EQ—代數(shù)上模糊集的相關(guān)性質(zhì)

段喆杰

摘要：EQ-代數(shù)是一種重要的邏輯代數(shù)，它與剩余格有密切的關(guān)系，但也存在本質(zhì)的差別，研究EQ-代數(shù)對(duì)經(jīng)典邏輯和模糊邏輯有重要意義。繼Vilem Nover 提出了EQ-代數(shù)并在EQ-代數(shù)中引入濾子后，許多學(xué)者針對(duì)EQ-代數(shù)中濾子理論，做了大量的工作。本文以EQ-代數(shù)為研究對(duì)象，為主要工具，以水平截集為橋梁，在EQ-代數(shù)和模糊集的基礎(chǔ)上，引入了EQ-代數(shù)模濾子的定義，討論了EQ-代數(shù)模糊濾子的相關(guān)性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：EQ-代數(shù) 模糊集 模糊準(zhǔn)濾子

中圖分類號(hào)：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）01（c）-0000-00

美國控制專家Zadeh，在1965年發(fā)表了論文《Fuzzy sets》，標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)這門學(xué)科的誕生。自從Zadeh在他的論文Fuzzy sets中提出了模糊集的概念后，吸引了一大批科學(xué)家的注意力。1971年，Rosenfeld引入模糊子群，標(biāo)志著模糊代數(shù)研究的開始.Das用水平子群來刻畫模糊子群。

1 EQ-代數(shù)的相關(guān)定義

定義1.1 一個(gè) 型代數(shù) ，如果滿足：

（1） 是一個(gè) 半格且有最大元1，如果 ，記 ；（2） ；

（3） 是一個(gè)有單位元1的半群且 保序； （4） ：

（5） ；（6） ；（7） ；

則稱 是一個(gè)EQ-代數(shù)。

注：運(yùn)算 是一個(gè)取下確界的運(yùn)算， 被稱為積和～被稱為一個(gè)模糊等式.顯然， 是偏序關(guān)系且對(duì)任意的 ，我們定義 ， 。

定義1.2設(shè) 是一個(gè)可分的EQ-代數(shù)， ，如果對(duì)任意的 ，

（?。?； （ⅱ） 如果對(duì) ， ，則 .則 就稱為 的準(zhǔn)濾子。

如果對(duì)任意的 且 有 和 ，則準(zhǔn)濾子被稱濾子。

2 可分EQ-代數(shù)的模糊準(zhǔn)濾子的概念及性質(zhì)

定義2.1設(shè) 為一個(gè)可分的EQ-代數(shù)， 為 上的模糊子集，如果

（1） ，對(duì)任意的 ；（2） ，對(duì) ，

則稱 是 的模糊準(zhǔn)濾子.如果對(duì)任意的 ，有 和 ，則模糊準(zhǔn)濾子稱模糊濾子.

定理2.2 設(shè) 為可分的EQ-代數(shù) 上的模糊準(zhǔn)濾子，對(duì)任意的 ，如果 ，則有 .

證明：設(shè) 且 ，由定理1.1知 ，所以 .證畢.

為了討論可分EQ-代數(shù) 上模糊準(zhǔn)濾子和準(zhǔn)濾子的關(guān)系，我們給出模糊集的水平截集的概念.設(shè) 為一個(gè)可分EQ-代數(shù)， 為 上的一個(gè)模糊子集.對(duì) ，定義 ，稱 為 的一個(gè)模糊水平截集.

定理2.3 為可分的EQ-代數(shù) 上的一個(gè)模糊準(zhǔn)濾子的充要條件是對(duì)任意 且 ，則 為準(zhǔn)濾子.

證明：必要性.設(shè) 是一個(gè)模糊準(zhǔn)濾子，且對(duì) 。則 ，使 .由定義2.1知 ，所以 .如果 ，則 ，再由定義2.1知A（ ，所以 .由準(zhǔn)濾子定義知 為準(zhǔn)濾子.

充分性.設(shè)對(duì)任意 且 有 為準(zhǔn)濾子.對(duì)任意 ，令 .則 .由題設(shè)條件， 是 的準(zhǔn)濾子.由準(zhǔn)濾子定義知1 ，故 .設(shè) ， ，令 ，則 ， .故 為 的一個(gè)準(zhǔn)濾子.由準(zhǔn)濾子定義 .所以 .證畢.

3 結(jié)論

本文用EQ-代數(shù)系統(tǒng)模糊化方法和模糊集水平截集方法把EQ-代數(shù)上的前濾子模糊化，并且得到EQ-代數(shù)上模糊前濾子和前濾子的關(guān)系。通過這種模糊化方法可以有效簡化代數(shù)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。

參考文獻(xiàn)

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