基于自適應(yīng)本征維數(shù)估計流形學(xué)習(xí)的相空間重構(gòu)降噪方法

馬婧華，湯寶平，宋　濤

(重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶　400044)

第一作者馬婧華女，博士生，1989年生

基于自適應(yīng)本征維數(shù)估計流形學(xué)習(xí)的相空間重構(gòu)降噪方法

馬婧華，湯寶平，宋濤

(重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400044)

摘要：針對實(shí)際工程領(lǐng)域振動信號噪聲干擾大、具有強(qiáng)烈非線性等問題，提出了基于自適應(yīng)本征維數(shù)估計流形學(xué)習(xí)的相空間重構(gòu)降噪方法。利用相空間重構(gòu)將一維含噪時間序列重構(gòu)到高維相空間；基于極大似然估計法 (maximum likelihood estimate, MLE) 估計相空間中每個樣本點(diǎn)的本征維數(shù)并使用自適應(yīng)加權(quán)平均法計算全局本征維數(shù)；采用局部切空間排列 (Local tangent space Alignment, LTSA) 流形學(xué)習(xí)方法將含噪信號從高維相空間投影到有用信號的本征維空間中，剔除分布在高維空間中的噪聲后，重構(gòu)回一維時間序列。通過Lorenz仿真實(shí)驗(yàn)和風(fēng)電機(jī)組振動信號降噪實(shí)例，證實(shí)了該方法具有良好的非線性降噪性能。

關(guān)鍵詞：非線性降噪；流形學(xué)習(xí)；本征維數(shù)估計；極大似然估計；自適應(yīng)加權(quán)

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51275546，51375514);高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項科研基金資助(20130191130001)

收稿日期：2014-03-24修改稿收到日期：2014-05-29

通信作者湯寶平男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1971年生

中圖分類號:TN911;TH133

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.006

Abstract:Aiming at the problem that the actual engineering vibration signals are interfered by strong noise with strong nonlinear characteristic, a phase space reconstruction method based on adaptive intrinsic dimension estimation manifold learning was proposed. Firstly, one-dimensional time series containing noise were reconstructed into a high dimensional phase space with the phase space reconstruction method. Secondly, the intrinsic dimension of each sample point in the phase space was estimated based on the maximum likelihood estimate (MLE), the adaptive weighted average method was used to calculate the global intrinsic dimension. At last, the manifold learning algorithm and the local tangent space alignment ( LTSA) were employed to project the signal containing noise from the high-dimensional phase space into the intrinsic dimensional space of useful signals. After eliminating the noise distributing in the high-dimensional space, the signals were reconstructed back into one-dimensional time series. Lorenz simulation and an example of vibration signals’ noise reduction for a wind power generator unit showed that the proposed method has a good performance of nonlinear noise reduction.

Phase space reconstruction method for vibration signal’s noise reduction based on adaptive intrinsic dimension estimation manifold learning

MAJing-hua,TANGBao-ping,SONGTao(The State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

Key words:nonlinear noise reduction; manifold learning; intrinsic dimension estimation; maximum likelihood estimate; adaptive weighted

隨著科技的進(jìn)步，航空發(fā)動機(jī)、風(fēng)電機(jī)組等機(jī)械設(shè)備的故障機(jī)理日益復(fù)雜，其振動信號具有噪聲干擾大、非平穩(wěn)非線性等特征。良好的降噪效果是保證機(jī)械設(shè)備故障診斷準(zhǔn)確性的重要前提[1]。

傳統(tǒng)的線性濾波方法不能有效消除非線性信號中的噪聲；而非線性小波降噪方法受到參數(shù)取值困難的限制[2]；Takens等[3]提出了相空間重構(gòu)的延時坐標(biāo)法，奠定了相空間重構(gòu)技術(shù)的基礎(chǔ)，為非線性信號分析提供了新的思路。近年來，結(jié)合相空間重構(gòu)和流形學(xué)習(xí)進(jìn)行非線性降噪[4]取得了良好的效果，如張振躍等[5]和Chang等[6]在主成分分析的基礎(chǔ)上，引入流形學(xué)習(xí)的局部平滑思想，提出了加權(quán)主成分分析局部平滑算法和魯棒加權(quán)局部線性平滑嵌入算法；楊建宏等[7]研究了基于局部切空間排列(LTSA)的非線性時間序列降噪方法；王廣斌等[8]提出分形維與LTSA結(jié)合的非線性降噪方法，成功應(yīng)用于帶有斷齒的齒輪箱振動分析；余成義[9]提出基于相空間重構(gòu)與LTSA的降噪方法。

