基于matlab的電磁場仿真與分析

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基于matlab的電磁場仿真與分析

宋應(yīng)龍

（西安電子科技大學(xué),陜西西安,710126）

摘要：電磁場問題往往較為抽象，并且計算也相對比較復(fù)雜。為此，借助計算機(jī)軟件對復(fù)雜問題進(jìn)行求解的重要性也得到凸顯。本文通過兩個例子，著重介紹了matlab在電磁場仿真與數(shù)值分析中的應(yīng)用。結(jié)果表明這一方法具有計算效率高，能使抽象的場的問題具體化的優(yōu)點。

關(guān)鍵詞：Matlab；電磁場；仿真；數(shù)值分析

0　引言

電磁場問題一直是人類科學(xué)史上不斷探索和深究的問題，雖然Maxwell方程用簡潔的數(shù)學(xué)語言描述了電磁場所遵循的普遍規(guī)律，但其具體問題的求解往往是復(fù)雜的，并且很多時候往往不能直接精確求解，需要進(jìn)行大量的近似計算來獲取結(jié)果。除此之外，對于數(shù)學(xué)表達(dá)式形式的求解結(jié)果，人們又往往難以形象地理解電磁場具體的空間分布?？紤]到Matlab是功能強(qiáng)大的科學(xué)與工程計算軟件，擁有強(qiáng)大的數(shù)值分析和繪圖能力，被廣泛應(yīng)用在信號處理、系統(tǒng)仿真、自動控制、小波分析以及圖形圖像分析等領(lǐng)域。我個人認(rèn)為，Matlab的廣泛應(yīng)用不僅得益于它良好的人機(jī)交互界面和簡潔易學(xué)的編程語言，更主要的是其函數(shù)庫的強(qiáng)大以及良好的擴(kuò)充能力。為了解決實際電磁場問題求解時所面臨的窘境，Matlab的使用顯得尤為重要。其中，Matlab PDE工具箱為我們提供了方便。PDE即為偏微分方程（partial differential equation）的英文縮寫。該工具箱主要運(yùn)用有限元法對偏微分方程來求解，方便的解決了電磁場偏微分方程難于求解以及求解過程較為繁瑣的問題。有限元法是將由偏微分方程表征的連續(xù)函數(shù)所在的封閉場域劃分成有限個小區(qū)域，每一個小區(qū)域用一個選定的近似函數(shù)來代替，所以整個場域上的函數(shù)被離散化，由此獲得一組近似的代數(shù)方程，聯(lián)立求解后即為該場域中函數(shù)的近似解。本文嘗試?yán)肕atlab PDE工具箱來解決一些切實遇到的電磁場問題，進(jìn)一步使得求解電磁場問題的方式更加多元化。

1　電磁場的邊值問題

我們知道，通過微分方程及相關(guān)邊界條件描述的問題稱為邊值問題。根據(jù)不同的邊界條件，邊值問題又可以分為三類：Dirichlet問題，Neumann問題以及混合問題。對于一些結(jié)構(gòu)特殊的靜態(tài)場問題，我們往往根據(jù)Maxwell方程組結(jié)合相應(yīng)的邊界條件來具體求解場的分布。

2　電荷密度為零的圓柱面內(nèi)部的電位分布

圖1　圓柱面內(nèi)部的電位分布

圖2　銅線橫截面電流

考慮如下問題：一半徑為a（任意常數(shù)）的圓柱面上，電位分布為：當(dāng)時，；當(dāng)時，。則其內(nèi)部的電位分布用matlab PDE來計算仿真，首先在Matlab命令窗口輸入pdetool,啟動PDE工具箱。然后可以在Options菜單中調(diào)整坐標(biāo)紙的柵欄格的稀疏。然后在Draw菜單下選擇Draw Mode來建模，得到圓形區(qū)域。接著進(jìn)入Boundary Mode，鼠標(biāo)雙擊邊界來根據(jù)已知設(shè)置邊界條件，都選擇Dirichlet條件，其中，上半圓的r=15,h=1,下半圓的r=0,h=1。然后在PDE Spacification中設(shè)置方程參數(shù)，選擇Elliptic(橢圓形)，c=1;a=0;f=0;點擊進(jìn)行網(wǎng)格剖分，最后點擊，得到結(jié)果如圖1所示。圖1中箭頭方向即為內(nèi)部電場的方向，與箭頭正交的線即為等電位線。另外，可以在Plot菜單下的Parameter中設(shè)置所畫圖形的參數(shù)，如：有無等勢線，有無矢量方向箭頭等等。

