基于延時隨機子空間方法的非白噪聲環(huán)境激勵結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別

第一作者胡異丁男，講師，1974年生

基于延時隨機子空間方法的非白噪聲環(huán)境激勵結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別

胡異丁1，李丹2，任偉新3，李子兵4

(1.五邑大學信息工程學院，廣東江門529020； 2. 新加坡國立大學土木與環(huán)境工程學院，新加坡117576；3.合肥工業(yè)大學土木與水利工程學院，合肥230009；4.安徽省高速公路試驗檢測科研中心，合肥230601)

摘要：為了消除非白噪聲環(huán)境激勵在結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果中產(chǎn)生的虛假模態(tài)，引入擴展狀態(tài)模型，從狀態(tài)空間方程的角度論證了虛假模態(tài)產(chǎn)生的原因；然后，針對一類具有典型性和代表性的(自相關(guān)函數(shù)在縱坐標軸附近一定范圍內(nèi)有非零值的)非白噪聲環(huán)境激勵信號，在傳統(tǒng)隨機子空間算法的基礎(chǔ)上引入延時指標，建立延時隨機子空間方法。數(shù)值算例表明延時隨機子空間方法能夠有效地剔除非白噪聲環(huán)境激勵在模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果中產(chǎn)生的虛假模態(tài)，放寬了傳統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別方法對環(huán)境輸入的白噪聲假設(shè)。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別；非白噪聲環(huán)境激勵；隨機子空間方法；延時指標

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51078357)

收稿日期：2014-01-08修改稿收到日期：2014-04-24

中圖分類號:TB123; TN911.6文獻標志碼：A

Modal parameter identification of structures under non-white noise ambient excitations using delay-index-based stochastic subspace method

HUYi-ding1,LIDan2,RENWei-xin3,LIZi-bing4(1. School of Information Engineering, Wuyi University, Jiangmen 529020, China;2. National University of Singapore, Department of Civil and Environmental Engineering, Singapore 117576;3. School of Civil Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China;4. Anhui Expressway Engineering Test and Research Center, Hefei 230601, China)

Abstract:In order to eliminate spurious modes caused by non-white noise ambient inputs, an augmented state space model was introduced to explain how the spurious modes arise in the modal parameter identification of structures. For a kind of typical non-white ambient excitations, whose autocorrelation function values are nonzeroes near the vertical axis, the delay-index-based stochastic subspace method was proposed by introducing a delay index in the traditional stochastic subspace method. Numerical examples showed that this improved method can eliminate spurious modes due to non-white noise inputs the white noise assumption of ambient excitations in the traditional modal analysis methods.

Key words:structural modal parameter identification; non-white noise ambient excitations; stochastic subspace method; delay index

環(huán)境激勵結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法[1-2]利用車輛、行人、風等日常工作荷載作為系統(tǒng)的輸入，僅根據(jù)結(jié)構(gòu)的響應完成模態(tài)參數(shù)識別。其中，頻域類包括峰值拾取法(Peak Picking Technique, PP)[3]，頻域分解法(Frequency Domain Decomposition, FDD)[4]，Polymax法[5]等；時域類包括ARMA自回歸滑動平均模型法[6]，NExT(National Excitation Technique)[7]，隨機子空間方法(Stochastic Subspace Identification，SSI)[8-12]等。這些方法都假定未知的環(huán)境輸入為平穩(wěn)白噪聲隨機過程，而實際的自然環(huán)境激勵可能包含一些由交通、陣風甚至地震波等引起的頻率成分，表現(xiàn)出明顯的非平穩(wěn)、非白噪聲特性[13-16]。這些非白成分可能使識別結(jié)果產(chǎn)生虛假模態(tài)和計算誤差，特別是當虛假模態(tài)與結(jié)構(gòu)模態(tài)所處的頻段相近時，很難被現(xiàn)有的方法剔除。