LTSA算法[10]直接給出了從低維流形到高維流形之間的主流形重構(gòu)的顯式表達(dá)，且保證了映射變化誤差最小，但存在本征維數(shù)人為設(shè)置的不確定性。因此，本文提出了基于自適應(yīng)本征維數(shù)估計流形學(xué)習(xí)的相空間重構(gòu)降噪方法。首先通過基于最大似然估計的自適應(yīng)加權(quán)法得到本征維數(shù)，然后將重構(gòu)得到的高維相空間數(shù)據(jù)約簡為低維局部切空間數(shù)據(jù)，最后采用均值重構(gòu)得到一維時間序列。

1自適應(yīng)加權(quán)本征維數(shù)估計

在無信息丟失的前提下，能夠表示數(shù)據(jù)自由變量的最少變量個數(shù)，稱為數(shù)據(jù)集合的本征維數(shù)，它是數(shù)據(jù)集的固有屬性。信號的本征維數(shù)決定著相空間內(nèi)相點(diǎn)鄰域內(nèi)的分布性質(zhì)，因此，可以通過分析相點(diǎn)鄰域所張成的子空間來確定。在重構(gòu)相空間中，有用信號以吸引子形式存在，實(shí)質(zhì)上是分布在以本征維數(shù)為大小的特征空間里，而噪聲則分布在整個高維相空間中。因此，在使用流形學(xué)習(xí)進(jìn)行維數(shù)約簡時，如果約簡目標(biāo)維數(shù)選擇過大，則容易將噪聲分布方向的數(shù)據(jù)包含進(jìn)去，難以很好地消除噪聲；而約簡目標(biāo)維數(shù)選擇過小，則可能將有用信號當(dāng)作噪聲消除掉。因此，本征維數(shù)的估計至關(guān)重要。

1.1極大似然法本征維數(shù)估計

一般來說，數(shù)據(jù)間的關(guān)系可以充分的反映數(shù)據(jù)的局部幾何特征。極大似然估計法[11]就是通過建立近鄰間距離的似然函數(shù)，來得到本征維數(shù)的極大似然估計的。最大似然法是先假定一個小球面Sx(r)，r為半徑，當(dāng)r足夠小時，認(rèn)為密度采樣函數(shù)f(x)近似為常量，假定觀察樣本服從齊次泊松分布，對非齊次過程N(yùn)(t,x)，0≤t≤r進(jìn)行考察，它表示的是以數(shù)據(jù)點(diǎn)x為中心，t距離內(nèi)覆蓋的樣本的數(shù)目，則：

(1)

式中:I{xi∈Sx(r)}為示性函數(shù)，用泊松公式近似該二項式得到：

λ(t)=f(x)V(d)dtd-1

(2)

式中:V(d)為d維空間單位球的體積。令θ=lg(f(x))后，N(t)的似然函數(shù)形式如下：

(3)

(4)

(5)

式中:Tk(xi)為樣本點(diǎn)xi與其第k個近鄰點(diǎn)的歐氏距離。

1.2本征維數(shù)的自適應(yīng)加權(quán)計算

對每個樣本點(diǎn)，分別計算基于極大似然估計的本征維數(shù)，取其平均值即可得到全局本征維數(shù)：

(6)

