用托盤(pán)天平測(cè)量物體質(zhì)量過(guò)程中的幾個(gè)問(wèn)題

用托盤(pán)天平測(cè)量物體質(zhì)量過(guò)程中的幾個(gè)問(wèn)題

羅臘春

(宣城市第六中學(xué)安徽 宣城242000)

摘 要：托盤(pán)天平的橫梁是一個(gè)復(fù)式杠桿，在物體或砝碼偏離盤(pán)中心位置時(shí)，搖桿產(chǎn)生的約束反力力矩與托盤(pán)支架上所受的附加力矩抵消，天平不會(huì)失去平衡；測(cè)量前，通過(guò)調(diào)節(jié)平衡螺母讓杠桿在水平位置平衡，使杠桿的重心處于橫梁豎直對(duì)稱軸線上的支點(diǎn)正下方，這樣就消除了因杠桿自身重而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差；只有橫梁自動(dòng)回到水平位置平衡時(shí)，才是穩(wěn)定平衡，這時(shí)砝碼的質(zhì)量才等于物體質(zhì)量.

關(guān)鍵詞：重心系統(tǒng)誤差約束力力矩

收稿日期：(2014-12-15)

對(duì)生活中的杠桿進(jìn)行分類(lèi)時(shí)，我們都會(huì)將測(cè)量中的托盤(pán)天平橫梁歸為等臂杠桿，這就激發(fā)了學(xué)生對(duì)天平再認(rèn)識(shí)和思考的興趣，并站在杠桿的角度對(duì)天平提出了一些問(wèn)題，可歸納為：

(1)天平橫梁既然是等臂杠桿，測(cè)量前為何還要調(diào)平衡螺母使其在水平位置平衡？

(2)測(cè)量中，當(dāng)待測(cè)物體的質(zhì)量與砝碼質(zhì)量相等時(shí)，為何橫梁總會(huì)自動(dòng)回到水平位置平衡？

(3)物體或砝碼放在盤(pán)中的位置為何不影響測(cè)量結(jié)果?

下面將對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行討論.

1砝碼與待測(cè)物體質(zhì)量相等的條件

橫梁自動(dòng)回到水平位置平衡時(shí)，砝碼的質(zhì)量才與待測(cè)物體的質(zhì)量相等.

如圖1所示的示意圖是我們教學(xué)中常用的簡(jiǎn)圖，它表示調(diào)好的天平的橫梁是一個(gè)等臂杠桿，它的支點(diǎn)就在橫梁的刀口O點(diǎn)，橫梁的重心與支點(diǎn)重合.當(dāng)天平的橫梁偏至與水平線成θ角時(shí)，左右兩邊力的力矩分別為

M1=m物gl1cosθ

M2=m碼gl2cosθ

圖1　托盤(pán)天平的示意圖

由于l1=l2，且兩項(xiàng)都有cosθ因子，很明顯在m物=m碼時(shí)，無(wú)論θ多大總有M1=M2，就是說(shuō)當(dāng)砝碼的質(zhì)量與待測(cè)物體質(zhì)量相等時(shí)，橫梁可平衡在任意位置，應(yīng)出現(xiàn)“隨遇平衡”的現(xiàn)象.這就是學(xué)生推導(dǎo)所得的結(jié)論.如果想使杠桿回到水平位置平衡，只要用手將杠桿從現(xiàn)在的位置緩慢轉(zhuǎn)到水平位置即可.然而，實(shí)際的操作中橫梁會(huì)自動(dòng)回到水平位置后靜止下來(lái)，處于“穩(wěn)定平衡”狀態(tài).

理論的推導(dǎo)與實(shí)際的現(xiàn)象為何不一致呢？問(wèn)題出在天平橫梁這一實(shí)際杠桿與托盤(pán)天平示意圖的結(jié)構(gòu)差異上.對(duì)天平橫梁稍加觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，調(diào)好后的天平橫梁重心并不與支點(diǎn)重合，而在支點(diǎn)O的正下方.托盤(pán)天平橫梁的形狀是不規(guī)則的，為了討論簡(jiǎn)單起見(jiàn)可借用圖2予以說(shuō)明.

