基于概率密度演化的帶有環(huán)形隔板圓柱形罐體中流體的晃動(dòng)研究

柳　偉，周　叮，劉偉慶，王佳棟

(南京工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院,南京　210009)

第一作者柳偉男，碩士，1989年生

基于概率密度演化的帶有環(huán)形隔板圓柱形罐體中流體的晃動(dòng)研究

柳偉，周叮，劉偉慶，王佳棟

(南京工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院,南京210009)

摘要：考慮大型儲(chǔ)油罐在地震荷載作用下罐體中流體晃動(dòng)對(duì)設(shè)備造成的嚴(yán)重影響，工程上常采用防晃板來抑制液體的晃動(dòng)，其中以環(huán)形防晃板的應(yīng)用最為廣泛?；诟怕拭芏妊莼碚摲治隽藥в协h(huán)形隔板罐體中流體的晃動(dòng)響應(yīng)。首先介紹了求解罐中流體晃動(dòng)響應(yīng)的“流體子域法”，介紹了廣義概率密度演化方程及其差分解法；然后總結(jié)了對(duì)罐中流體晃動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行概率密度演化分析的基本步驟；最后通過算例得出流體液面波高的均值與方差，得到波高峰值出現(xiàn)的時(shí)間以及最大波高峰值，這使得對(duì)流體晃動(dòng)響應(yīng)的把握更為精確，也為儲(chǔ)液罐及防晃板的精細(xì)化設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。

關(guān)鍵詞：液體晃動(dòng)響應(yīng)；流體子域法；概率密度演化

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11172123)

收稿日期：2014-01-02修改稿收到日期：2014-04-25

通信作者周叮男，教授，博士，1957年生

中圖分類號(hào):TB126; O323; TQ053.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.020

Abstract:Considering serious impacts of fluid sloshing in large-scale storage tanks under seismic loads on the devices, a baffle, especially, an annual baffle is used to control the liquid sloshing widely in practical projects. Here, the probability density evolution theory was used to analyze fluid sloshing in a cylindrical tank with an annual baffle. Firstly, the fluid sub-domain method to solve the response of fluid sloshing was introduced. Then, the basic steps of the analysis method based on the probability density evolution theory for fluid sloshing in a cylindrical tank were summarized. At last, through examples the mean and variance of the wave height of fluid surface were obtained. The appearing instants of the wave height peaks and the maximum wave height peaks were also gained. Thus, the prediction of the fluid sloshing response was more accurate. The results provided a basis for fine design of fluid storage tanks and baffles.

Sloshing response of liquid in a cylindrical tank with an annual baffle based on probability density evolution theory

LIUWei，ZHOUDing，LIUWei-qing，WANGJia-dong(College of Civil Engineering, Nanjing University of Technology, Nanjing 210009, China)

Key words:sloshing; fluid sub-domain method; probability density evolution theory

我國是一個(gè)多地震的國家，許多大型的儲(chǔ)液罐都位于高烈度地區(qū)，抗震問題十分嚴(yán)峻。大型儲(chǔ)油罐作為石油儲(chǔ)備庫的關(guān)鍵設(shè)備，其發(fā)展趨勢(shì)是大型化，當(dāng)儲(chǔ)油罐中流體在激勵(lì)作用下晃動(dòng)時(shí)會(huì)對(duì)罐體造成嚴(yán)重破壞甚至引起傾覆，這類事故一旦發(fā)生后果不堪設(shè)想[1-3]；欲要準(zhǔn)確地了解其性能和狀態(tài)必須對(duì)結(jié)構(gòu)所承受的輸入以及結(jié)構(gòu)系統(tǒng)本身有深刻的認(rèn)知和把握，地震作用等作為土木工程領(lǐng)域的主要災(zāi)害性荷載[4-6]，因此研究地震作用下儲(chǔ)液罐的晃動(dòng)響應(yīng)是相當(dāng)必要的。

本文擬通過概率密度演化理論給出地震作用下儲(chǔ)液罐體中液體晃動(dòng)響應(yīng)的一般規(guī)律、總結(jié)罐中流體晃動(dòng)響應(yīng)概率密度演化分析的一般步驟并從統(tǒng)計(jì)的角度給出環(huán)形防晃板在不同位置、不同尺寸時(shí)液面波高的變化情況從而為環(huán)形隔板的設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1罐中流體晃動(dòng)響應(yīng)的求解

