阻尼對耦合非線性能量阱系統(tǒng)影響研究

熊　懷，孔憲仁, 劉　源

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱　150080)

第一作者熊懷男，博士生，1989年生

阻尼對耦合非線性能量阱系統(tǒng)影響研究

熊懷，孔憲仁, 劉源

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱150080)

摘要：研究了耦合非線性能量阱的非保守系統(tǒng)的定向能量傳遞現(xiàn)象?；趶?fù)變量平均法推導(dǎo)含有阻尼參數(shù)的系統(tǒng)慢變方程，求解出系統(tǒng)能量與各參數(shù)近似關(guān)系，獲得了系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)定向能量傳遞時(shí)阻尼必須滿足的條件，并給出了非線性能量阱具有吸振能力時(shí)線性振子阻尼有效范圍，最后數(shù)值分析驗(yàn)證上述研究結(jié)果。

關(guān)鍵詞：非線性能量阱；定向能量傳遞；立方剛度；阻尼約束；振動抑制

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(51375109)；哈爾濱工業(yè)大學(xué)科研創(chuàng)新基金(HIT. NSRIF. 2014027)

收稿日期：2013-11-08修改稿收到日期：2014-03-03

通信作者劉源男，講師，1981年生

中圖分類號:O328; O322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.021

Abstract:Here, targeted energy transfer was investigated in a non-conservative system with nonlinear energy sinks. Firstly, the system slowly-varying equation containing damping parameters was derived based on the complex-averaging method. Then, the approximate relationships between the system energy and parameters were solved, the necessary conditions satisifed by damping to realize system’s targeted energy transfer were achieved. The effective range of a linear oscillator’s damping during nonlinear energy sinks having the capacity of vibration suppression was gained. At last, the above study results were verified with numerical simulations.

Influence of structural damping on a system with nonlinear energy sinks

XIONGHuai,KONGXian-ren,LIUYuan(Research Center of Satellite Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China)

Key words:nonlinear energy sink; targeted energy transfer; cubic stiffness; damping conditions; vibration suppression

衛(wèi)星在整個生命周期中需要經(jīng)歷苛刻的動力學(xué)環(huán)境，而衛(wèi)星快速響應(yīng)[1]、即插即用[2]等新概念新技術(shù)的引入對振動環(huán)境提出更高的要求，這對星上敏感部、組件局部振動抑制或整星隔振技術(shù)提出了新的挑戰(zhàn)。近年來，以定向能量傳遞(Targeted Energy Transfer，TET)為吸振機(jī)理的非線性能量阱(Nonlinear Energy Sink，NES)得到長足的發(fā)展，它有減振效率高、時(shí)間短、吸振頻帶寬和魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)，這為衛(wèi)星減振系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供了一種新的途徑。

耦合非線性振子的系統(tǒng)各模態(tài)之間容易發(fā)生相互作用，從而使能量在振子間相互傳遞，TET是指在一定條件下振子能量能夠?qū)崿F(xiàn)定向、高效傳遞的特殊現(xiàn)象。深入分析實(shí)現(xiàn)TET的必要條件有助于NES的進(jìn)一步研究。文獻(xiàn)[3-4]用非平穩(wěn)變換法研究了耦合理想立方剛度的Hamilton系統(tǒng)的能量傳遞，首次指出在1:1內(nèi)共振條件下系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)TET，并用數(shù)值方法證明在小阻尼系統(tǒng)中同樣存在定向能量傳遞現(xiàn)象。文獻(xiàn)[5]提出一種耦合非線性振子系統(tǒng)分析方法——復(fù)變量平均法，基于該法文中還指出系統(tǒng)各振子存在模態(tài)局部化，使得能量集中。

NES的減振效率與TET密切相關(guān)，文獻(xiàn)[6]中分析了NES質(zhì)量比對系統(tǒng)能量傳遞影響，并得到NES的質(zhì)量比應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1的結(jié)論；而文獻(xiàn)[7]研究表明在特定初始條件下系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)能量完全傳遞時(shí)有一個最小質(zhì)量比?？梢奛ES的質(zhì)量比具有一定的范圍。而文獻(xiàn)[8]用復(fù)變量平均法研究理想立方剛度的NES對振動抑制效率的影響，合理的設(shè)計(jì)非線性剛度能夠極大的提升NES振動抑制效率。在文獻(xiàn)[9]中討論了NES振動抑制效率對初始條件的敏感依賴性，結(jié)果表明在保守系統(tǒng)中只有特定的初始條件范圍內(nèi)NES才能實(shí)現(xiàn)TET。此外還有其它大量文獻(xiàn)(參閱文獻(xiàn)[10-12])關(guān)于NES的力學(xué)特性研究。

