飽和土中管樁的扭轉振動特性研究

靳建明，張智卿，吳章土，李西斌

(1.浙江樹人大學城建學院，杭州　310015; 2. 浙江農(nóng)林大學土木工程系，杭州　311300)

第一作者靳建明男，博士，副教授，1975年生

飽和土中管樁的扭轉振動特性研究

靳建明1，張智卿1，吳章土1，李西斌2

(1.浙江樹人大學城建學院，杭州310015; 2. 浙江農(nóng)林大學土木工程系，杭州311300)

摘要：基于Biot提出的飽和多孔介質的波動方程，研究了均質各向同性飽和土中端承管樁的扭轉振動問題。首先對土層動力平衡方程進行求解并得到土體扭轉振動位移形式解，然后對管樁的動力平衡方程進行求解，得到了管樁樁頂轉角解析解，進一步通過數(shù)值算例分析了樁周土與樁芯土的物理力學參數(shù)對管樁樁頂復剛度和樁身轉角的影響。數(shù)值分析結果表明，在動力基礎設計所關注的低頻段，樁周土與樁芯土的剪切模量比、壁厚以及樁的長徑比對管樁的動力響應有較大的影響，而液固耦合系數(shù)的影響很小。

關鍵詞：管樁；飽和土；樁土相互作用；扭轉振動；轉角

基金項目：浙江省自然科學基金資助項目(LY12D02001)；浙江省“十二五”重點學科建設項目([2012]80-291)

收稿日期：2014-03-28修改稿收到日期：2014-05-20

中圖分類號:TU47

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.010

Abstract:Based on Biot’s dynamic wave equation for porous-saturated soil, torsional vibration of an end-supported pipe pile embedded in homogeneously isotropic saturated soil and subjected to a transient torsional loading was theoretically investigated. Firstly, the torsional vibration displacement form solution of the saturated soil was solved with the dynamic equations of soil layer. Then, by utilizing the continuity and boundary conditions of the pile-soil system and solving the dynamic equation of the pipe pile, the dynamic response of the twist angle of the pipe pile was obtained in a closed form. Finally, the influences of major soil parameters on the complex stiffness of the pile top and the twist angle of the pipe pile were analyzed. It was shown that in the low-frequency range focused by dynamic foundation design, the modulus ratio of soil around pile to inner soil, the thickness and the slenderness of pipe pile have distinct influences on the dynamic response of the pile; but the influence of the liquid-soild coupled coefficient can be neglected.

Torsional vibration of a pipe pile embedded in a porous-saturated soil

JINJian-ming1,ZHANGZhi-qing1,WUZhang-tu1,LIXi-bin2(1. Urban Planning College, Zhejiang Shuren University, Hangzhou 310015, China;2. Civil Engineering Department, Zhejiang Agriculture and Forestry University, Hangzhou 311300, China)

Key words:pipe pile; saturated soil; pile-soil interaction; torsional vibration; twist angle

樁基振動理論方面的研究開展于20世紀70年代。30年來樁基振動理論已經(jīng)取得了豐碩的成果，尤其在實芯樁的振動理論方面的研究。在樁基的扭轉振動理論研究方面，Novak等[1]將平面應變土模型應用于動力扭轉荷載作用下埋置剛性基礎振動特性的研究之中，給出了土扭轉阻抗的解析表達式，并用解析的方法研究了彈性半空間以及下臥層為基巖的彈性土體中埋置剛性基礎的扭轉振動特性。之后，Rajapakse等[2-6]較細致地研究了扭轉荷載作用下彈性介質中埋置彈性圓樁的動力響應問題。

然而以上這些理論均是研究實芯樁的振動特性問題，隨著管樁生產(chǎn)、施工等技術的發(fā)展，管樁以其施工方便、承載力高、質量可靠、較為經(jīng)濟等優(yōu)點在各種建筑基礎中得到廣泛的應用。急需對管樁的振動特性作進一步的分析研究，而現(xiàn)有的文獻報道關于這方面的研究較少?；凇皬较虿蛔兗俣ā?，劉漢龍[7]推導得到了管樁振動響應時域解，但沒有考慮物理量沿徑向的變化，在理論上不夠嚴格?；谌S波動方程，將樁周土、樁芯土和樁底土對樁的作用簡化為文克爾彈簧，丁選明[8]通過理論推導求得了大直徑管樁的振動響應時域解析表達式?；谄矫鎽兗俣ǎ瑒⒘殖琜9]在多孔介質理論的基礎上研究飽和土中端承管樁的縱向振動問題。鄭長杰[10]考慮土體材料的黏性阻尼和樁-土扭轉耦合振動，建立了軸對稱均勻黏彈性地基中PCC 樁扭轉振動的定解問題，并運用Laplace變換的方法求得了頻域解析解，但沒有考慮土的多孔介質屬性。因此，本文基于Biot提出的動力固結理論，研究了諧和激振荷載作用下均質各向同性飽和土中端承管樁的扭轉振動特性，這不僅在理論上有較高價值，而且對工程實踐也有一定指導作用。

