等量同種電荷的中垂線上電場(chǎng)強(qiáng)度的分布

等量同種電荷的中垂線上電場(chǎng)強(qiáng)度的分布*

吳軍

(東臺(tái)市時(shí)堰中學(xué)江蘇 鹽城224211)

*江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究課題(2013年度第10期)“普通高中青年物理教師專業(yè)發(fā)展共同體建設(shè)的實(shí)踐研究”階段性成果之一，課題編號(hào)：2013JK10-L154

摘 要：等量同種電荷中垂線上的電場(chǎng)分布是高考一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，本文用高中學(xué)生所能掌握的方法從定性和定量?jī)蓚€(gè)角度得出從連線中點(diǎn)沿中垂線向外延伸場(chǎng)強(qiáng)先變大后變小的結(jié)論，并將此結(jié)論推廣至均勻帶電圓環(huán)．

關(guān)鍵詞：等量同種電荷中垂線電場(chǎng)分布

作者簡(jiǎn)介：吳軍(1975-)，男，中教高級(jí)，主要從事高中物理教學(xué)．

收稿日期：(2014-12-03)

電場(chǎng)是一種看不見(jiàn)、摸不著的特殊物質(zhì)，我們可以用電場(chǎng)線來(lái)形象地描述電場(chǎng)的方向和強(qiáng)弱．等量同種電荷所形成的電場(chǎng)比較復(fù)雜，對(duì)于高中生而言用電場(chǎng)線來(lái)描述電場(chǎng)比較簡(jiǎn)捷．現(xiàn)行高中教材[1]和一些參考書[2]中提供的電場(chǎng)線分布圖如圖1所示，另一些參考書[3，4]提供的電場(chǎng)線分布圖如圖2所示．

圖1

圖2

從圖1和圖2中可以清晰地看出兩點(diǎn)電荷連線上電場(chǎng)的強(qiáng)弱變化情況．兩幅圖所展示的空間范圍不同，圖1是圖2的一部分，兩點(diǎn)電荷的中垂線上特別是遠(yuǎn)離連線中點(diǎn)的地方,電場(chǎng)強(qiáng)弱的分布圖2表現(xiàn)得更為完整(如圖中虛線所示)．這種特殊的兩點(diǎn)電荷連線和其中垂線上電場(chǎng)的分布是高中階段考查的重點(diǎn)也是高考的熱點(diǎn)，因此高中教學(xué)中很有必要將其中垂線上的電場(chǎng)分布討論清楚．

1等量同種電荷中垂線上電場(chǎng)分布

以兩個(gè)等量帶正電的點(diǎn)電荷為例，其帶電量為+Q，兩點(diǎn)電荷A,B間距為2l，AB中點(diǎn)為O，M為AB中垂線上的任一點(diǎn)，AM和AB的夾角為θ．

(1)

同理可知點(diǎn)電荷B在M處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小

EB=EA

(2)

EB和EA的方向如圖3所示．

圖3

利用疊加原理可得點(diǎn)電荷A，B在M處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為

(3)

EM方向如圖3所示．

1．1定性分析其場(chǎng)強(qiáng)大小的變化

當(dāng)M位于A，B連線中點(diǎn)O時(shí)，θ=0，則EM=0；當(dāng)M位于A，B連線的中垂線上且距O點(diǎn)無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，θ→90°，則EM→0；當(dāng)M位于中垂線上其他任意位置時(shí)，則EM≠0．

1．2利用均值不等式定量分析

均值不等式

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=…=an時(shí)取等號(hào)．

式(3)左右兩邊同時(shí)平方得

(4)

1．3結(jié)論

綜上分析，可得如下結(jié)論：

(1)等量同種電荷連線中點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)為零；在其中垂線上從連線中點(diǎn)向外延伸，場(chǎng)強(qiáng)先變大后變小，無(wú)窮遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)為零．由此可知文獻(xiàn)[3,4]中所提供的圖2更完整些．

(2)等量正電荷的中垂線上場(chǎng)強(qiáng)不為零的地方場(chǎng)強(qiáng)方向沿中垂線背離連線中點(diǎn)方向，等量負(fù)電荷的中垂線上場(chǎng)強(qiáng)不為零的地方場(chǎng)強(qiáng)方向沿中垂線向著連線中點(diǎn)方向．

2等量同種電荷中垂線上電場(chǎng)的應(yīng)用

【例1】(2013年高考天津卷)兩個(gè)帶等量正電的點(diǎn)電荷，固定在圖中P,Q兩點(diǎn)，MN為PQ連線的中垂線，交PQ于O點(diǎn)，A點(diǎn)為MN上的一點(diǎn)(如圖4)．一帶負(fù)電的試探電荷q，從A點(diǎn)由靜止釋放，只在靜電力作用下運(yùn)動(dòng)．取無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，則

A．q由A向O的運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)

B．q由A向O運(yùn)動(dòng)的過(guò)程電勢(shì)能逐漸減小

C．q運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能最大

D．q運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)電勢(shì)能為零

解析：由等量同種電荷中垂線上的電場(chǎng)分布知,從O點(diǎn)沿中垂線向外場(chǎng)強(qiáng)先增大后減小，電荷從A向O運(yùn)動(dòng)其加速度可能先增大后減小，也可能一直減小，故選項(xiàng)A錯(cuò)．等量同種正電荷中垂線上電場(chǎng)方向沿中垂線背離O點(diǎn)，電荷從A向O運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受電場(chǎng)力由A指向O，電場(chǎng)力做正功，則電勢(shì)能逐漸減小，動(dòng)能逐漸增加，到達(dá)O點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最大，故選項(xiàng)B，C正確．O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零，但電勢(shì)不為零，由Ep=qφ知，q在O點(diǎn)的電勢(shì)能不為零，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

