基于最優(yōu)復 Morlet 小波的結構密集模態(tài)參數(shù)識別

基于最優(yōu)復Morlet小波的結構密集模態(tài)參數(shù)識別

杜永峰1,2，趙麗潔1，黨星海1,李萬潤1

(1. 蘭州理工大學甘肅省土木工程防災減災重點實驗室，蘭州730050；2. 西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，蘭州730050)

摘要：針對結構密集模態(tài)參數(shù)識別精度不高的問題，提出了一種小波Shannon熵與最小標準差相結合來優(yōu)化復Morlet小波參數(shù)的方法。首先理論推導了中心頻率與帶寬參數(shù)的取值范圍，其次采用兩個最小原則對中心頻率與帶寬參數(shù)同時進行優(yōu)化，通過仿真算例和模型實驗的參數(shù)識別，驗證了參數(shù)優(yōu)化后的Morlet小波可準確地識別結構的密集模態(tài)參數(shù)，并且具有一定的抗噪性能。

關鍵詞：小波變換; 參數(shù)優(yōu)化; 密集模態(tài); 參數(shù)識別

中圖分類號:TU12；TU311. 3文獻標志碼：A

收稿日期：2013-11-29修改稿收到日期：2014-01-02

收稿日期：2013-09-03修改稿收到日期：2013-12-24

IdentificationofstructuralcloselyspacedmodesparametersbasedonoptimizedcomplexMorletwavelet

DU Yong-feng1,2, ZHAO Li-jie1,DANGXing-hai1,LIWan-run1(1.KeyLaboratoryofDisasterPreventionandMitigationinCivilEngineeringofGansuProvince，LanzhouUniversityofTechnology，Lanzhou730050,China; 2.WesternEngineeringResearchCenterofDisasterMitigationinCivilEngineeringofMinistryofEducation，Lanzhou730050,China)

Abstract:A method for identification of structural closely spaced modes parameters was presented. A new optimization method concerning the optimization of parameters of center frequency and bandwidth of complex Morlet wavelet was proposed, which combines the techniques of wavelet Shannon entropy and minimum standard deviation. The ranges of the center frequency and bandwidth parameters were derived theoretically and the center frequency and bandwidth parameters were optimized by two minimum criteria simultaneously. The accuracy and anti-noise performance of the optimization method were verified through numerical simulations and model tests.

Keywords:wavelettransform;parameteroptimization;closelyspacedmodes;parameteridentification

結構模態(tài)參數(shù)識別是結構動力特性分析、結構健康監(jiān)測及有限元模型修正的重要手段[1]。在眾多結構模態(tài)參數(shù)識別方法的研究中，處理非平穩(wěn)結構振動信號領域有獨特的優(yōu)勢的小波變換和HHT兩種方法受到極大關注。近年來，小波變換被廣泛應用于結構模態(tài)參數(shù)識別領域[2-4]。然而對于具有低頻密集模態(tài)的土木工程結構參數(shù)識別，存在受噪聲干擾嚴重和邊端效應的影響識別精度不高的問題，國內外學者為此展開了一系列研究[5-8]，目前主要從以下幾個方面來解決：小波變換與其他方法相結合；對小波脊線提取算法的研究以及對Morlet小波中的參數(shù)的優(yōu)化等。其中對于Morlet小波參數(shù)優(yōu)化問題，密集模態(tài)參數(shù)識別中小波中心頻率和帶寬的選擇對參數(shù)識別精度有著十分重要的影響。然而大部分學者僅將中心頻率或帶寬其中一個參數(shù)進行優(yōu)化研究，很少有人同時進行優(yōu)化。本文在以上研究基礎上，根據(jù)中心頻率和帶寬參數(shù)的取值范圍，提出了采用最小Shannon熵原則與最小標準差相結合的方法，更加全面且嚴格地控制了參數(shù)的選擇，同時確定最優(yōu)的中心頻率和帶寬參數(shù)。仿真算例與模型實驗驗證此方法的正確性與有效性，為識別密集模態(tài)時Morlet小波參數(shù)的選取提供了參考。

1基于小波變換的結構模態(tài)參數(shù)識別

1.1復Morlet小波及其時頻分辨率

由于復Morlet小波是左右兩邊都按指數(shù)衰減的余弦信號[9]，能夠與用于結構模態(tài)參數(shù)識別的自由衰減信號實現(xiàn)較好的匹配。因此復Morlet小波是模態(tài)參數(shù)識別中廣泛應用的小波。

復Morlet小波是高斯包絡下的復指數(shù)函數(shù)，其解析表達式為：

(1)