Lisowski等[17-20]針對環(huán)境輸入中可能存在的周期成分，提出了幾種判斷虛假模態(tài)的方法：阻尼比為零，振型簡單，功率譜密度矩陣的最大奇異值個數(shù)不唯一等。而Mohanty等[21]指出實驗測試中周期成分的阻尼值無法被忽略，單純?yōu)V波還可能會干擾結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的識別。Yu等[22]提出基于經(jīng)驗模式分解(EMD)的隨機子空間方法，過濾由噪音引起的虛假模態(tài)。Goursat等[23]建議對不同時間窗里的采集數(shù)據(jù)分別進行模態(tài)參數(shù)識別，然后通過比較判斷穩(wěn)定的識別結(jié)果即為結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。Saeed等[24]采用不同的采樣頻率分別進行參數(shù)識別，然后比較不同識別結(jié)果的穩(wěn)定圖。由于未知環(huán)境輸入具有隨機性和復雜性，且存在的非白干擾并不一定是穩(wěn)定的周期成分，有效地去除由非白噪聲環(huán)境激勵引起的虛假模態(tài)仍需進一步研究。

本文首先從狀態(tài)空間方程的角度論證了非白噪聲環(huán)境輸入對結(jié)構(gòu)振動響應和參數(shù)識別結(jié)果的影響，即混淆在結(jié)構(gòu)固有模態(tài)中的虛假模態(tài)。然后針對自相關(guān)函數(shù)在縱軸附近區(qū)域非零的一類非白噪聲環(huán)境激勵，提出延時隨機子空間方法，并討論了延時指標的選取規(guī)則。最后，數(shù)值算例表明延時隨機子空間方法可以有效消除由非白噪聲環(huán)境輸入所引起的虛假模態(tài)，放寬了一般環(huán)境激勵結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法對環(huán)境輸入的白噪聲假設(shè)。

1擴展狀態(tài)空間模型

狀態(tài)空間模型是系統(tǒng)參數(shù)識別中一種重要的時域參數(shù)模型，隨機子空間方法以狀態(tài)空間方程為基礎(chǔ)，假定環(huán)境輸入為白噪聲，進而完成僅基于系統(tǒng)輸出的模態(tài)參數(shù)的識別過程。

實際的環(huán)境激勵可能包含一些顯著的頻率成分，導致其頻譜不是一條直線。這樣的非白噪聲序列可以認為是由白噪聲通過一線性時不變的動力系統(tǒng)得到的。對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言，這個線性時不變系統(tǒng)相當于一個預處理濾波器[13, 25-27]。結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和預處理濾波器的狀態(tài)空間方程共同構(gòu)成擴展狀態(tài)空間模型(Augmented State Space Model)，分別如式(1)~(3)和圖1所示。

(1)

(2)

(3)

圖1　擴展狀態(tài)空間模型 Fig.1 Block diagram of the augmented stochastic system

(4a)

(4b)

(5a)

(5b)

2延時隨機子空間方法

傳統(tǒng)的隨機子空間方法[8-12]需要利用白噪聲輸入的統(tǒng)計特性進行公式推導和計算，最終實現(xiàn)僅有輸出情況下的系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別。對于實際的土木工程結(jié)構(gòu)，其環(huán)境激勵受到多種復雜因素的影響，通常是非白噪聲序列，并不滿足白噪聲的統(tǒng)計特性。為了能夠?qū)で蟾訙蚀_的理論支持，需要放寬對輸入的白噪聲假設(shè)，研究非白噪聲乃至非平穩(wěn)輸入下狀態(tài)空間模型的性質(zhì)，對傳統(tǒng)的環(huán)境激勵結(jié)構(gòu)參數(shù)識別方法進行改進。

本文針對平穩(wěn)非白噪聲激勵的情況，引入延時指標，提出基于延時的隨機子空間方法，自動消除傳統(tǒng)方法識別結(jié)果中由環(huán)境激勵的非白成分引起的虛假模態(tài)，從而放寬傳統(tǒng)隨機子空間模態(tài)參數(shù)識別方法對環(huán)境激勵的白噪聲假設(shè)。

2.1　白噪聲假設(shè)在SSI推導中的作用

隨機子空間方法中，輸出協(xié)方差矩陣和狀態(tài)矩陣的關(guān)系式[14]為

Ri=CAi-1G(i=1,2,3…)

(6)

式中，G為下一狀態(tài)與輸出的協(xié)方差矩陣。該式建立了系統(tǒng)響應數(shù)據(jù)與其自身動力特性的關(guān)系，是模態(tài)參數(shù)識別的核心。然而，該式的推導必須依靠對輸入的白噪聲假設(shè)。將響應的自相關(guān)函數(shù)展開：

R1=E[yk+1yTk]=CG+E[vk+1xTk]CT+E[vk+1vTk](7)