取所有樣本點(diǎn)的本征維數(shù)的平均值作為全局本征維數(shù)有其缺點(diǎn)，當(dāng)數(shù)據(jù)集樣本足夠大且k選擇合適的情況下，可以得到比較好的估計維數(shù)。然而，k值過小，估計值明顯高于固有維數(shù)，當(dāng)k值過大時，又有明顯的負(fù)偏差。當(dāng)樣本數(shù)比較小時很難選擇合適的k值。主要由于上述算法中直接取各個樣本點(diǎn)估計維數(shù)的平均，而沒有區(qū)分每個數(shù)據(jù)點(diǎn)的貢獻(xiàn)，容易導(dǎo)致冗余信息放大、重要信息湮沒，非常不利于后續(xù)降維操作。故本文對其算法進(jìn)行改進(jìn)，采用自適應(yīng)加權(quán)平均算法：考慮每個數(shù)據(jù)點(diǎn)與其近鄰點(diǎn)之間的關(guān)系，通過加權(quán)的方式修正數(shù)據(jù)點(diǎn)的貢獻(xiàn)。

自適應(yīng)權(quán)重計算：令Dk為近鄰距離矩陣，Ak(x)為點(diǎn)x距最近鄰的距離，則點(diǎn)x的權(quán)重可表示為：

(7)

修正后的本征維數(shù)為：

(8)

直接取平均值得方法問題在于位于稠密區(qū)的點(diǎn)給出過高的估計維數(shù)，相反稀疏區(qū)的點(diǎn)則給出過低的估計。而采用自適應(yīng)權(quán)重后在一定程度上彌補(bǔ)了這一缺陷，原因是：

k較小時，大多數(shù)點(diǎn)位于稠密區(qū)，wk(x)→exp(1)=e，減少了正偏差；

k較大時，使得部分點(diǎn)變成稀疏點(diǎn)，wk(x)→exp(0)=1，對數(shù)據(jù)集維數(shù)貢獻(xiàn)沒有影響，可以削弱了負(fù)偏差的激增。

自適應(yīng)加權(quán)估計根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的局部分布，通過加權(quán)的方式修正了每個點(diǎn)對固有維數(shù)的貢獻(xiàn)，在一定程度上提高了固有維數(shù)的估計準(zhǔn)確率。

2基于LTSA的主流形識別

局部切空間排列算法的原理是在每個樣本點(diǎn)處由其k個最近鄰構(gòu)造切空間，計算k個最近鄰在切空間中一個正交坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，然后對所有數(shù)據(jù)點(diǎn)處的局部坐標(biāo)系進(jìn)行平移縮放及旋轉(zhuǎn)并排列，得到樣本點(diǎn)的全局坐標(biāo)。排列時最大可能地保留每個樣本點(diǎn)處局部坐標(biāo)系下的幾何結(jié)構(gòu)信息。基于LTSA的主流形識別基本過程如下：

(1)樣本鄰域選擇：

對數(shù)據(jù)樣本集X=[x1,x2,….xn]中的每個樣本點(diǎn)，用歐式距離或最大范數(shù)確定k個距離最小的近鄰點(diǎn)。設(shè)xi的k近鄰矩陣為Xi=[xi1,xi2,….xik]。

(2)局部線性擬合

(3)全局坐標(biāo)構(gòu)建

設(shè)全局坐標(biāo)為T={t1,t2,…,tn}∈Rd，Ti={ti1,ti2,…,tik}∈Rd是ti的不包括自身在內(nèi)的k個近鄰，每個樣本點(diǎn)局部坐標(biāo)矩陣排列起來得到全局坐標(biāo)系，并且全局坐標(biāo)反映局部坐標(biāo)矩陣幾何結(jié)構(gòu)，其中：

(9)

(10)

式中:Ei=(εi1,εi2,…,εik),e為全1向量，長度為k，則

Ei=Ti×(I-e×eT/k)-LiΘi∈Rd

(11)

(4)主流形重構(gòu)

得到每個數(shù)據(jù)點(diǎn)xi對應(yīng)的低維全局坐標(biāo)ti后，需要由低維坐標(biāo)重構(gòu)出高維空間中數(shù)據(jù)的主流形，計算如式(12)所示。

(12)