采用王佳棟等[7]提出的流體子域法對(duì)罐中流體的晃動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行求解。流體子域法是在假設(shè)液體為理想流體、自由表面做微幅波動(dòng)、儲(chǔ)液罐為剛性的條件下，將有環(huán)形隔板的圓柱形儲(chǔ)液罐中的液體分成四個(gè)子域，利用疊加法，分別求解每個(gè)子域內(nèi)液體的勢(shì)函數(shù)，然后將其帶入子域交界面與自由表面處的邊界條件確定未知系數(shù)，使問題得到解決[8-10]。

1.1流體子域法的基本方程

考慮豎向放置的帶有環(huán)形隔板的圓柱型儲(chǔ)液罐(見圖1)。隔板、罐壁、罐底均為剛體，罐內(nèi)部分充有無粘、無旋、不可壓縮的理想流體。儲(chǔ)液罐的內(nèi)徑為R1,環(huán)形隔板的外徑為R2，環(huán)形隔板到自由液面和罐底的距離分別為h1、h2，忽略隔板的厚度(見圖2)，將液體域分割成四個(gè)子域:i(i=1,2,3,4)。設(shè)液體子域i的速度勢(shì)函數(shù)為φi(r,H,z,t),根據(jù)流體動(dòng)力學(xué)的理論，柱坐標(biāo)下理想流體的速度勢(shì)函數(shù)應(yīng)滿足以下Laplace方程：

(1)

(2)

其邊界條件及速度連續(xù)條件[7]如下：

(3)

(4)

(5)

(6)

圖1 有環(huán)形隔板的圓柱型儲(chǔ)液罐Fig.1Cylindricaltankwithanannualbaffle圖2 液體子域及其界面Fig.2Fluidsub-domainandinterfaces

1.2速度勢(shì)函數(shù)的求解

當(dāng)液面做自由波動(dòng)，其液面上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其速度勢(shì)函數(shù)也必是時(shí)間的簡(jiǎn)諧函數(shù)，可將速度勢(shì)函數(shù)設(shè)為：

φi(r,θ,z,t)=jωejωtΦi(r,θ,z)

(7)

將式(7)代入基本方程及邊界條件、速度連續(xù)條件可得到振型函數(shù)Φi的控制方程。該控制方程為二階線性偏微分方程，其邊界條件也均為線性，則可利用疊加原理來求解Φi。

由圖2可知，液體子域可以分為兩類：一類為自由表面，另一類為非自由表面。其中非自由表面又可以分為兩類：與罐底平行的上下底面以及與管壁平行的圓柱面。將Φi統(tǒng)一寫成如下形式：

(8)

式中:Φim為環(huán)向波數(shù)為m的振型函數(shù)

將Φim代入到邊界條件式，得到8個(gè)含有待定系數(shù)的級(jí)數(shù)方程。對(duì)其作Fourier和Bessel展開并將所有的級(jí)數(shù)均截?cái)嘀罭階，這樣就可以得到關(guān)于系數(shù)Aim的矩陣方程。要使得該方程組有非零解，則系數(shù)矩陣的行列式A=0。這樣就得到一個(gè)關(guān)于頻率參數(shù)Λ2的非線性方程，求此方程的根就可以得到液體晃動(dòng)的特征值Λ2。將各Λ2代入矩陣方程，求解方程組得到對(duì)應(yīng)的Aim。

2概率密度演化理論

經(jīng)典的地震動(dòng)模型一般都采用功率譜密度函數(shù)表達(dá)。作為平穩(wěn)過程的二階數(shù)值特征，功率譜密度函數(shù)具有明確的統(tǒng)計(jì)背景，在一定程度上反映了地震動(dòng)的隨機(jī)特性。但是，功率譜密度函數(shù)不能刻畫地震動(dòng)的細(xì)部概率結(jié)構(gòu)。因此研究地震動(dòng)這樣具有顯著隨機(jī)性的復(fù)雜過程更合理的方法是隨機(jī)地震反應(yīng)分析[12]。