圖4

【例2】帶負(fù)電的粒子在電場(chǎng)中僅受電場(chǎng)力的作用，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)于該電場(chǎng)下列說(shuō)法中正確的是

A．一定是一個(gè)正點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)

B．可能是一個(gè)負(fù)點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)

C．可能是兩個(gè)等量正點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)

D．可能是兩個(gè)等量異種電荷形成的電場(chǎng)

解析：帶負(fù)電的粒子可在正點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)中繞正點(diǎn)荷做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如氫原子模型．等量同種電荷形成的電場(chǎng)的中垂面上(除O點(diǎn)外)是以O(shè)點(diǎn)為圓心的輻向電場(chǎng)，且到O點(diǎn)距離相等的點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等．等量正電荷中垂面電場(chǎng)方向背離圓心O，等量負(fù)電場(chǎng)中垂面電場(chǎng)方向向著圓心O．故負(fù)電粒子僅受電場(chǎng)力作用時(shí)其在中垂面受力如圖5所示，電場(chǎng)力提供向心力，粒子在中垂面上以O(shè)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．故選項(xiàng)C正確．

圖5

【例3】若在例2中考慮粒子的重力，則粒子能否在等量正點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)？

解析：若考慮重力作用，則粒子不能在等量正點(diǎn)電荷形成電場(chǎng)的中垂面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．但在與中垂面平行的面上以中垂線與面的交點(diǎn)O′為圓心的圓上電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，方向是以中垂線為軸的圓錐的母線方向(圖2為其在豎直平面內(nèi)的剖面圖)．在中垂面上方且與中垂面平行的面上若帶負(fù)電的粒子所受電場(chǎng)力的豎直分量與重力平衡，水平分量提供向心力，受力如圖6所示，則可使粒子以O(shè)′為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．

圖6

3均勻帶電圓環(huán)軸線上電場(chǎng)強(qiáng)度的分布

一半徑為R的圓環(huán)，均勻帶電，電量為+Q，如圖7所示，討論其軸線上的場(chǎng)強(qiáng)分布．

圖7

在圓環(huán)上關(guān)于圓心O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A和B各取一段Δl(Δl?R)長(zhǎng)度，可將A，B看作等量同種點(diǎn)電荷，其帶電量均為ΔQ．A，B點(diǎn)電荷在軸線上任一點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，方向沿軸線向外，由式(3)可知其大小為

(5)

圓環(huán)上的其他各點(diǎn)與其對(duì)稱的點(diǎn)均可構(gòu)成等量同種電荷，所以環(huán)上所帶電荷在其軸線上所產(chǎn)生的電場(chǎng)為

(6)

由此可知,均勻帶電圓環(huán)的圓心處場(chǎng)強(qiáng)為零，軸線上其他地方的電場(chǎng)方向沿軸線向外，由環(huán)心向外延伸場(chǎng)強(qiáng)先變大后變?。?/p>

【例4】(2014年高考江蘇卷)如圖8所示，一圓環(huán)上均勻分布著正電荷，x軸垂直于環(huán)面且過(guò)圓心O．下列關(guān)于x軸上的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的說(shuō)法中正確的是

A．O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，電勢(shì)最低

B．O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，電勢(shì)最高

C．從O點(diǎn)沿x軸正方向，電場(chǎng)強(qiáng)度減小，電勢(shì)升高

D．從O點(diǎn)沿x軸正方向，電場(chǎng)強(qiáng)度增大，電勢(shì)降低

圖8

解析：圓環(huán)圓心O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零，在其軸線上O點(diǎn)左側(cè)電場(chǎng)方向沿x軸負(fù)方向，O點(diǎn)右側(cè)電場(chǎng)方向沿x軸正方向．所以從O點(diǎn)沿x軸正方向電勢(shì)降低，O點(diǎn)電勢(shì)最高．從O點(diǎn)沿x軸正方向場(chǎng)強(qiáng)先增大后減?。蔬x項(xiàng)B正確．

【例5】(2015屆鹽城市高三期中考試)如圖9所示，帶正電的金屬圓環(huán)豎直放置，AB是軸線上相對(duì)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)．某時(shí)刻一個(gè)電子從A沿軸線向右運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，此過(guò)程中電子運(yùn)動(dòng)的v-t圖像可能是圖10的哪一幅

圖9

圖10

解析：帶正電的圓環(huán)軸線上電場(chǎng)方向從圓心O沿軸線向外，電子在圓環(huán)的左側(cè)所受電場(chǎng)力向右，電子做加速運(yùn)動(dòng)；電子在圓環(huán)的右側(cè)所受電場(chǎng)力向左，電子做減速運(yùn)動(dòng)．從圓心O向外場(chǎng)強(qiáng)先變大后變小，若最大值在A點(diǎn)右側(cè)則電子從A向O運(yùn)動(dòng)的加速度先增大后減小，故選項(xiàng)A正確．若最大值在A點(diǎn)的左側(cè)則電子從A向O運(yùn)動(dòng)的加速度一直減小．若在A點(diǎn)時(shí)速度為零則選項(xiàng)B正確；若在A點(diǎn)速度不為零則選項(xiàng)C正確．

參 考 文 獻(xiàn)

1人民教育出版社．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·物理(選修3-1)(第3版)．北京：人民教育出版社，2010.13

2趙凱華,陳熙謀．新概念物理教程·電磁學(xué)(第二版)．北京：高等教育出版社，2006.11

3程守洙，江之永．普通物理學(xué)·第二冊(cè)(第五版)．北京：高等教育出版社，1998.29

4梁燦彬，秦光戎，梁竹?。胀ㄎ锢韺W(xué)教程·電磁學(xué)(第二版)．北京：高等教育出版社，2004.26