軸向運(yùn)動(dòng)層合薄壁圓柱殼內(nèi)共振的數(shù)值分析

軸向運(yùn)動(dòng)層合薄壁圓柱殼內(nèi)共振的數(shù)值分析

張宇飛1,3，王延慶2，聞邦椿3

(1. 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)航空航天工程學(xué)部, 沈陽(yáng)110136； 2.東北大學(xué)應(yīng)用力學(xué)研究所，沈陽(yáng)110819； 3.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng)110819)

摘要：以軸向運(yùn)動(dòng)復(fù)合材料薄壁圓柱殼為研究模型，考慮其彈性模量隨振動(dòng)頻率變化(動(dòng)態(tài)彈性模量)，據(jù)Donnell非線性扁殼理論及經(jīng)典層合殼理論獲得模型非線性振動(dòng)微分方程。采用含四個(gè)廣義模態(tài)坐標(biāo)的位移展開式，利用Galerkin方法對(duì)振動(dòng)微分方程離散化；用變步長(zhǎng)四階Runge-Kutta法對(duì)非線性模態(tài)方程組進(jìn)行數(shù)值積分，研究復(fù)合材料圓柱殼1:1:1:1的內(nèi)共振現(xiàn)象；討論圓柱殼軸向運(yùn)動(dòng)速度、阻尼系數(shù)及外激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)1:1:1:1內(nèi)共振響應(yīng)作用。

關(guān)鍵詞：復(fù)合材料圓柱殼；動(dòng)態(tài)彈性模量；內(nèi)共振；軸向運(yùn)動(dòng)；響應(yīng)

中圖分類號(hào):O322文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11072072,11502120)；河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究(152300410016)

收稿日期：2015-04-01修改稿收到日期：2015-05-26

Internal resonance of axially moving laminated thin cylindrical shells

ZHANGYu-fei1,3,WANGYan-qing2,WENBang-chun3(1. Faculty of Aerospace Engineering, Shenyang Aerospace University, Shenyang 110136, China；2. Institute of Applied Mechanics, Northeastern University, Shenyang 110819, China；3. School of Mechanical Engineering and Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Abstract:A thin composite circular cylindrical shell moving in axial direction was investigated. Based on the Donnell’s nonlinear shallow-shell theory, together with the classical laminated shell theory, a nonlinear vibration equation of the system was derived, in which the effects of dynamic Young’s modulus, damping and geometric large deformation were considered. The modal expansion with four generalized modal coordinates was adopted, and the vibration equation was discretized by using the Galerkin method. Applying variable step-size four-order Runge-Kutta method, the nonlinear modal equations of the system was solved, and the nonlinear frequency response curves, which show 1:1:1:1 internal resonance phenomenon in the system were obtained. The effects of moving speed, damping coefficients and amplitudes of external force on the nonlinear vibration response of the shell were also analysed.

Key words:composite circular cylindrical shell; dynamic Young’s modulus; internal resonance; axially moving; response

圓柱殼結(jié)構(gòu)廣泛用于土木、航空航天、海洋及機(jī)械、核工業(yè)、化學(xué)、汽車等工程領(lǐng)域。因此已有諸多針對(duì)其結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的研究[1-4]。

較傳統(tǒng)的金屬材料，復(fù)合材料具有比強(qiáng)度高、比模量大、化學(xué)及環(huán)境適應(yīng)性好等優(yōu)點(diǎn)。因此，復(fù)合材料圓柱殼的振動(dòng)分析頗受關(guān)注。Hua等[5]利用廣義微分求積法分析不同邊界條件下各向同性旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁圓柱殼的固有頻率。李健等[6]通過對(duì)復(fù)合材料圓柱殼的固有特性實(shí)驗(yàn)研究表明，復(fù)合材料圓柱殼的彈性模量隨殼體振動(dòng)頻率變化。王延慶等[7]基于多元L-P法分析復(fù)合材料圓柱殼的內(nèi)共振。Wang等[8]在Donnell非線性扁殼理論基礎(chǔ)上提出研究圓柱殼振動(dòng)問題的新理論模型。

此外，軸向運(yùn)動(dòng)體系亦廣泛用于工業(yè)領(lǐng)域，如軸向運(yùn)動(dòng)的纜繩、動(dòng)力傳輸帶、纜車弦索等。Wickert[9]采用KBM漸進(jìn)法研究軸向運(yùn)動(dòng)彈性梁的非線性振動(dòng)。Riedel等[10]利用Hamilton原理推導(dǎo)軸向運(yùn)動(dòng)梁的振動(dòng)微分方程，研究系統(tǒng)3:1內(nèi)共振。馮志華等[11]研究?jī)?nèi)共振條件下直線運(yùn)動(dòng)梁的動(dòng)力穩(wěn)定性。Chen等[12]用Galerkin離散法及平均法研究軸向加速黏彈性梁橫向振動(dòng)的穩(wěn)定性。張偉等[13]建立具有線性外阻尼的黏彈性傳動(dòng)帶平面運(yùn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)方程，利用多尺度法、離散法獲得黏彈性傳動(dòng)參數(shù)激勵(lì)下傳動(dòng)帶在內(nèi)共振時(shí)的周期解分岔及混沌動(dòng)力學(xué)。陳樹輝等[14]用多元L-P法分析軸向運(yùn)動(dòng)梁內(nèi)共振。Ding等[15]分析軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁的穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)。Yang等[16]研究軸向加速黏彈性梁橫向振動(dòng)的分岔與混沌。