一般而言，隨機(jī)數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)建模常采用假設(shè)檢驗(yàn)方法，即先假定隨機(jī)數(shù)據(jù)服從某一分布類型，然后采用卡方檢驗(yàn)法等檢驗(yàn)該隨機(jī)數(shù)據(jù)總體是否符合給定的分布。顯然，這類方法需要對(duì)數(shù)據(jù)的概率模型有個(gè)比較準(zhǔn)確的預(yù)判，否則會(huì)導(dǎo)致重復(fù)工作，更有甚者，某些數(shù)據(jù)的概率結(jié)構(gòu)與常用的概率模型有著顯著的差異，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)根本不可能實(shí)現(xiàn)。近年來，李杰和陳建兵從概率守恒原理出發(fā)，導(dǎo)出了適用于隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)分析的廣義密度演化方程，將其與虛擬隨機(jī)過程技巧相結(jié)合即可用于隨機(jī)數(shù)據(jù)的概率結(jié)構(gòu)建模，并在我國大陸地區(qū)年最大平均風(fēng)速的處理方面獲得了成功應(yīng)用[13]。

2.1廣義概率密度演化方程

守恒原理是連續(xù)系統(tǒng)的普遍規(guī)律，如質(zhì)量守恒原理等。無論是概率論中隨機(jī)函數(shù)的概率密度分析還是FPK方程的導(dǎo)出，皆蘊(yùn)涵了概率守恒的基本思想。參照物理學(xué)中守恒原理的描述，概率守恒原理可以闡述為：在保守的隨機(jī)系統(tǒng)中，系統(tǒng)的概率守恒?；诖嗽恚瑢?duì)于隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)[13]：

(9)

可導(dǎo)出如下的廣義概率密度演化方程：

(10)

pXΘ(x,θ,t0)=δ(x-x0)pΘ(θ)

(11)

2.2概率密度演化的數(shù)值解法

概率密度演化方程應(yīng)采用數(shù)值方法求解，一般采用差分方法來求解。由于不同的差分格式其收斂和穩(wěn)定性存在較大的差別，故有必要進(jìn)行對(duì)比討論，以便于不同的問題選用不同的差分格式。

(12)

將式(12)采用Taylor展開的一階近似可以獲得一階偏微分的近似表達(dá)：

(13)

同理，對(duì)空間坐標(biāo)z方向有：

(14)

將式(13)和式(14)代入式(12)：

(15)

式(15)即為單邊差分格式。篇幅起見，著名的L-W差分格式與TVD差分格式的推導(dǎo)在此不再一一贅述，具體推導(dǎo)過程可在文獻(xiàn)[11-13]獲得。

2.3概率密度演化的選點(diǎn)方法

離散代表點(diǎn)的選取是概率密度演化理論求解中的重要技術(shù)，建立具有理性準(zhǔn)則的選點(diǎn)方法是必要的，常用的選點(diǎn)方法有數(shù)論選點(diǎn)法與切球選點(diǎn)法，具體方法見文獻(xiàn)[11-13]，在此不作詳述。

3流體晃動(dòng)概率密度演化分析的基本步驟

儲(chǔ)液罐中流體晃動(dòng)響應(yīng)的概率密度演化分析是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)分析過程，它集合了隨機(jī)變量的選點(diǎn)、人工地震動(dòng)的生成、儲(chǔ)液罐中流體晃動(dòng)響應(yīng)的求解與地震響應(yīng)的概率密度演化方程的有限差分法求解，最終得到的是儲(chǔ)液罐中流體響應(yīng)的時(shí)變均值、標(biāo)準(zhǔn)差與概率密度函數(shù)。

因此，本節(jié)基于概率密度演化理論與儲(chǔ)液罐中流體晃動(dòng)響應(yīng)的特點(diǎn)，提出了流體晃動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行隨機(jī)地震概率密度演化的基本分析步驟：

(1)選取離散的代表點(diǎn)?？紤]地震動(dòng)的隨機(jī)性，選用基底譜幅值、場(chǎng)地基本圓頻率以及場(chǎng)地等價(jià)阻尼比三個(gè)參數(shù)作為隨機(jī)變量。假設(shè)這三個(gè)隨機(jī)變量均服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)選點(diǎn)理論選取一系列離散代表點(diǎn)q= (1,q,2,q, …,s,q)，q=1, 2, …,nsel，nsel)為所選取離散代表點(diǎn)的數(shù)目，同時(shí)確定各代表點(diǎn)的賦得概率Pq=∫VqpΘ(θ)dθ。