3基于自適應(yīng)本征維數(shù)估計流形學(xué)習(xí)的相空間重構(gòu)降噪流程

基于自適應(yīng)本征維數(shù)估計流形學(xué)習(xí)的相空間重構(gòu)降噪方法步驟如下：

(1)重構(gòu)相空間

對一維時間序列為S=(s1,s2,…,sN)，運(yùn)用互信息法和cao法[12]確定相空間重構(gòu)最佳維數(shù)m和時間延遲τ，得到重構(gòu)后的相空間矩陣為X=[x1,x2,…,xN-(m-1)τ]∈Rm×[N-(m-1)τ]。

(2)主流形識別

使用本文的自適應(yīng)加權(quán)極大似然法估計出信號本征維數(shù)d，并使用LTSA將高維相空間降維到本征維數(shù)空間，設(shè)低維主流形為T=[t1,…,tN-(m-1)τ]∈Rd。

(3)主流形重構(gòu)

(4)一維信號反求

根據(jù)相空間重構(gòu)的方法反求一維時間序列。由于采用時間延遲的方式來重構(gòu)相空間，所以一維時間序列中的某個元素可能會在相空間數(shù)據(jù)矩陣中的多個位置出現(xiàn)。從相空間的數(shù)據(jù)矩陣恢復(fù)到一維時間序列如式(13)所示。

(13)

式中:{Ii(j,k)}為時間序列中第i個元素在相空間數(shù)據(jù)矩陣中滿足條件k+(j-1)τ=i的所有元素的下標(biāo)集合，k∈[1,N-(m-1)τ]，j∈[1,m]，Ci為{Ii(j,k)}中元素的個數(shù)。

基于自適應(yīng)本征維數(shù)估計流形學(xué)習(xí)和相空間重構(gòu)的信號降噪流程見圖1。

4仿真信號降噪實(shí)驗(yàn)

洛倫茲系統(tǒng)是典型的非線性動力系統(tǒng)：

(14)

式中：取d=10，b=8/3，r=28構(gòu)造洛倫茲信號，采樣頻率為100 Hz，用四階龍格庫塔法計算，取x前20 s信號作為試驗(yàn)信號。洛倫茲信號的時域波形和二維相圖見圖2。

對洛倫茲信號添加高斯白噪聲，信噪比為10 dB，帶噪洛倫茲信號的的時域波形和二維相圖見圖3。

圖2　洛倫茲信號時域波形和二維相圖Fig.2 The time-domain waveform and two-dimensional phase diagram of Lorentz signal

圖3　帶噪洛倫茲信號時域波形和二維相圖Fig.3 The time-domain waveform and two-dimensional phase diagram of Lorentz signal with noise

對添加白噪聲后的洛倫茲信號進(jìn)行相空間重構(gòu)，使用互信息法計算相空間重構(gòu)的時間延遲τ=1。利用已知的時延τ使用cao方法求嵌入維數(shù)，取嵌入位數(shù)m=13。自適應(yīng)極大似然法估計高維相空間本征維數(shù)，其結(jié)果為d=3.257，取整為3。進(jìn)一步進(jìn)行降維，再重構(gòu)主流形最后反求一維時間信號，其結(jié)果見圖4。

圖4　流形學(xué)習(xí)降噪后的洛倫茲信號時域波形和二維相圖Fig.4 The time-domain waveform and two-dimensional phase diagram of Lorentz signal after de-noising with manifold learning

從洛倫茲信號時域波形來看，經(jīng)過本文方法降噪后，基本能夠還原原始信號，噪聲強(qiáng)度已非常低，二維相圖略有變形，說明還是存在少量噪聲成分。為驗(yàn)證本文方法的有效性，這里同時選取常用的小波降噪方法與本文方法進(jìn)行對比，選用“db8”小波，作5層分解，降噪效果見圖5。

圖5　小波降噪后的洛倫茲信號時域波形和二維相圖Fig.5 The time-domain waveform and two-dimensional phase diagram of Lorentz signal after de-noising with wavelet

從時域波形來看，小波降噪與本文方法效果接近，都能很好的去處噪聲，但從二維相位圖來看，小波降噪后的數(shù)據(jù)有較大失真。由于小波降噪?yún)?shù)不好確定，難以根據(jù)信號非線性特性自適應(yīng)降噪，效果不及本文方法。

