn)定的周期解分支曲線。

需要說明的是，在模擬或?qū)嶋H的測(cè)試中，如果被激發(fā)起來的車輛系統(tǒng)恰好位于圖5解分支所確定的吸引域上，則會(huì)得出臨界速度為V=68.5 m/s的不正確結(jié)論，從這方面來說，臨界速度的測(cè)定需要在多種可能的激勵(lì)條件下多次測(cè)試綜合分析才好，而這更需要充分了解臨界速度區(qū)域車輛系統(tǒng)的相關(guān)動(dòng)力學(xué)行為。當(dāng)然，本文中這兩個(gè)點(diǎn)的速度相差不大，在具體的工程設(shè)計(jì)中為了安全起見還要進(jìn)行折減，因此對(duì)工程設(shè)計(jì)沒有任何影響。但如果這兩個(gè)值相差較大呢？在這方面值得進(jìn)一步研究探討。

4結(jié)論

本文采用升速法和降速法對(duì)復(fù)雜非線性輪軌接觸關(guān)系下車輛系統(tǒng)速度大范圍內(nèi)的分岔行為進(jìn)行了研究。發(fā)現(xiàn)車輛系統(tǒng)因發(fā)生亞臨界Hopf分岔而存在穩(wěn)定的定常運(yùn)動(dòng)與穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)并存的現(xiàn)象，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)車輛系統(tǒng)存在運(yùn)動(dòng)幅值相差不大的兩個(gè)蛇行運(yùn)動(dòng)解并存的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象與整個(gè)車輛系統(tǒng)的構(gòu)造、各部件之間的相互聯(lián)結(jié)及作用、各種參數(shù)的取值(質(zhì)量、慣量、剛度、阻尼、長(zhǎng)度、距離)及輪軌接觸關(guān)系等息息相關(guān)，可以說它們的“聯(lián)合”作用導(dǎo)致了多個(gè)蛇行運(yùn)動(dòng)解的并存現(xiàn)象。另一方面，這種多個(gè)蛇行運(yùn)動(dòng)解并存的特性與一般的由單個(gè)亞臨界Hopf分岔所引起的穩(wěn)定定常運(yùn)動(dòng)與穩(wěn)定蛇行運(yùn)動(dòng)并存的特性有所不同，很容易使車輛在相應(yīng)速度附近運(yùn)行時(shí)由于擾動(dòng)的不同而使擺振幅值往復(fù)變化，影響車輛的正常使用并給安全運(yùn)行帶來危險(xiǎn)隱患，因此應(yīng)該盡量避免。據(jù)此說明臨界速度的測(cè)定需要在多種可能的激勵(lì)條件下多次測(cè)試綜合分析，而這更需要充分了解車輛運(yùn)行速度高于臨界速度時(shí)車輛系統(tǒng)的相關(guān)動(dòng)力學(xué)行為。

參考文獻(xiàn)

[1]Knothe K, Bohm F. History of stability of railway and road vehicles[J]. Vehicle System Dynamics, 1999, 31(5): 283-323.

[2]Garg V K, Dukkipati RV. 鐵道車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)[M]. 沈利人,譯. 成都: 西南交通大學(xué)出版社, 1998.

[3]True H. On the critical speed of high-speed railway vehicles[C]. Noise and Vibration on High-Speed Railways. FEUP Porto Portugal, 2008, 149-166.

[4]翟婉明. 車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)[M]. 2版.北京: 中國(guó)鐵道出版社, 2002.

[5]Cooperrider N K. The hunting behavior of conventional railway trucks[J]. ASME Journal of Engineering for Industry, 1972, 94(2): 752-762.

[6]True, H. Railway vehicle chaos and asymmetric hunting[J]. Vehicle System Dynamics, 1992, 20(S1): 625-637.

[7]楊紹普, 申永軍. 滯后非線性系統(tǒng)的分岔與奇異性[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2003.

[8]高學(xué)軍, 李映輝, 樂源. 延續(xù)算法在簡(jiǎn)單軌道客車系統(tǒng)分岔中的應(yīng)用[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(20): 177-182.

GAO Xue-jun, LI Ying-hui, YUE Yuan. Continuation method and its application in bifurcation of a railway passenger car system with simple rails[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(20): 177-182.

[9]Zeng J. Numerical analysis of nonlinear stability for railway passenger cars[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2001, 14(2): 97-101.

[10]Xia, F.J. The dynamics of the three-piece-freight truck[D]. The Technical University of Denmark, Doctor Thesis, 2002.

[11]Hoffmann M. On the dynamics of European two-axle railway freight wagons[J]. Nonlinear Dynamics, 2008, 52(4): 301-311.

[12]Gao X J, Li Y H, Yue Y, et al. Symmetric/asymmetric bifurcation behaviours of a bogie system[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(4): 936-951.

[13]Walter K, Moelle D. ACRadSchiene-To create or approximate wheel/rail profiles[R], 2010.

[14]Petersen DE, Hoffmann M. Curving dynamics of railway vehicles[R]. Informatics and Mathematical Modelling, The Technical University of Denmark, Lyngby, 2002.

[15]Kalker J J. A fast algorithm for the simplified theory of rolling contact[J]. Vehicle System Dynamics, 1982, 11(1): 1-13.

[16]Shen ZY, Hedrick JK, Elkins JA. A comparison of alternative creep force models for rail vehicle dynamic analysis[C]. Proceeding of 8th IAVSD Symposium on Vehicle System Dynamics, Dynamics of Vehicles on Roads and Tracks. MIT, Cambridge: Swets and Zeitlinger, 1984, 591-605.