凸函數(shù)在初等不等式中的應用

凸函數(shù)在初等不等式中的應用

文/磨雪梅

摘要：凸性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)。對函數(shù)凸性的研究, 特別是在不等式的推導方面很有用處。近年來在高考命題的邊緣也涉及了凸函數(shù)的一些初步理論。

關鍵詞：凸函數(shù);應用;不等式

中圖分類號:G613.6文獻標志碼：A

1. 引言

凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它在許多相關學科里都有著重要的應用。對函數(shù)凸性的研究,特別是在函數(shù)圖形的描繪和不等式的推導方面,凸函數(shù)起著十分重要的作用，在高考命題的邊緣也涉及了凸函數(shù)的一些初步理論。本文主要介紹了凸函數(shù)的定義,接著根據(jù)定義引出了著名的琴生不等式,運用凸函數(shù)在初等不等式的證明方面列舉了一些例子如一般的算術不等式、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式等來說明在其中的應用，包括列舉了個別高考題利用凸函數(shù)來解是相當簡便的。

2. (1) 凸函數(shù)的定義

(2) 關于凸函數(shù)的一個重要不等式——Jensen 不等式

凸函數(shù)的推廣(Jensen 不等式) (J·L·W·V·Jensen丹麥數(shù)學家，1859～1925年)，利用它可以解決許多最值問題且比較方便。下面給出它的內(nèi)容。

Jensen 不等式是凸函數(shù)的一個重要性質(zhì),因為每個凸函數(shù)都有一個Jensen 不等式,因而它在一些不等式證明中有著廣泛的應用，下面我們會舉例來說明這一點。

3. 凸函數(shù)在初等不等式證明中的應用

例1(94全國文科高考題)

凸函數(shù)的概念及性質(zhì)定理是中學數(shù)學的邊緣知識，因此，探討和總結(jié)凸函數(shù)的性質(zhì)及應用，對于深刻理解和牢固掌握函數(shù)的概念和性質(zhì)，培養(yǎng)學生抽象思維和創(chuàng)新意識具有重要作用。

類似的不等式還有:A,B,C是三角形的三個內(nèi)角,則有:

用凸函數(shù)來解決不等式問題時,關鍵是找到相關的凸函數(shù),大多數(shù)情況下是容易找的,但是有的情況需要進行變換或變形,如例2。

4.結(jié)束語

可以看出,凸函數(shù)在推導初等不等式方面是十分有用的，本文簡潔、清晰地揭示了凸函數(shù)的內(nèi)涵與外延。介紹了應用廣泛的琴生不等式和應用，文章結(jié)尾通過利用凸函數(shù)來解決一些實際問題,即證明了若干初等不等式,使解題方便快捷。借此說明了凸函數(shù)在不等式證明中的作用和研究凸函數(shù)的重要性,使本文的探討具有一定的意義。

(作者單位：廣西南寧市新陽西路學校)

參考文獻：

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[4]陳秋華.也談利用凸函數(shù)證明初等不等式.高等數(shù)學研究.西北工業(yè)大學出版社.2006.9.P40-P42 .