我們注意到，關(guān)于NES的研究均集中在保守的Hamilton系統(tǒng)前提下，小阻尼系統(tǒng)NES也具有吸振能力?？梢?，阻尼在一定程度上影響著非線性能量阱。本文將研究系統(tǒng)阻尼對耦合NES系統(tǒng)振動抑制效果影響。文中首先用復(fù)變量平均法推導(dǎo)出系統(tǒng)能量傳遞和耗散的近似關(guān)系，利用該式得出了NES阻尼對能量耗散的影響；基于非保守系統(tǒng)的慢變方程，得到系統(tǒng)能量與系統(tǒng)各參數(shù)關(guān)系式，基于該式得到系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)TET阻尼的必要條件；綜上兩點(diǎn)結(jié)論求得NES能夠進(jìn)行振動抑制時(shí)主振子阻尼的臨界值；最后數(shù)值仿真驗(yàn)證上述結(jié)論。

1系統(tǒng)動力學(xué)模型簡介

1.1系統(tǒng)模型

星上某敏感部件的振動抑制模型可簡化為圖 1所示的耦合單自由度NES的線性振主結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)中k2為理想的立方剛度，其它均為線性參數(shù)，該非保守系統(tǒng)微分方程可以表示為式(1)。

圖1　耦合NES結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic of system coupled NES

(1)

將式(1)寫成無量綱方程

(2)

式中:

(3)

用復(fù)變量平均法對推導(dǎo)式(2)的慢變方程。

1.2系統(tǒng)慢變方程

對式(2)引入變量替換

(4)

討論NES在1:1主內(nèi)共振時(shí)的振動抑制效果，引入復(fù)變量

(5)

φj=φj0+εφj1;j=1,2

(6)

不難得出系統(tǒng)的慢變方程

(7)

(8)

式中:δ=1/ε。值得一提的是，在多尺度展開中質(zhì)量比要求：ε?1，這是TET產(chǎn)生的必要條件，結(jié)合該慢變方程式(7)和式(8)可以對耦合NES系統(tǒng)阻尼進(jìn)行分析。

2NES阻尼分析

耦合NES結(jié)構(gòu)中的阻尼是系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)TET的前提條件，這一部分以耦合NES的非線性系統(tǒng)能夠發(fā)生跳躍為出發(fā)點(diǎn)，分析NES阻尼條件。在文獻(xiàn)[10]中提到在系統(tǒng)趨于平衡態(tài)時(shí)有

(9)

將復(fù)變量用模和相角表示，即

φj0=Rj(t1)exp[iθj(t1)]

j=1,2

(10)

將式(10)代入式(7)和式(9)，令其實(shí)部與虛部分別相等，可以得到

(11)

在耦合NES的系統(tǒng)中存在阻尼時(shí)，系統(tǒng)一定存在能量的耗散。式(11)中的第一式表示能量耗散，當(dāng)阻尼均為0時(shí)，系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)的能量耗散率為0，顯然此時(shí)系統(tǒng)為對應(yīng)的保守系統(tǒng)，并不會引起能量的減少；當(dāng)系統(tǒng)中兩個阻尼至少有一個不為0時(shí)，式(11)第一個等式右端始終小于0，這表示能量是一直在減小的。

對于第二式有隱含關(guān)系

(12)

圖2　振子能量關(guān)系Fig.2 The relationship of energy between oscillators

(13)

(14)

大于或等于此臨界值時(shí)，函數(shù)關(guān)系式只存在一個極值點(diǎn)，函數(shù)單調(diào)遞增，不會出現(xiàn)非線性跳躍現(xiàn)象，系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)能量傳遞，故要實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)TET，NES阻尼必須滿足關(guān)系式

(15)

當(dāng)阻尼滿足此關(guān)系時(shí)，函數(shù)關(guān)系具有兩個極值點(diǎn)，能夠出現(xiàn)非線性跳躍，在滿足一定的初始條件后即能夠?qū)崿F(xiàn)TET?？梢奛ES的阻尼條件是保證系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)TET的前提條件，這個條件與主結(jié)構(gòu)的固有頻率有關(guān)。

3系統(tǒng)阻尼討論

3.1能量耗散與參數(shù)關(guān)系

當(dāng)主結(jié)構(gòu)阻尼足夠大時(shí)，不管NES阻尼參數(shù)如何設(shè)計(jì)，系統(tǒng)能量完全可以通過主結(jié)構(gòu)阻尼耗散掉，顯而易見，要NES能夠?qū)崿F(xiàn)減振的效果，主結(jié)構(gòu)阻尼必須小于某個臨界值。上一節(jié)通過討論得到了NES阻尼的臨界值，這一節(jié)同樣用TET發(fā)生為條件，尋求NES具有吸振能力時(shí)，主結(jié)構(gòu)阻尼必須滿足的條件。