1樁土耦合扭轉振動問題的數(shù)學模型

1.1樁土系統(tǒng)動力平衡方程

本文研究的是均質各向同性飽和土層中，樁頂受諧和激振扭矩作用時，樁底為剛性支承條件下，管樁與飽和土層的耦合扭轉振動問題。計算簡圖見圖1，土層厚度為H，樁長為H，管樁的內(nèi)外徑分別為r2和r1(下文均以下標1表示樁周土的物理力學參數(shù)或反應量，以下標2表示樁芯土的物理力學參數(shù)或反應量)，樁頂作用有諧和激振扭矩T(t)=T0eiωt。為了便于推導，本文假定下列條件成立：

(1)樁周土與樁芯土均為飽和均質、各向同性線性彈性體，土層底部均為剛性支承邊界；

(2)土層上表面為自由邊界，無正應力、剪應力；

(3)樁土體系扭轉振動時，樁周土及樁芯土均只發(fā)生切向位移，而水平徑向及縱向位移可忽略；樁土體系振動為小變形諧和振動，樁與周圍土體完全連續(xù)接觸，即樁土接觸界面兩側位移、力連續(xù)；

(4)樁為彈性、垂直、均勻截面管樁；

(5)樁周土與樁芯土對樁身單位面積的環(huán)向切應力分別為f1(z, t)和f2(z, t)。

圖1　樁土動力相互作用計算模型Fig.1 Computational model of pile-soil dynamic interaction

根據(jù)Biot提出的動力固結理論，忽略土顆粒的壓縮性，并假設流體粘滯性包含在動力滲透系數(shù)中，令土體中任一點扭轉振動的固相環(huán)向位移為uθ(r,z,t)及液相相對于固相的環(huán)向位移為wθ(r,z,t)，土體扭轉振動的動力平衡方程可以表示為：

(1)

式中：ρ=(1-n)ρs+nρf為飽和土體的密度，其中ρf為流體密度，n為飽和土體的孔隙率，ρs為土顆粒密度，Gs為土的剪切模量；t為實際時間；r、z分別為徑向和深度方向的空間坐標。

對于飽和土而言，流體平衡方程環(huán)向為：

(2)

式中：kd為動力滲透系數(shù)；g為重力加速度。

由于樁-土系統(tǒng)做發(fā)生諧和振動，所有反應量都有f(r,z,t)=f(r,z)eiωt的形式，其中f(r,z)表示振幅，ω表示圓頻率。忽略eiωt項后，將式(2)代入式(1)可得：

2uθ(r,z)-

(3)

令φ(z,t)=φ(z)eiωt為樁身質點扭轉振動的轉角，取樁身微元體作動力平衡分析，可得樁作扭轉振動基本方程如下(略去eiωt項)：

(4)

1.2定解條件

土層的邊界條件為：

(5)

τθzi(r,z=0)=0，uθi(r,z=H)=0,(i=1,2)(6)

樁頂及樁底邊界條件為：

(7)

樁與土接觸面處的銜接條件為：

uθ1(r=r1,z)=φ(z)r1，uθ2(r=r2,z)=φ(z)r2(8)

2問題求解

2.1飽和土層扭轉振動問題求解

采用分離變量法，令uθ(r,z)=R(r)Z(z)并代入式(3)可得：

(10)

式(10)可以進一步分解為：

(11)

解式(11)可得：

(12)

式中：R=R(r)和Z=Z(z)為求解方程引入的單變量函數(shù)；I1(qr)、K1(qr)為一階第一類、第二類修正的貝塞爾函數(shù)；A、B、C、D為由邊界條件決定的積分常數(shù)。

由此可寫出樁周土與樁芯土的位移幅值解分別為：

由土層邊界條件式(5)可知B1=0，A2=0，由土層邊界條件式(6)可得C1=C2=0以及下式：

m=1,2,3…

(14)

那么，樁周土與樁芯土扭轉振動位移幅值形式解可以表示為：

(15)

由此，結合修正貝塞爾函數(shù)的遞推公式，可得樁周土與樁芯土對樁身單位面積的環(huán)向剪應力幅值τrθ分別為：

(16)

式中：I2(qm2r)、K2(qm1r)為二階第一類、第二類修正的貝塞爾函數(shù)。

為了數(shù)值計算中參數(shù)討論的方便，引入以下無量綱變量：

2.2樁身扭轉振動問題求解

將式(9)、式(16)代入式(4)，并作無量綱化處理后，可得：

(17)

方程(17)所對應的齊次方程的通解可表示為：

(18)

方程(17)的特解形式可寫為：

(19)

將式(19)代入式(17)，可以得到：

(20)