為分析本征維數(shù)對降噪效果的影響，同樣以上述添加白噪聲洛倫茲信號為例，如果LTSA算法的目標(biāo)維數(shù)不取3，而分別取d=4和d=5，其它參數(shù)不變，降噪后的洛倫茲信號的二維相位圖(見圖6)。可以看出，含噪洛倫茲信號噪聲沒能很好去除，如果目標(biāo)維數(shù)不是本征維數(shù)，基于流形學(xué)習(xí)的非線性降噪效果將大打折扣，效果很不理想。

圖6　目標(biāo)維數(shù)分別為d=4(左)和d=5(右)時降噪后的二維相位圖Fig.6 The two-dimensional phase diagram after de-noising with target dimension d=4(left) and d=5(right)

對不同信噪比的含噪洛倫茲信號分別用不同的目標(biāo)維數(shù)(d=2、3、4、5、6、7)使用流形學(xué)習(xí)方法進(jìn)行降噪處理，降噪后的信噪比見表1。由表1可知，在不同的信噪比下，都是d=3時降噪后的信噪比最高，即目標(biāo)維數(shù)小于本征維數(shù)或者大于本征維數(shù)，會造成降噪過度或者降噪不夠，只有目標(biāo)維數(shù)設(shè)置為本征維數(shù)時，降噪效果最好?？梢?，目標(biāo)維數(shù)是基于流形學(xué)習(xí)的非線性降噪方法的關(guān)鍵，必須正確估計出信號的本征維數(shù)，以本征維數(shù)作為目標(biāo)維數(shù)，才能獲得最佳降噪效果。

表1　嵌入維數(shù)和本征維數(shù)與信噪比的關(guān)系

5應(yīng)用

對海裝風(fēng)電設(shè)備有限公司生產(chǎn)的5MW的風(fēng)電機(jī)組傳動系統(tǒng)進(jìn)行振動測試，測試部位包括主軸承、齒輪箱轉(zhuǎn)矩臂、齒輪箱支撐臺架、齒輪箱傳動軸和發(fā)電機(jī)。對于主軸部分，由于轉(zhuǎn)速較低，振動多體現(xiàn)為低頻，需使用低頻加速度傳感器。對于齒輪箱部分及發(fā)電機(jī)部分，振動多體現(xiàn)為高頻，可使用標(biāo)準(zhǔn)加速度傳感器進(jìn)行采集。測試中所用采集設(shè)備為NI-9188采集機(jī)箱和NI9234采集模塊。此次測試中，高速軸轉(zhuǎn)速范圍為800～1 200 r/min，齒輪箱傳動比約為116，低速軸轉(zhuǎn)速范圍為6.9～10.3 r/min(0.12～0.18 Hz)，低頻部位轉(zhuǎn)頻最低接近0.1 Hz，因此對于主軸承選用頻率響應(yīng)為0.1～2 000 Hz的朗斯振動加速度傳感器LC0166T，對齒輪箱傳動軸選用頻率響應(yīng)為1～10 000 Hz的SKF振動加速度傳感器CMSS-WIND-100。低速部位傳感器采用磁力座固定安裝，高速部位傳感器采用膠水粘結(jié)固定安裝。風(fēng)電機(jī)組傳動系統(tǒng)振動信號測試現(xiàn)場見圖7。

圖7　風(fēng)電機(jī)組傳動系統(tǒng)振動信號測試現(xiàn)場Fig.7 The test bed of wind turbine vibration test

在高速軸轉(zhuǎn)速為1 200 r/min時，測得各測點(diǎn)的振動信號，對主軸承軸向測點(diǎn)的振動信號進(jìn)行降噪處理，其原始振動信號時域波形及其頻譜見圖8(a)。

主軸承上的振動頻率基本在400 Hz以內(nèi)，主要頻率成分約為20 Hz及其倍頻成分，20 Hz來源于齒輪箱輸出端的轉(zhuǎn)頻，轉(zhuǎn)頻的倍頻成分在軸向表現(xiàn)比較明顯，而在徑向表現(xiàn)相對較弱。除了轉(zhuǎn)頻及其倍頻外，圖示還有304 Hz的頻率成分，經(jīng)分析，該頻率主要來自于行星輪的齒輪嚙合頻率，此外，由于測試機(jī)組附近的電磁干擾，從頻譜圖可以看出信號中還有一些噪聲成分。