(16)

當(dāng)系統(tǒng)的阻尼均為0時(shí)，即λ1=λ2=0，上式表示對應(yīng)保守系統(tǒng)的能量，即

(17)

X2(s)=

(18)

再對式(18)進(jìn)行Laplace反變換有

H(t1)=

式中:H(0)表示系統(tǒng)的初始能量。通過式(19)可以知道，系統(tǒng)的能量完全可以通過系統(tǒng)阻尼參數(shù)表示，為了便于分析將上式的積分項(xiàng)Taylor展開

(20)

(21)

同理有式

(22)

圖3　能量響應(yīng)對比Fig.3 Energy response comparison

3.2阻尼關(guān)系討論

上一小節(jié)我們討論得出可以通過式(19)來近似的表示原系統(tǒng)，這一節(jié)討論同樣利用這個關(guān)系式。注意到式(19)有阻尼參數(shù)的特殊關(guān)系，即

δλ2-λ1=0

(23)

那么系統(tǒng)的能量耗散

H(t0)=H(0)exp(-λ1t0)

(24)

在該種情況下系統(tǒng)的能量耗散只與初始條件和主結(jié)構(gòu)阻尼有關(guān)，此時(shí)耦合NES的系統(tǒng)內(nèi)部仍然可以發(fā)生能量的相互傳遞，但是并會減少系統(tǒng)的總能量，NES不再具有減振作用。可見阻尼關(guān)系式(23)是系統(tǒng)能量傳遞的一個臨界值條件。討論兩種情況：

(1)δλ2>λ1時(shí)

與該系統(tǒng)對應(yīng)的非耦合NES系統(tǒng)的能量耗散為

H0(t1)=H(0)exp(-λ1t1)

(25)

將式(20)代入式(19)可以獲得耦合NES系統(tǒng)的能量耗散關(guān)系。為了研究NES是否具有減振效果，可以以NES耗散系統(tǒng)能量為衡量標(biāo)準(zhǔn)。作能量差

ΔH=H0(t)-HNES(t)

(26)

那么結(jié)合式(21)有

ΔH=H(0)e-δλ1t-

(27)

注意到式中(27)中還有一個關(guān)系

(28)

此時(shí)的前提條件是系統(tǒng)的初始能量全部集中于主結(jié)構(gòu)振子中。式(27)中有初始條件的Taylor展開，用數(shù)學(xué)歸納法不難證明

ΔHmin(t)=H0(t)-HNES(t)≥0

(29)

既有在滿足關(guān)系δλ2>λ1時(shí)，對于有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)能量差大于0恒成立。此時(shí)的ΔH由NES來吸收，此時(shí)NES不僅能夠與主結(jié)構(gòu)發(fā)生能量的相互傳遞，還能達(dá)到吸收主結(jié)構(gòu)能量的目的，從而實(shí)現(xiàn)減振的目的。

(2)δλ2<λ1時(shí)

在該種情況下，同樣方法可以證明能量差的最小值一定小于0，那么有如下關(guān)系

?tc>0使得ΔH(tc)=0

(30)

此時(shí)系統(tǒng)雖然滿足能量相互傳遞的條件，但是能量傳遞經(jīng)過一個周期以后又返還給了主結(jié)構(gòu)，所以存在能量為0的時(shí)刻，其中tc并不唯一。這種情況下NES雖然能夠相互傳遞能量，但是并不能達(dá)到減少主結(jié)構(gòu)振動能量的目的。

綜述(1)和(2)兩種情況分析結(jié)果，在有阻尼系統(tǒng)中，若要NES能夠?qū)崿F(xiàn)TET以達(dá)到減振的目的，系統(tǒng)阻尼必須滿足條件

δλ2>λ1?λ2>ελ1

(31)

在式(15)中給出了NES阻尼的有效范圍，結(jié)合式(31)可以得到如下關(guān)系

(32)

式(32)中不難得出，當(dāng)主結(jié)構(gòu)阻尼λ1足夠大時(shí)，NES的阻尼范圍可能出現(xiàn)空集的可能，此時(shí)NES不再具有減振效果，主結(jié)構(gòu)振動完全可以通過λ1減小振動。如果將主結(jié)構(gòu)寫成具有標(biāo)準(zhǔn)形式的振動方程，即

(33)

可以利用關(guān)系

2ξω0=ελ1

(34)