R2=E[yk+2yTk]=CAG+CE[wk+1xTk]CT+

E[vk+2xTk]CT+CE[wk+1vTk]+E[vk+2vTk]

(8)

……

Ri=E[yk+iyTk]=

CAi-1G+CAi-2E[wk+1xTk]CT+…+

CAE[wk+i-2xTk]CT+CE[wk+i-1xTk]CT+

E[vk+ixTk]CT+CAi-2E[wk+1vTk]+…+

CAE[wk+i-2vTk]CT+CE[wk+i-1vTk]+E[vk+ivTk]

(9)

由于噪聲項wk、vk和結(jié)構(gòu)狀態(tài)向量xk互不相關(guān)，E[vk+1xTk]、E[wk+1xTk]、E[wk+1vTk]等分項均等于零，則E[vk+ivTk]=0(i=1,2,3,…)成為整個推導過程成立的關(guān)鍵。只有wk和vk為白噪聲，E[vk+1vTk]、E[vk+2vTk]、E[vk+3vTk]才會為零。因而，可以從輸出的協(xié)方差Ri=E[yk+iyTk]入手，研究非白噪聲輸入下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的識別。

由于非白噪聲環(huán)境輸入非常復雜，不可能包含所有的形式，本文從一種形式簡單但具有普遍性和代表性的非白噪聲模式出發(fā)，考慮自相關(guān)函數(shù)僅在縱坐標軸附近一定范圍內(nèi)有非零值的環(huán)境輸入信號，結(jié)合隨機子空間算法，研究這種非白噪聲激勵下的模態(tài)參數(shù)識別過程。

2.2　基于延時的隨機子空間算法

由于噪聲項wk和vk均值為零，自相關(guān)函數(shù)φvv(τ)=E[vk+τvTk]，也即協(xié)方差函數(shù)。對于一類自相關(guān)函數(shù)在縱坐標軸附近[-x,x]范圍內(nèi)有非零值的wk和vk，協(xié)方差Ri(i=0,1,…,x)將不滿足遞推式(6)。因此，引入延時指標x，即考慮延時為x個單位時間間隔，遞推將從第x+1項開始應用。這樣所形成的Hankel矩陣中，所有元素都滿足遞推式，非白噪聲輸入的影響被消除，最終得到的模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果將不包含由非白噪聲環(huán)境激勵引起的虛假模態(tài)。

為了配合該Hankel矩陣，需要調(diào)整隨機子空間算法后續(xù)的推導。以協(xié)方差驅(qū)動隨機子空間算法為例，首先改變的是Hankel矩陣的構(gòu)造：

(10)

由式(10)計算得到的Toeplitz矩陣將不包含R0,R1,…,Rx，如式(11)所示。對該Toeplitz矩陣進行分解：

(11)

(12)

13)

對比式(11)和(13)，可以得到：

(14)

C=Oi(1∶l,∶)

(15)

(16)

由式(12)和(17)可得系統(tǒng)狀態(tài)矩陣：

(17)

對狀態(tài)矩陣A進行特征值分解，

A=ΨΛΨ-1

(18)

式中，Λ=diag[μi]∈Cn×n是由離散時間復特征值μi組成的對角陣，Ψ∈Cn×n是以特征向量為列向量的矩陣。而相應實際結(jié)構(gòu)的連續(xù)時間狀態(tài)矩陣的特征值可由式(19)計算得到，特征向量仍為Ψ。

(19)

最終結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率ωi，阻尼比ξi和振型V∈Cl×n分別為：

(i=1,2,3,…,2N),V=CΨ

(20)

參考文獻類似地，延時思想也能夠用在時間驅(qū)動隨機子空間方法中，具體可[12]。

2.3　延時指標的選取

由以上算法可知，改進的隨機子空間方法中延時指標x即為輸入的自相關(guān)函數(shù)中不為零的長度。實際工程中環(huán)境激勵是未知的，無法具體確定延時指標的大小，因而可以采用與穩(wěn)定圖方法類似的思想，從小到大設(shè)置多個延時指標x1,x2,…,xN，然后采用選取的每一個延時指標進行延時隨機子空間方法計算，并將N次識別結(jié)果進行比較，最終獲得合適的延時指標和準確的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。