由（*）式可知，內(nèi)部的電位分布滿足拉普拉斯方程，如果我們采用圓柱坐標(biāo)系的分離變量法求解的話，可以得到內(nèi)部的電位是：

其中r為圓柱面內(nèi)部一點到圓柱面圓心的距離。從圖中可以看出，等位線對于該圓柱面與側(cè)放的地球儀上的經(jīng)線相似。將仿真結(jié)果和數(shù)學(xué)表達(dá)式對比后可以發(fā)現(xiàn)，通過數(shù)學(xué)表達(dá)式我們不大容易聯(lián)想到內(nèi)部具體的電位分布狀況，此時matlab的建模仿真對于將問題的解形象化發(fā)揮了重要作用，并且將繁瑣的計算求解過程交給了計算機(jī)程序，使得計算效率提高。

3　交流電磁場的計算仿真

又有問題如下：設(shè)在一段銅線上加有50MHz的交流電，其表面的電流密度，由可知，表面電場的Dirichlet條件為。在matlab PDE工具箱中選擇AC Power Electromagnetics模型。又知銅的電導(dǎo)率為，磁導(dǎo)率，則在Specify Boundary conditions的對話框中設(shè)置Dirichlet條件為,在PDE Specification對話框中選擇Elliptic,設(shè)置相應(yīng)的電磁參數(shù)及頻率:Omega=2*pi*5E7,mu=4*pi1E-7,sigma=5.7E7,epsilon=8.8E-12。然后剖分網(wǎng)格，如果要進(jìn)一步提高精度，可以點擊來加密網(wǎng)格。通過計算仿真得到內(nèi)部電流密度的分布結(jié)果如圖2～3所示。

Matlab繪制的立體圖可以用鼠標(biāo)拖動向各個方向旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而可以從不同角度來觀察分布的情況。從圖2～3也可以看出，頻率較高的情況下，電流主要分布在銅線表面，即為集膚效應(yīng)。

假如我們通過波動方程來求其解析解的話，除了繁瑣的過程外，其結(jié)果將含有Bessel函數(shù)，這對于理解和想象其電流分布又

圖3　銅線橫截面電流密度分布立體圖

增加了困難。

4　結(jié)束語

綜上所述，本文主要研究了Matlab PDE工具箱在電磁場問題求解中的應(yīng)用，以及對求解結(jié)果的分析等。通過上面兩個例子可以看到，matlab在求解關(guān)于電磁場的位分布，電流密度分布等的問題中具有高效、形象直觀的優(yōu)點，并且借助其繪制的圖形，便于更深刻地理解相應(yīng)的電磁場理論和解決實際的電磁場問題。該方法主要要求是對具體問題的建模，然后借助計算機(jī)程序來求解，相對較為簡潔，便于理解和掌握，對于在校學(xué)生、工程技術(shù)人員甚至科研人員都不失為一種良好的電磁場分析手段。

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宋應(yīng)龍 （1994- ），男，西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，曾連續(xù)多次獲得獎學(xué)金，電磁場與無線技術(shù)專業(yè)。

Electromagnetic field simulation and analysis based on matlab

Song Yinglong

(Xidian University,Xi’an,710126,China)

Abstract：Electromagnetic field problems are usually abstract,and the computation to it is also relatively complex.Therefore,the ability of solving the problems with the help of computers is becoming more important.This article introduces the application of matlab on simulation and numerical analysis.And the results shows that this method is efficient,and can make the abstract problems easy to handle.

Keywords：Matlab;Electromagnetic field;Simulation;Numerical Analysis

作者簡介

中圖分類號：TP391.9

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A