(2)根據(jù)上述所選取的離散代表點(diǎn)，結(jié)合基于物理的地震動(dòng)模型與地震動(dòng)合成技術(shù)，合成多條具有概率意義的人工地震動(dòng)。

(4)求解概率密度演化方程。流體晃動(dòng)響應(yīng)的概率密度演化方程可以寫為：

q=1,2,3,……，nsel

(16)

(5)累計(jì)求和。將上述求得pX(x,θq,t)；q=1, 2, …,nsel累計(jì)求和，即得到流體波高的概率密度函數(shù)PX(x,t)的數(shù)值解。

(17)

4計(jì)算實(shí)例

采用直徑為5 m，高度為5 m的圓柱形罐體進(jìn)行流體晃動(dòng)響應(yīng)的概率密度演化分析研究，罐體中放置隔板，隔板內(nèi)、外徑比值分別選為R1/R2=0.1,0.5,0.9，隔板高度與水深比為h2/H=0.1,0.5,0.9。運(yùn)用所給出的流體晃動(dòng)相應(yīng)進(jìn)行隨機(jī)地震概率密度演化分析的基本步驟，對(duì)該儲(chǔ)液罐中激勵(lì)方向罐壁處流體的晃動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行概率密度演化分析?？紤]地震動(dòng)的隨機(jī)性，將基底幅值Sg、場(chǎng)地固有頻率ω0和場(chǎng)地等價(jià)阻尼比ξ作為隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的均值與變異系數(shù)按表1中Ⅱ類場(chǎng)地的信息進(jìn)行選取。

采用樣本選點(diǎn)法選取了202個(gè)離散代表點(diǎn)并確定其相應(yīng)的賦得概率，根據(jù)地震動(dòng)合成技術(shù)合成了202條人工地震動(dòng)。圖3-圖4給出了人工合成地震動(dòng)的兩條樣本。

表1　隨機(jī)地震動(dòng)模型參數(shù)的均值與變異系數(shù)

圖3 人工合成地震動(dòng)的樣本W(wǎng)001Fig.3SynthesisofartificialgroundmotionsamplesW001圖4 人工合成地震動(dòng)的樣本W(wǎng)118Fig.4SynthesisofartificialgroundmotionsamplesW118圖5 W001波高響應(yīng)時(shí)程Fig.5Thewaveheighttime-historyofW001

由圖3～圖4可知，基于隨機(jī)傅里葉譜合成的人工地震動(dòng)，具有顯著的強(qiáng)度非平穩(wěn)性，能很好地模擬真實(shí)的地震動(dòng)記錄，用于分析流體晃動(dòng)隨機(jī)地震響應(yīng)是合理的。

基于流體子域法求解202條人工地震動(dòng)下流體的晃動(dòng)響應(yīng)，其中由圖1、圖2激勵(lì)所求得的罐中流體的波高響應(yīng)分別見圖3和圖4。

采取控制變量法來分別分析不同隔板位置、不同隔板內(nèi)徑對(duì)流體晃動(dòng)的影響。

(1)首先取隔板高度比為h2/H=0.5，隔板內(nèi)徑取R1/R2=0.1,0.5,0.9。分別采用L-W和TVD兩種差分格式對(duì)概率密度演化方程進(jìn)行求解，圖7～圖9分別

給出了罐中流體晃動(dòng)波高的均值與標(biāo)準(zhǔn)差隨時(shí)間變化的過程。從圖中可知，采用兩種差分格式求解的結(jié)果基本吻合，且波高的均值與標(biāo)準(zhǔn)差隨時(shí)間的變化規(guī)律基本同步。

圖6　W118波高響應(yīng)時(shí)程Fig.6 The wave height time-history of W118

圖7 p/H=0.5,R1/R2=0.9波高響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差Fig.7Themeanandstandarddeviationofthewaveheightp/H=0.5,R1/R2=0.9圖8 p/H=0.5,R1/R2=0.5波高響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差Fig.8Themeanandstandarddeviationofthewaveheightp/H=0.5,R1/R2=0.5圖9 p/H=0.5,R1/R2=0.1波高響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差Fig.9Themeanandstandarddeviationofthewaveheightp/H=0.5,R1/R2=0.1