3數(shù)值算例

圖2　數(shù)值模擬三層框架 Fig.2 Simulated three-storey frame

一個三層框架結(jié)構(gòu)可以被視為具有三個自由度的系統(tǒng)，如圖2所示。結(jié)構(gòu)阻尼采用Rayleigh阻尼，模擬環(huán)境激勵從地基輸入，

每層樓板的水平加速度可通過數(shù)值積分方法求得。然后利用得到的加速度響應進行系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的識別。采樣頻率為200 Hz，采樣時間為100 s，分別采用傳統(tǒng)峰值法，傳統(tǒng)隨機子空間方法，和延時隨機子空間方法識別，并對比三種方法的識別結(jié)果。

(1)工況一：白噪聲激勵，如圖3所示，作為理論分析的基準。白噪聲輸入時，延時指標x=0，圖4為隨機子空間方法所識別的穩(wěn)定圖。

圖3　工況一：白噪聲輸入 Fig.3 Case 1: white noise input

圖4　工況一：隨機子空間識別結(jié)果 Fig.4 Case 1: identified stability diagram

圖5 工況二:非白噪聲輸入Fig.5Case2:non-whitenoiseinput圖6 工況二:識別結(jié)果Fig.6Case2:identifiedstabilitydiagrams(a)traditionalSSImethod(b)imporvedSSImethodbasedondelayindex

(2)工況二：白噪聲加一段5 s的10 Hz正弦波構(gòu)成的激勵，如圖5所示。圖6(a)和(b)分別為傳統(tǒng)隨機子空間方法和延時隨機子空間方法所識別的穩(wěn)定圖，其中延時指標x=2 000。結(jié)果表明，虛假模態(tài)頻率10 Hz在延時隨機子空間方法的結(jié)果中不能形成穩(wěn)定軸。

(3)工況三：白噪聲加一段5 s的含有10 Hz和18 Hz正弦波構(gòu)成激勵，如圖7所示。圖8(a)和(b)分別為傳統(tǒng)隨機子空間方法和延時隨機子空間方法所識別的穩(wěn)定圖，其中延時指標x=2 000。結(jié)果表明，虛假模態(tài)頻率10 Hz和18 Hz在延時隨機子空間方法的結(jié)果中均不能形成穩(wěn)定軸。

上述計算過程中，延時指標都是經(jīng)過試算確定的。假設(shè)輸入未知，分別設(shè)置x1=0，x2=1 000，x3=2 000，x4=3 000，x5=5 000五個延時指標，通過比較相應的計算結(jié)果，確定識別結(jié)果達到穩(wěn)定的最小延時長度為最終的延時指標。

表1匯總了峰值法，傳統(tǒng)隨機子空間方法，和延時隨機子空間方法在三種工況下的識別結(jié)果。峰值法和傳統(tǒng)隨機子空間方法的識別結(jié)果中都包含有非白噪聲輸入引起的虛假模態(tài)，而改進后的延時隨機子空間方法能夠有效地剔除這些虛假模態(tài)。

圖7 工況三:非白噪聲輸入Fig.7Case3:non-whitenoiseinput圖8 工況三:識別結(jié)果Fig.8Case3:identifiedstabilitydiagrams(a)traditionalSSImethod(b)imporvedSSImethodbasedondelayindexindex

表1　識別頻率結(jié)果匯總(單位：Hz)

4結(jié)論

本文引入擴展狀態(tài)模型，從狀態(tài)空間方程的角度論證了非白噪聲環(huán)境激勵引起虛假模態(tài)的過程。然后，針對一類具有典型性和代表性的(自相關(guān)函數(shù)在縱坐標軸附近一定范圍內(nèi)有非零值的)非白噪聲環(huán)境激勵信號，在傳統(tǒng)隨機子空間算法的基礎(chǔ)上，引入延時指標x，建立延時隨機子空間方法，消除環(huán)境激勵中的非白成分造成的虛假模態(tài)，使得識別結(jié)果更加精確。最后，數(shù)值算例通過對峰值法，傳統(tǒng)隨機子空間方法和延時隨機子空間方法的比較，表明延時隨機子空間方法能夠有效地剔除非白噪聲環(huán)境激勵在模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果中產(chǎn)生的虛假模態(tài)，放寬了傳統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別方法對環(huán)境輸入的白噪聲假設(shè)，對工程應用有一定的指導意義。

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