其頻域表示為：

φ(ω)=e-π2fb(ω0-fc)2

(2)

式中:fc為中心頻率，fb是帶寬參數(shù)，由式(1)、(2)可知，Morlet小波在時域中為振蕩衰減信號，而在頻域中具有高斯窗函數(shù)的外形。中心頻率fc決定了小波波形的振蕩頻率，帶寬參數(shù)fb決定了波形振蕩衰減的快慢程度。

Morlet小波的時頻分辨率[10]分別為：

(3)

(4)

上述公式表明，通過調整參數(shù)fc，fb可以獲得合適的時間及頻率分辨率。不同類型的信號具有不同的時頻分辨率,理論證明了參數(shù)fc、fb的選擇對識別精度的重要性。

1.2參數(shù)識別原理

考慮線性多自由度體系，其自由振動信號的解析形式可以表示為：

(5)

(6)

通過選取一個固定的尺度參數(shù)的值a=ai，且fc足夠大時，使得

(7)

與尺度參數(shù)ai相聯(lián)系的第i階模態(tài)的小波變換系數(shù)幅值要比其他(n-1)階模態(tài)的變換系數(shù)幅值要大的多時，相鄰的兩階模態(tài)才可以解耦。實質上，小波變換在頻域內相當于一組帶通濾波器，實現(xiàn)了多自由度系統(tǒng)的模態(tài)解耦[11]。

(8)

lnBi(t)=-2πζifit+

(9)

(10)

對土木工程結構這種多自由度系統(tǒng)十分適用，只要知道結構上一點的振動時程曲線就可以得到結構的模態(tài)頻率和阻尼。

2復Morlet小波參數(shù)優(yōu)化

2.1Morlet小波參數(shù)取值

對于結構低頻密集模態(tài)識別而言，如果兩個模態(tài)的固有頻率很接近，而且各自的阻尼比也較大，則在頻域內體現(xiàn)為兩個峰值相互疊加，進而影響多模態(tài)參數(shù)識別的精度。文獻[8]給出了關于稀疏模態(tài)和密集模態(tài)的量化指標——相鄰模態(tài)頻率之比ωr，對于土木工程結構ωr>1.12時為稀疏模態(tài)，ωr≤1.12時為密集模態(tài)。為了能夠準確識別相鄰模態(tài)參數(shù)，相鄰兩階模態(tài)間隔應大于頻率分辨率即Δfi,i+1>dfi，由公式(3)可得

(11)

式中，α是一個定義參數(shù)，表示相鄰復Morlet小波高斯窗所允許的重疊程度。α越大,重疊程度越小, 分離密集模態(tài)的能力越強。對于傳統(tǒng)Morlet小波，當α=2,3時能夠有效的分離兩個相鄰頻率分量[5]

那么，長度為T的信號進行小波變換的有用區(qū)域為：

ΔTi≤ti≤T-ΔTi

(12)

(13)

式中:γ是一個小于0.4的經驗參數(shù)，它顯示至少20%的信號能夠保留用于進一步分析[10]。由式(11)、(13)得

(14)

2.2最小shannon熵原則與最小標準差原則

采用復Morlet小波對振動信號進行分析，往往希望能夠突出特征頻率成分而抑制無關成分。這就要求選擇的小波參數(shù)fc、fb會使小波變換后的特征頻率成分在時間尺度相平面上某處形成為高幅值的能量塊，而與小波基不相似信號能量則發(fā)散到時間尺度平面上，即與信號的特征頻率成分具有最大的相似性。

Shannon熵是一種很好的采用“稀疏性”來評價相似性標準[12]。小波Shannon熵即把小波變換的系數(shù)處理成一個概率分布序列pi，由它計算而得的熵值就反映了這個小波系數(shù)矩陣的稀疏性程度。當小波Shannon熵最小時所對應的母小波就是與特征成分最匹配的小波。小波Shannon熵計算表達式為：

(15)

當小波Shannon熵最小時，minE(fb,fc)對應的復Morlet小波就是與特征頻率成分最匹配，此時對應的參數(shù)fc，fb即為最優(yōu)參數(shù)。

(16)

3數(shù)值仿真

圖1　模擬密集模態(tài)振動響應信時程號及其頻譜 Fig.1 Simulated vibration time history and spectrum with closely spaced modes

圖2　小波熵值E與f c、f b關系 Fig. 2 Rrelationship between wavelet entropy E and f c、f b

圖3　小波熵值E、標準差、f c關系 Fig.3 Relationship between wavelet entropy Standard deviation and f c