結(jié)合該關(guān)系和式(32)可以得出主結(jié)構(gòu)阻尼范圍

(35)

不難發(fā)現(xiàn)主結(jié)構(gòu)阻尼的有效范圍是一個常值，與系統(tǒng)的其它參數(shù)無關(guān)。主結(jié)構(gòu)的微分方程變換為標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)阻尼大于臨界值ξcr時(shí)，系統(tǒng)可以通過自身阻尼達(dá)到減小振動的目的；當(dāng)阻尼小于臨界值ξcr時(shí)，則通過耦合NES的方法去減小主結(jié)構(gòu)振動。

在工程應(yīng)用中，當(dāng)結(jié)構(gòu)可以簡化為線性的單自由度系統(tǒng)，并受到一個沖擊載荷時(shí)，在結(jié)構(gòu)阻尼比大于臨界值時(shí)，系統(tǒng)可以通過自身阻尼的作用減小振動，但減振效率低，抑制效果差，振動抑制措施需要其它方法；當(dāng)結(jié)構(gòu)的阻尼比小于該臨界值時(shí)，可以通過耦合單自由度NES結(jié)構(gòu)的形式實(shí)現(xiàn)高效、快速的振動抑制。

4數(shù)值驗(yàn)證

4.1阻尼關(guān)系

上一部分我們理論分析了耦合NES的單自由度線性振子的系統(tǒng)阻尼必須滿足關(guān)系λ2>ελ1，這一節(jié)我們用四階Runge-Kutta數(shù)值方法，將非耦合NES的振子系統(tǒng)與耦合NES的振子系統(tǒng)進(jìn)行對比分析，數(shù)值驗(yàn)證上述結(jié)論。

在圖 4(a)中的阻尼參數(shù)滿足關(guān)系λ2<ελ1(λ1=0.5,λ2=0.03)，非耦合NES的振子即實(shí)線，振子能量一直在緩慢減小，需要耗散能量時(shí)間很長。對于耦合NES的系統(tǒng)，能量耗散情況略有不同，能量呈現(xiàn)震蕩形式，在很短的一段時(shí)間內(nèi)能量急劇減少，但同樣在一段時(shí)間內(nèi)主振子能量又迅速恢復(fù)到一定的程度，經(jīng)過多個周期后能量耗散完畢，耦合的NES振子只是起到一個能量傳遞的作用。對于兩個振子能量變化曲線存在明顯的交點(diǎn)，在交點(diǎn)處有關(guān)系ΔH=0，即耦合NES的系統(tǒng)在經(jīng)過一個周期后，主振子剩余的能量與非耦合NES的系統(tǒng)經(jīng)過相同時(shí)間后所剩余的能量是一樣的，雖然在非耦合NES的系統(tǒng)中能量發(fā)生了傳遞，但是NES并沒有耗散能量，NES只起到一個能量傳遞的作用，沒有減振效果，系統(tǒng)能量的減少仍像非耦合NES的系統(tǒng)一樣，均由主結(jié)構(gòu)阻尼吸收。

圖 4(b)阻尼參數(shù)滿足關(guān)系λ2=ελ1(λ1=0.5，λ2=0.04)時(shí)對應(yīng)的能量響應(yīng)曲線，從圖中不難發(fā)現(xiàn)，此時(shí)兩條曲線雖然沒有明顯的交點(diǎn)，但是總體能量傳遞趨勢與圖4(a)類似，在此阻尼參數(shù)下，一周后能量差值很小，NES只耗散很小的一部分能量，系統(tǒng)大部分能量仍由主結(jié)構(gòu)吸收，NES并不能實(shí)現(xiàn)高效減振的目的。

圖4　能量響應(yīng)對比Fig.4 Energy response comparison

圖5(a)和圖5(b)是系統(tǒng)阻尼均滿足關(guān)系λ2>ελ1時(shí)對應(yīng)的能量變化曲線，對于耦合NES的系統(tǒng)，能量在一個周期內(nèi)急劇減少，雖然也出現(xiàn)了振子間能量相互傳遞，但是傳遞的能量很少，與非耦合NES系統(tǒng)相對比，NES實(shí)現(xiàn)了高效的能量轉(zhuǎn)移，在第一個周期內(nèi)就吸收了主振子90%以上的能量，并且耗時(shí)很短?？梢娭挥性谙到y(tǒng)阻尼滿足關(guān)系λ2>ελ1時(shí)，NES才能實(shí)現(xiàn)TET從而達(dá)到減振的目的。圖5(a)λ1=0.5,λ2=0.3；(b)λ1=0.5,λ2=0.2。為了更加直觀的對比耦合NES與非耦合NES系統(tǒng)的減振效果，在圖6中為主結(jié)構(gòu)振子的幅值響應(yīng)曲線，圖6(a)系統(tǒng)附有NES振子，圖6(b)為非耦合NES的系統(tǒng)，不難發(fā)現(xiàn)附有NES振子的系統(tǒng)幅值衰減很快，NES吸收主結(jié)構(gòu)振子能量明顯。數(shù)值證明了只有系統(tǒng)阻尼滿足關(guān)系λ2>ελ1，NES才能實(shí)現(xiàn)TET，具有高效減振效果。