圖10 p/H=0.5,r/R=0.9波高的概率密度曲面等值線Fig.10Theprobabilitydensityevolutionofthewaveheightp/H=0.5,r/R=0.9圖11 p/H=0.5,R1/R2=0.5波高的概率密度曲面等值線Fig.11Theprobabilitydensityevolutionofthewaveheightp/H=0.5,R1/R2=0.5圖12 p/H=0.5,R1/R2=0.1波高的概率密度曲面等值線Fig.12Theprobabilitydensityevolutionofthewaveheightp/H=0.5,R1/R2=0.1

圖10～圖12分別給出了在隔板高度不變即h2/H=0.5，隔板內(nèi)徑與外徑之比R1/R2=0.1,0.5,0.9時(shí)的波高的概率密度曲面等值線。從圖中可知，內(nèi)外徑不同比值時(shí)最大波高出現(xiàn)時(shí)刻分別為12.8 s，19.8 s， 5.7 s，在各自時(shí)刻取得波高的最大值分別為0.22 m，0.19 m，0.14 m。由此可以得出結(jié)論，在帶有環(huán)形隔板的圓柱形罐體中，當(dāng)隔板位置不變，隔板內(nèi)外徑比值越小對(duì)液面波高的抑制效果越好。

(2)取隔板內(nèi)外徑比R1/R2=0.5,隔板高度與水深比h2/H=0.1,0.5,0.9，分別采用L-W和TVD兩種差分格式對(duì)概率密度演化方程進(jìn)行求解，圖13～圖15分別給出了罐中流體晃動(dòng)波高的均值與標(biāo)準(zhǔn)差隨時(shí)間變化的過程。從圖中可知，采用兩種差分格式求解的結(jié)果基本吻合，且波高的均值與標(biāo)準(zhǔn)差隨時(shí)間的變化規(guī)律基本同步。

圖13 p/H=0.1,R1/R2=0.5波高響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差Fig.13Themeanandstandarddeviationofthewaveheightp/H=0.1,R1/R2=0.5圖14 p/H=0.5,R1/R2=0.5波高響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差Fig.14Themeanandstandarddeviationofthewaveheightp/H=0.5,R1/R2=0.5圖15 p/H=0.9,R1/R2=0.5波高響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差Fig.15Themeanandstandarddeviationofthewaveheightp/H=0.9,R1/R2=0.5

圖16～圖18分別給出了在隔板內(nèi)外徑比R1/R2=0.5,隔板高度與水深比h2/H=0.1,0.5,0.9時(shí)的波高的概率密度曲面等值線。從圖中可知，內(nèi)外徑不同比值時(shí)最大波高值出現(xiàn)時(shí)刻為19.8 s，6.1 s，2.2 s，在各時(shí)刻取得波高的最大值分別為0.2 m，0.15 m，0.08 m。由此我們可以得出結(jié)論，在帶有環(huán)形隔板的圓柱形罐體中，當(dāng)隔板內(nèi)外徑之比為定值，隔板離液面越近對(duì)液面波高的抑制效果越好。

圖16 p/H=0.1,R1/R2=0.5波高的概率密度曲面等值線Fig.16Theprobabilitydensityevolutionofthewaveheightp/H=0.1,R1/R2=0.5圖17 p/H=0.5,R1/R2=0.5波高的概率密度曲面等值線Fig.17Theprobabilitydensityevolutionofthewaveheightp/H=0.5,R1/R2=0.5圖18 p/H=0.9,R1/R2=0.5波高的概率密度曲面等值線Fig.18Theprobabilitydensityevolutionofthewaveheightp/H=0.9,R1/R2=0.5

5結(jié)論

本文基于概率密度演化理論研究了環(huán)形隔板對(duì)圓柱形罐體中液面晃動(dòng)響應(yīng)的影響，并給出了罐體中流體波高響應(yīng)進(jìn)行概率密度演化分析的一般步驟。通過具體算例可以發(fā)現(xiàn)環(huán)形隔板對(duì)液體的晃動(dòng)具有較好的抑制作用，并且抑制效果與隔板位置與隔板尺寸相關(guān)。算例中運(yùn)用流體子域法求解出帶環(huán)形隔板的圓柱形罐體中流體的波高響應(yīng)，根據(jù)概率密度演化分析的一般步驟得到波高響應(yīng)的均值與方差并求解出不同隔板位置、不同隔板尺寸下最大波高出現(xiàn)的時(shí)間以及波高最大值。

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