采用傳統(tǒng)的小波消噪方法對該信號進(jìn)行降噪處理。選擇小波基為Daubechies小波“db8”，小波分解層數(shù)為5層，采用stein無偏風(fēng)險估計原則估計閾值，軟閾值去噪，降噪后的頻譜結(jié)果見圖8(b)。由圖8(b)可知，小波消噪主要是帶通濾波，通常是濾掉高頻成分，但由于該測點(diǎn)中行星輪齒輪嚙合頻率為304 Hz，處于高頻部分被濾掉，低頻部分的噪聲依然存在，顯然沒有起到有效的消噪效果。采用本文流形學(xué)習(xí)方法進(jìn)行非線性降噪，通過互信息法計算得到的時間延遲τ=1，通過cao方法計算所得嵌入維數(shù)為86，基于自適應(yīng)極大似然估計的得到本征維數(shù)為5，降噪后的時域信號和頻譜見圖8(c)。顯然，經(jīng)本文方法降噪后的頻率成分比較清晰，20 Hz及其倍頻成分都很明顯，304Hz行星輪齒輪嚙合頻率成分有效的保留下來，噪聲水平很低。

圖8　主軸承軸向測點(diǎn)振動信號時域波形及相應(yīng)頻譜Fig.8 The time-domain waveform and frequency spectrum of vibration signal from axial direction of main bearing

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文降噪方法的有效性，這里同樣分別采用傳統(tǒng)的小波消噪方法和本文流形學(xué)習(xí)方法對齒輪箱傳動軸徑向測點(diǎn)振動信號進(jìn)行降噪處理，其原始振動信號時域波形及頻譜見圖9(a)。

由于風(fēng)電機(jī)組齒輪箱結(jié)構(gòu)復(fù)雜，主軸經(jīng)過傳動系統(tǒng)增速后，其頻譜成分較低速軸更為豐富，在10 000 Hz以內(nèi)均有分布，且噪聲成分更為明顯。通過小波消噪，處于圖9(b)所示的部分有效高頻頻率成分被濾除，且低頻部分的噪聲依然存在。通過本文方法降噪后(見圖9(c))，噪聲成分得到較好的抑制，并保留了有效的高頻成分。可見基于流形學(xué)習(xí)的信號消噪方法在低頻和高頻振動信號降噪中均能有效的消除了非線性噪聲，有異于簡單的通過濾波實(shí)現(xiàn)消噪，具有更好的自適應(yīng)性。

圖9　齒輪箱傳動軸測點(diǎn)徑向振動信號時域波形及相應(yīng)頻譜Fig.9 The time-domain waveform and frequency spectrum of vibration signal from radial direction of gearbox shaft

6結(jié)論

本文針對風(fēng)電機(jī)組振動信號降噪提出了基于本征維數(shù)估計流形學(xué)習(xí)的非線性降噪法。通過風(fēng)電機(jī)組振動信號降噪實(shí)驗(yàn)表明：

(1)結(jié)合流形學(xué)習(xí)和相空間重構(gòu)進(jìn)行非線性降噪，更能體現(xiàn)動力學(xué)系統(tǒng)主流形的全域信息和整體結(jié)構(gòu)，具有更好的自適應(yīng)性；

(2)采用極大似然法的本征維數(shù)估計法，可以避免目標(biāo)維數(shù)設(shè)置不當(dāng)帶來的不完全降噪或過度降噪，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行自適應(yīng)加權(quán)處理，修正數(shù)據(jù)點(diǎn)的貢獻(xiàn)，從而進(jìn)一步提高風(fēng)電機(jī)組傳動系統(tǒng)診斷信號的非線性降噪效果；

(3)與常用的小波降噪法進(jìn)行對比，結(jié)果表明基于本征維數(shù)估計流形學(xué)習(xí)的非線性降噪法具有更好的降噪性能，進(jìn)一步驗(yàn)證了本方法的有效性。

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