圖5　能量響應(yīng)對比Fig.5 Energy response comparison

圖6　主結(jié)構(gòu)幅值響應(yīng)Fig.6 Amplitude response of main structure

4.2主結(jié)構(gòu)阻尼范圍驗(yàn)證

系統(tǒng)減振能力的評價(jià)可以用耗散時(shí)間來表示，即系統(tǒng)耗散初始總能量的η(0<η<1)所用的時(shí)間，這里取η=1-1/e=63.21%來衡量[12]。對于非耦合NES的系統(tǒng)，將微分方程轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)方程，阻尼為ξ，用復(fù)變量平均法可以將微分方程轉(zhuǎn)變成形式

(36)

對上式共軛復(fù)變換有

(37)

那么有

(38)

式中:C0與初始條件有關(guān)，可以求得

(39)

同樣系統(tǒng)的能量可以表示成形式

(40)

不難求得耗散時(shí)間td

(1-η)E(0)

(41)

對于耦合NES的主結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，可以用式(19)近似求得系統(tǒng)的耗散時(shí)間，結(jié)合式(21)經(jīng)過簡單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)可以得到當(dāng)初始能量全部集中于主振子時(shí)，耦合NES的系統(tǒng)的耗散時(shí)間td可以式(41)相似的推導(dǎo)過程，可以得到關(guān)系

{1+[λ2-2ε(λ1+λ2)td]}

exp(1-λ2td)=1

(42)

借助數(shù)學(xué)工具軟件上式求解是很容易的。在圖7中非耦合NES主結(jié)構(gòu)與耦合NES主結(jié)構(gòu)的耗散時(shí)間對比圖。圖 7(a)為非耦合NES系統(tǒng)(實(shí)線)與耦合NES系統(tǒng)(虛線)耗散時(shí)間對比圖，從圖7(a)可知，阻尼比約大，所需的耗散時(shí)間約長，當(dāng)阻尼比大于臨界值ξcr=0.227 8時(shí)，系統(tǒng)的耗散時(shí)間曲線基本重合的，主結(jié)構(gòu)能夠完全依靠自身的阻尼抑制振動，增加NES只能使結(jié)構(gòu)冗余，無作用；當(dāng)主結(jié)構(gòu)阻尼比小于臨界值ξcr時(shí)，NES能夠大幅度縮減耗散時(shí)間，而且阻尼主結(jié)構(gòu)阻尼比越小，NES振動抑制效果明顯。圖 7(b)耦合NES系統(tǒng)不同NES阻尼對應(yīng)的耗散時(shí)間對比圖。可見經(jīng)數(shù)值驗(yàn)證，理論推導(dǎo)的臨界值是有效的。

圖7　阻尼與耗散時(shí)間關(guān)系Fig.7 Relationship between damp and time of dissipation

5結(jié)論

本文以耦合非線性能量阱系統(tǒng)的定向能量傳遞為出發(fā)點(diǎn)，基于復(fù)變量平均法分析系統(tǒng)能量耗散與系統(tǒng)各參數(shù)相互關(guān)系，通過研究函數(shù)關(guān)系特殊點(diǎn)討論系統(tǒng)對應(yīng)的力學(xué)特性。得到以下三個結(jié)論：

(1)耦合非線性減振器的非保守系統(tǒng)中，系統(tǒng)發(fā)生定向能量傳遞的前提條件是非線性能量阱阻尼必須小于某一定值，該定值與主結(jié)構(gòu)固有頻率有關(guān)；

(2)初始能量全部集中于耦合非線性能量阱的主結(jié)構(gòu)時(shí)，系統(tǒng)阻尼必須滿足一定的關(guān)系才能使非線性減振器實(shí)現(xiàn)定向能量傳遞；

(3)線性振子阻尼在小于臨界值0.2278時(shí)，非線性能量阱才具有吸振能力，并且線性振子阻尼越小，合理設(shè)計(jì)非線性能量阱后吸振效果越佳。

數(shù)值仿真驗(yàn)證了上述結(jié)論。

參考文獻(xiàn)

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