由于圓柱殼具有軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，且周向波數(shù)n相同時(shí)驅(qū)動(dòng)模態(tài)與伴隨模態(tài)固有頻率亦相同，因而在非線性振動(dòng)中兩模態(tài)間會(huì)發(fā)生1:1內(nèi)共振。而圓柱殼具有高模態(tài)密度特性，不同軸向半波數(shù)模態(tài)間也會(huì)產(chǎn)生較復(fù)雜的內(nèi)共振。本文針對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)復(fù)合材料圓柱殼，考慮其彈性模量隨振動(dòng)頻率變化(動(dòng)態(tài)彈性模量)，據(jù)Donnell非線性扁殼理論及經(jīng)典層合殼理論，獲得模型的非線性振動(dòng)微分方程；采用含四個(gè)廣義模態(tài)變量的位移展開式，用變步長(zhǎng)四階Runge-Kutta法對(duì)系統(tǒng)非線性振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值分析，研究復(fù)合材料圓柱殼1∶1∶1∶1內(nèi)共振現(xiàn)象，并討論圓柱殼軸向運(yùn)動(dòng)速度、阻尼系數(shù)及外激勵(lì)幅值對(duì)其非線性振動(dòng)響應(yīng)影響。

1振動(dòng)微分方程

考慮兩端簡(jiǎn)支軸向運(yùn)動(dòng)復(fù)合材料薄壁圓柱殼模型見圖1，過x軸作一縱向截面，得圓柱殼截面分層見圖2。其中E18#為各向同性玻璃纖維布，USN1000為各向同性碳素布，中間粘層為環(huán)氧樹脂。

圖1　軸向運(yùn)動(dòng)復(fù)合材料薄壁圓柱殼示意圖 Fig.1 Model ofa composite circular cylindrical shell moving in the x-direction

圖2　復(fù)合材料圓柱殼截面幾何形狀 Fig.2 Geometry of a composite circular cylindrical shell

橫向振動(dòng)中考慮圓柱殼軸向速度，則復(fù)合材料薄壁圓柱殼動(dòng)平衡方程為

(1)

式中：F(t)為外激振力，表達(dá)式為

F(x,θ,t)=F0cos(ωt)δ(x-x0)δ(θ-θ0)

(2)

式中：x0=0.525 m，θ0=π/24為外激振力作用位置。

考慮復(fù)合材料的彈性模量隨振動(dòng)頻率變化，兩者關(guān)系為

(3)

各向同性層合殼第k層物理方程[17]為

(4)

式中：Kx，Kθ為中面彎曲撓曲率；Kxθ為中面扭曲率；Qij為折減剛度矩陣，其中各元素表達(dá)式為

(5)

據(jù)Donnell非線性扁殼理論，中面應(yīng)變與曲率表達(dá)式為

(6)

式中：Ek(ω)為第k層彈性模量；μk為第k層泊松比。

層合殼內(nèi)力表達(dá)式為

(7)

據(jù)式(1)～式(7)，得軸向運(yùn)動(dòng)復(fù)合材料薄壁圓柱殼非線性振動(dòng)微分方程為

(8)

式中：Function(w)為關(guān)于w的函數(shù)表達(dá)式，因其形式較復(fù)雜，限于篇幅，此處略去。

2Galerkin截?cái)?/p>

由文獻(xiàn)[2]知，軸向模態(tài)m對(duì)圓柱殼非線性振動(dòng)特性影響較大,考慮Donnell理論對(duì)n≥5較精確，因此選擇模態(tài)組合(m=1,2；n=6)分析圓柱殼的非線性動(dòng)力學(xué)行為。所用含四個(gè)模態(tài)變量的位移形式為

Bm,6(t)sin(6θ)]

(9)

振型函數(shù)為

(10)

定義加權(quán)函數(shù)為

(11)

〈Function(w),zs〉=

(12)

利用Galerkin法對(duì)方程(8)離散化，由式(12)獲得關(guān)于A1,6(t),B1,6(t),A2,6(t),B2,6(t)的二階非線性常微分方程組，即

(13)

式中：Si，Hi(i=1～15)為積分系數(shù)。

3數(shù)值分析及結(jié)果

f1=0.008 7,c=20 Ns/m3時(shí)系統(tǒng)內(nèi)共振頻率-響應(yīng)在不同軸向運(yùn)動(dòng)速度下的變化規(guī)律見圖4。由圖4看出，在不同速度下四階模態(tài)均被激勵(lì)，說明內(nèi)共振均能發(fā)生，且速度增加時(shí)四階模態(tài)振幅均增大，即速度增加對(duì)四階模態(tài)均為軟效應(yīng)。速度較大時(shí)范圍較窄的一段分支消失，各階模態(tài)解的分支均減少為2個(gè)。