采用cmor21-2小波對振動信號進行小波變換其小波譜和信號模態(tài)分離如圖4、圖5所示，識別結果如表1所示。

如圖6所示，采用本文方法確定最優(yōu)的Morlet進行模態(tài)參數(shù)識別，獲得各階模態(tài)小波瞬時幅值和瞬時相位曲線及擬合值。

圖4　參數(shù)優(yōu)化后的小波變換時頻譜 Fig.4 Parameter optimization wavelet transform time-frequency spectrum

圖5　模擬信號小波變換3階模態(tài)分離 Fig.5 Three modes separation of analog signal wavelet transform

表1、表2給出傳統(tǒng)小波(cmor2-1)、參數(shù)優(yōu)化后的小波(cmor21-2)、隨機子空間法(SSI)參數(shù)識別情況。

圖6　各階模態(tài)瞬時幅值和瞬時相位及擬合值 Fig. 6 The instantaneous amplitude、 phase and fitted value of each mode

將這三種方法的識別結果分別與理論值進行比較，不難發(fā)現(xiàn)采用cmor21-2小波識別的結果比其它兩種方法的識別效果要好。cmor2-1小波識別的第二階頻率的識別誤差在5%左右， 前兩階阻尼比的識別誤差在10%左右，這是因為1、2階頻率非常接近，cmor2-1小波沒有辦法做出準確的識別；采用SSI方法識別出來的頻率與理論值比較接近，但是仍然有近3%的誤差，而阻尼比的識別效果較差，其中第二階的識別誤差達到60%；采用cmor21-2小波對頻率和阻尼比的識別，均有較高的精度，誤差都控制在1%以內。

表1　傳統(tǒng)小波、優(yōu)化小波、 SSI模態(tài)頻率識別結果對比

表2　傳統(tǒng)小波、優(yōu)化小波、 SSI模態(tài)阻尼比識別結果對比

表3　不同信噪比下結構模態(tài)頻率、阻尼識別結果對比

圖7　五層框架模型 Fig.7 Five-story frame model

表3給出了采用優(yōu)化后的cmor21-2小波在不同信噪比時的識別值，表明具有很好的抗噪性能。

4實驗驗證

如圖7所示為五層框架結構模型，以白噪聲作為輸入激勵，采樣頻率fs=500Hz，采樣時間Ts=100s。采集到六個通道加速度信號(取中間50s)，利用自然激勵技術(NExT)，獲得與結構自由振動響應具有相同表達式的互相關函數(shù)。圖8為其中代表性的R56(t)(第5、6通道)的相關函數(shù)曲線。

圖8　R 56(t)相關函數(shù)時域波形 Fig.8 The waveform of correlation function R 56(t)

利用最小shannon熵與最小標準差原則計算出優(yōu)化參數(shù)對fc=2、fb=17，此時標準差取得最小值σ=0.256 4。利用復cmor17-2小波對相關函數(shù)響應信號小波變換，識別其頻率和阻尼比。

分別采用傳統(tǒng)的Morlet小波、優(yōu)化Morlet小波及隨機子空間法(SSI法)識別該鋼框架模型結構的模態(tài)參數(shù)，表4給出了相應的識別結果。對比優(yōu)化Morlet小波和傳統(tǒng)Morlet小波的識別結果，可以發(fā)現(xiàn)這兩種方法識別出來的第1、4階頻率以及前4階阻尼比存在較大差距；對比優(yōu)化Morlet小波及隨機子空間法(SSI法)的識別結果，可以發(fā)現(xiàn)兩者識別出來的頻率比較接近，但是對阻尼比的識別，相差較大。上述結果與數(shù)值模擬得出的結論基本一致。整體上看，該試驗驗證了優(yōu)化Morlet小波的可行性，具有一定的實際意義和參考價值。

表4　頻率、阻尼比識別結果對比

5結論

本文在目前廣泛采用Morlet小波對結構模態(tài)參數(shù)識別理論基礎上，針對土木工程結構低頻密集模態(tài)耦合及識別受噪聲干擾、邊端效應影響識別精度問題，對Morlet小波中心頻率與帶寬參數(shù)同時優(yōu)化，嚴格控制兩者的取值范圍，提出最小小波Shannon熵與最小標準差相結合的方法來確定Morlet最優(yōu)參數(shù)，數(shù)值仿真及模型試驗結果表明，該方法能有效識別密集模態(tài)，并且具有一定的抗噪性能。本文方法是對傳統(tǒng)Molert提高精度的一種途徑，從而為Morlet小波參數(shù)的選擇提供了一個新的參考，同時也是對于阻尼識別值準確性的一種很好的試探方法。

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第一作者余培汛男，博士，1986年2月生

第一作者梁峰男，博士，講師，1979年8月生