圖2　天平橫梁偏離水平方向時(shí)，靠杠桿自身重力矩恢復(fù)平衡

圖2中的O是橫梁的支點(diǎn)，O1是復(fù)式杠桿的重心位置，經(jīng)過(guò)測(cè)量前的橫梁水平調(diào)節(jié)，OO1的連線在橫梁的豎直對(duì)稱軸上.當(dāng)橫梁水平時(shí)，杠桿自身重力的作用線通過(guò)支點(diǎn)，產(chǎn)生的力矩為零.而在橫梁偏離水平方向與豎直方向夾角為θ時(shí)，杠桿自身重力的作用線不通過(guò)支點(diǎn)，此時(shí)的橫梁有3個(gè)力矩的共同作用，若平衡應(yīng)滿足

r1×F1=r2×F2+ r0×G0

(1)

即

m物glsinθ=m碼glsinθ+G0·OO1sinβ

(2)

另外存在的關(guān)系有

OA=OB=l

β=θ-90°

則

(3)

由式(3)可以看出，當(dāng)m物-m碼=0，即m物=m碼時(shí)，θ=90°，橫梁平衡于水平位置；當(dāng)m物≠m碼時(shí)，則θ≠90°，即橫梁平衡于水平位置以外的其他地方，兩盤(pán)中的質(zhì)量一定不等.

由此可見(jiàn)，平衡后的天平橫梁因?yàn)閿_動(dòng)而偏離水平位置時(shí)，杠桿自身重力的力矩就不為零，橫梁在該力矩作用下回到水平位置的穩(wěn)定平衡狀態(tài).

2測(cè)量前使橫梁在水平位置平衡的必要性

很明顯，如果測(cè)量前未調(diào)節(jié)橫梁兩端的平衡螺母使橫梁在水平位置平衡，橫梁這一杠桿的重心一定會(huì)偏離橫梁的豎直對(duì)稱軸線，向左或右端平移.如圖3所示的是重心偏至P點(diǎn)的情況，P點(diǎn)位置與橫梁上平衡螺母的位置有關(guān).

圖3當(dāng)橫梁水平時(shí)，杠桿自身重力的作

用線不通過(guò)支點(diǎn)會(huì)帶來(lái)系統(tǒng)誤差

當(dāng)在右盤(pán)中增、減砝碼，使橫梁在水平位置平衡時(shí)，由杠桿原理可得

m物gl+G0·OPsinα=m碼gl

(4)

式(4)中α是OP與OO1的夾角，G0是杠桿的自身重.這個(gè)表達(dá)式與希望獲得的m物=m碼是有差距的，G0·OPsinα一項(xiàng)其實(shí)也屬于實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差，但它可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)而被消除.為了消除這一項(xiàng)系統(tǒng)誤差，必須滿足

G0·OPsinα=0

即

OPsinα=0

而

得

OO1tanα=0

這說(shuō)明在有α=0的關(guān)系時(shí)，也就是當(dāng)P與O1重合時(shí)，由重力矩產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差被完全消除.可見(jiàn)，測(cè)量前調(diào)節(jié)平衡螺母使橫梁在水平位置平衡，表面看來(lái)是讓杠桿的重心在橫梁豎直對(duì)稱軸支點(diǎn)的正下方，實(shí)質(zhì)是為了消除杠桿自身重力力矩帶來(lái)的系統(tǒng)誤差.所以，這一調(diào)節(jié)過(guò)程是不可或缺的.