(a)　(1,6)驅(qū)動(dòng)模態(tài) (b)　(1,6) 伴隨模態(tài) (c)　(2,6)驅(qū)動(dòng)模態(tài) (d)　(2,6)伴隨模態(tài) 圖3　各階模態(tài)幅頻特性曲線 Fig.3 Frequency-response curves for different modes

(a)　(1,6) 驅(qū)動(dòng)模態(tài) (b)　(1,6)伴隨模態(tài) (c)　(2,6)驅(qū)動(dòng)模態(tài) (d)　(2,6)伴隨模態(tài) 圖4　不同軸向運(yùn)動(dòng)速度下幅頻特性曲線 Fig.4 Frequency-response curves for different moving speeds

f1=0.008 7,V=2 m/s時(shí)不同阻尼系數(shù)驅(qū)動(dòng)模態(tài)的幅頻特性曲線見圖5。由圖5看出，阻尼系數(shù)增大， (1,6) 驅(qū)動(dòng)模態(tài)的振動(dòng)響應(yīng)逐漸減小，且共振區(qū)間亦逐步縮小。與此相反，(2,6) 驅(qū)動(dòng)模態(tài)振動(dòng)響應(yīng)則逐漸增加，說明阻尼系數(shù)對(duì)兩階驅(qū)動(dòng)模態(tài)有不同的定量影響。

c=20 Ns/m3,V=2 m/s時(shí)不同激振力幅值下系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)模態(tài)的幅頻特性曲線見圖6。由圖6看出，激振力幅值增大(1,6)的驅(qū)動(dòng)模態(tài)非線性振動(dòng)響應(yīng)增大，且硬彈簧特性增強(qiáng)，內(nèi)共振區(qū)間擴(kuò)大，兩模態(tài)間耦合作用逐漸強(qiáng)烈；(2,6)的驅(qū)動(dòng)模態(tài)非線性振動(dòng)響應(yīng)宏觀呈增大趨勢(shì)，激振力幅值取較小數(shù)值f1=0.001 31時(shí)，有個(gè)分支的幅值增長(zhǎng)較快，甚至超過較大激振力時(shí)的幅值，但共振區(qū)間已變小，兩模態(tài)間耦合已不像激振力幅值較大時(shí)顯著。

(a) (1,6)驅(qū)動(dòng)模態(tài)(b) (2,6)驅(qū)動(dòng)模態(tài)(a) (1,6)驅(qū)動(dòng)模態(tài)(b) (2,6)驅(qū)動(dòng)模態(tài)圖5 不同阻尼系數(shù)時(shí)幅頻特性曲線Fig.5Frequency-responsecurvesfordifferentdampingcoefficients圖6 不同激勵(lì)幅值時(shí)幅頻特性曲線Fig.6Frequency-responsecurvesfordifferentamplitudesofforce

4結(jié)論

考慮復(fù)合材料圓柱殼的彈性模量隨振動(dòng)頻率變化(動(dòng)態(tài)彈性模量)，據(jù)Donnell非線性扁殼理論及經(jīng)典層合殼理論推導(dǎo)該圓柱殼軸向運(yùn)動(dòng)非線性振動(dòng)方程，并用數(shù)值方法分析該系統(tǒng)非線性振動(dòng)響應(yīng)，結(jié)論如下：

(1)在(1,6)頻率附近，模態(tài)A1,6(t)，B1,6(t)，A2,6(t)，B2,6(t)均被激發(fā)，且響應(yīng)均不為零，幅頻特性曲線呈多條解分支，驅(qū)動(dòng)模態(tài)A1,6(t)與A2,6(t)分別與伴隨模態(tài)B1,6(t)及B2,6(t)產(chǎn)生跳躍位置相同,可判斷系統(tǒng)產(chǎn)生1∶1∶1∶1內(nèi)共振。

(2)對(duì)于本文復(fù)合材料圓柱殼，內(nèi)共振在不同軸向速度下均會(huì)發(fā)生。且當(dāng)速度增加時(shí)四階模態(tài)振幅均增大，說明均為軟效應(yīng)。速度較大時(shí)范圍較窄的一段分支消失，各階模態(tài)解的分支均減少為2個(gè)。

(3)阻尼系數(shù)增大使(1,6)驅(qū)動(dòng)模態(tài)振動(dòng)響應(yīng)逐漸減小，且共振區(qū)間縮小。而(2,6)的驅(qū)動(dòng)模態(tài)振動(dòng)響應(yīng)則逐漸增加，說明阻尼系數(shù)對(duì)兩階驅(qū)動(dòng)模態(tài)定量影響不同。

(4)激振力幅值增大使(1,6)、(2,6)的驅(qū)動(dòng)模態(tài)非線性振動(dòng)響應(yīng)總體增大，且硬彈簧特性增強(qiáng)，內(nèi)共振區(qū)間擴(kuò)大，兩模態(tài)間耦合作用逐漸強(qiáng)烈；激振力幅值取較小值時(shí)，有個(gè)分支幅值超過較大激振力時(shí)幅值，共振區(qū)間變小，兩模態(tài)間耦合已不顯著。

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第一作者肖新科男，博士，副教授，1982年2月生