式中：

由樁土接觸面的連續(xù)條件，利用固有函數(shù)cos(hmz)的正交性可得：

(21)

可以得到，管樁扭轉振動時，轉角響應幅值可以表示為：

(22)

式中：

式(22)中的待定系數(shù)α1、α2可由邊界條件式(7)求得：

將待定系數(shù)α1、α2代入式(22)，根據(jù)復剛度定義，可得樁頂扭轉復剛度為：

(23)

3參數(shù)分析

3.1樁頂復剛度分析

以樁頂復剛度和樁頂導納來反映管樁的振動特性。樁頂復剛度的實部代表樁的動剛度(下文用kT1表示)，虛部代表動阻尼(下文用kT2表示)。本文將主要分析樁周土和樁芯土力學行為的差異對管樁扭轉振動的影響。各參量的取值為：r1=1.0 m，ρs1=2 650 kg/m3，Gs1=10 MPa，ρf=1 000 kg/m3，n1=0.5，kd1=0.001，g=10 m/s2，Gp=10 GPa。圖2～圖5為樁芯土與樁周土剪切模量比、液固耦合系數(shù)比、管樁內(nèi)外半徑比和樁長徑比對樁頂復剛度的影響曲線。

圖2　樁芯土與樁周土剪切模量比對樁頂復剛度的影響Fig.2 Influence of modulus ratio of soil around pile and inner soil on the complex stiffness at pile top

圖3　液固耦合系數(shù)比對樁頂復剛度的影響Fig.3 Influence of ratio of coupled coefficient of fluid and solid phase on the complex stiffness at pile top

圖4反映了管樁壁厚對樁頂復剛度的影響，可以看出，管樁壁厚對樁頂復剛度有明顯的影響。樁的內(nèi)外半徑之比越大，復剛度越大，這是由于內(nèi)外半徑比較大，說明內(nèi)半徑相對較大，樁芯土提供的摩擦力較大，而樁周土提供的摩擦力相對較小，而復剛度卻越大，可見樁周土較樁芯土對樁的扭轉振動影響要大(文獻[9]也獲得了相同的結論)。

圖4　管樁內(nèi)外半徑比對樁頂復剛度的影響Fig.4 Influence of thickness of pipe pile on the complex stiffness at pile top

圖5　管樁長徑比對樁頂復剛度的影響(μ=1 000)Fig.5 Influence of slenderness of pipe pile on the complex stiffness at pile top(μ=1 000)

圖5反映了樁長徑比(θ)對樁頂復剛度的影響，可以發(fā)現(xiàn)，長徑比對樁頂復剛度有顯著的影響。隨著樁長徑比的增加，樁頂復剛度的實部和虛部均收斂為一常數(shù)。說明在一定的激振頻率下，存在一個臨界樁長的問題，當長徑比大于此臨界樁長時，樁頂復剛度就基本不再變化。

3.2樁身轉角分析

頻率對樁身轉角有明顯的影響，同時也可以發(fā)現(xiàn)頻率對樁身轉角的實部影響要小于對虛部的影響(見圖6)。無量綱頻率越大，樁身的位移實部越小，但虛部的絕對值增大。位移虛部沿整個樁身變化不大，而實部的變化顯著，且隨著激振頻率的增大，其變化也越趨于平緩。

圖6　不同無量綱頻率荷載下樁身轉角隨深度變化Fig.6 Influence of non-dimensional frequency on the response of twist angle of pile

圖7　樁芯土與樁周土剪切模量比對樁身轉角的影響(a0=1.0)Fig.7 Influence of Gon the response of twist angle of pile (a0=1.0)

圖8　管樁內(nèi)外半徑比對樁身轉角的影響(a0=1.0)Fig.8 Influence of thickness of pipe pile on the response of twist angle of pile (a0=1.0)

4結論

基于Biot提出的動力固結理論，在三維軸對稱條件下研究了諧和激振荷載作用下均質各向同性飽和土中端承樁的扭轉振動特性，獲得了管樁在諧和扭轉激振作用下樁土耦合振動的解析解。分析了樁周土與樁芯土的物理力學參數(shù)的變化對管樁扭轉振動特性影響。主要結論有：

(1)樁芯土與樁周土的液固耦合系數(shù)比的變化對管樁的扭轉特性幾乎沒有影響。

(2)樁芯土與樁周土的剪切模量比在激振頻率較低時，對管樁的振動特性影響不顯著，但是隨著激振頻率的增大，其影響逐漸得以體現(xiàn)。

(3)管樁的壁厚對樁頂復剛度有明顯影響，樁頂復剛度隨著壁厚的減小而增大，說明了樁周土較樁芯土對樁的扭轉振動影響要大。

(4)隨著樁長徑比的增大，樁頂復剛度逐漸趨于一恒定值，說明在一定的激振頻率作用下，管樁也存在一個臨界樁長。

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