3物體或砝碼在托盤(pán)中的位置不影響測(cè)量結(jié)果

測(cè)量過(guò)程中，待測(cè)物體放左盤(pán)，在右盤(pán)中加砝碼，待天平平衡時(shí)改變待測(cè)物體或砝碼在盤(pán)中的位置，發(fā)現(xiàn)天平的平衡狀態(tài)不發(fā)生改變.因此，自然產(chǎn)生這樣的問(wèn)題：天平實(shí)質(zhì)是一個(gè)等臂杠桿，平衡后的天平，當(dāng)改變物體或砝碼在盤(pán)中位置時(shí)，力臂大小也隨之改變，由杠桿原理，天平的平衡應(yīng)被破壞，可實(shí)際上并沒(méi)有這樣，原因又是什么呢?

要弄清這個(gè)問(wèn)題，我們必須探究托盤(pán)天平的內(nèi)部結(jié)構(gòu).托盤(pán)天平并不是一個(gè)簡(jiǎn)單杠桿，而是一個(gè)復(fù)式杠桿，每個(gè)托盤(pán)支架下固定著一根豎桿，托盤(pán)支架和豎桿不是固定在橫梁上，而是通過(guò)活動(dòng)刀口支撐的，就是說(shuō)，托盤(pán)支架和豎桿也是一根以活動(dòng)刀口A，B為支點(diǎn)的杠桿；每根豎桿的下端還提供鉸鏈與各自的搖桿相連，左右搖桿的另一端固定在底座O′上，搖桿只能繞O′轉(zhuǎn)動(dòng)而不能發(fā)生平動(dòng)，它始終與橫梁平行.如圖4(a)所示，托盤(pán)天平的內(nèi)部結(jié)構(gòu)是一個(gè)矩形結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)在其他衡量器中也有應(yīng)用，叫做“羅伯爾矩形結(jié)構(gòu)”.天平橫梁在水平位置平衡時(shí)，結(jié)構(gòu)為矩形，當(dāng)橫梁傾斜時(shí)就變?yōu)槠叫兴倪呅?

圖4　天平的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及托盤(pán)受力圖

將等質(zhì)量的物體和砝碼放在左、右盤(pán)中心位置時(shí)，其重力通過(guò)托盤(pán)架加在橫梁上，砝碼盤(pán)中砝碼的重力產(chǎn)生的力矩成為順時(shí)針?lè)较虻闹髁?，砝碼盤(pán)中物體的重力產(chǎn)生的力矩成為逆時(shí)針?lè)较虻闹髁兀藭r(shí)豎桿下端的搖桿沒(méi)有力的作用；但當(dāng)將砝碼在右盤(pán)中外移時(shí)，其重力就要產(chǎn)生附加力矩ΔM，此力矩沒(méi)有加在橫梁上，而是加在了托盤(pán)支架和豎桿構(gòu)成的杠桿上，因?yàn)橥斜P(pán)支架與豎桿這根杠桿與橫梁是通過(guò)活動(dòng)刀口連接的.附加力矩想讓這根杠桿繞活動(dòng)刀口B沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，豎桿下端D通過(guò)鉸鏈對(duì)搖桿產(chǎn)生作用力，搖桿對(duì)D的約束反力矩就會(huì)將附加力矩平衡掉.當(dāng)然此時(shí)橫梁也會(huì)受到附加力F的作用，但只要搖桿與橫梁平行，那么該力作用線就一定通過(guò)橫梁的固定支點(diǎn)，不會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩.如圖4(b)所示為托盤(pán)支架和豎桿上力的作用情況，當(dāng)整體處于平衡狀態(tài)時(shí)

由杠桿的平衡原理

F′y=Gx=ΔM

即約束反力矩與附加力矩總是大小相等，其作用相互抵消，故而附加力矩不再影響天平的平衡.

當(dāng)砝碼向內(nèi)移時(shí)，除了砝碼的重力G和托盤(pán)支架的支持力N不變外，其他的力和相關(guān)力矩方向與圖4(b)所示相反，但其原理與前面是相同的.

參 考 文 獻(xiàn)

1李樹(shù)煥,楊來(lái)五,戴澤墩.理論力學(xué).北京：北京理工大學(xué)出版社,1986.8