剛性路面道路剛度計(jì)算方法理論研究

剛性路面道路剛度計(jì)算方法理論研究

丁建國1，王海龍2，皮杰1，黃慧佳1，王春偉1

(1.南京理工大學(xué)理學(xué)院，南京210094； 2.南京長江都市建筑設(shè)計(jì)股份有限公司，南京210000)

摘要：為實(shí)現(xiàn)坦克、裝甲車及高檔民用車輛在道路行駛中的主動(dòng)減振控制，須對(duì)道路剛度參數(shù)快速計(jì)算。以溫克爾地基模型為基礎(chǔ)，據(jù)彈性地基板理論建立剛性路面道路計(jì)算模型，用剛性路面板撓度函數(shù)的半逆解法推導(dǎo)道路剛度理論計(jì)算公式。結(jié)果表明，該公式與精確解結(jié)果相比，誤差小于其它理論公式與精確解結(jié)果誤差，說明該公式具有較高的計(jì)算精度。

關(guān)鍵詞：剛性路面；道路剛度；彈性地基板；撓度函數(shù)；半逆解法

中圖分類號(hào):TU997文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Theoretical study on identification of the road stiffness of a rigid pavement

DINGJian-guo1,WANGHai-long2,PIJie1,HUANGHui-jia1,WANGChun-wei1(1. School of sciences, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China;2. Nanjing Changjiang Urban Architectural Design Co., Ltd, Nanjing 210094, China)

Abstract:In order to achieve the active vibration control of tanks, armored vehicles and civilian premium cars during driving, the fast calculation of the road stiffness is of the first importance. Based on the Winkler foundation model, the calculation model for a rigid pavement was built according to the elastic foundation plate theory, and a theoretical formula for calculating the road stiffness of the rigid pavement was derived by using the semi-inverse method for the rigid pavement deflection function. The results of the examples show that comparing with the exact solution, the error of the theoretical formulas derived is smaller than that of other formula in literatures, and this theoretical formula has higher accuracy.

Key words:rigid pavement; road stiffness; elastic foundation plate; deflection function; semi-inverse method

坦克、裝甲車輛行駛在不同路面引起的自身振動(dòng)對(duì)穩(wěn)定、射擊精度及乘員舒適性會(huì)有較大影響。劇烈振動(dòng)不僅導(dǎo)致其中的設(shè)備、零部件工作環(huán)境惡化，嚴(yán)重影響正常運(yùn)轉(zhuǎn)，且會(huì)使其行駛狀態(tài)不穩(wěn)，駕駛員只能通過降低車速使車輛處于可控狀態(tài)。

由于對(duì)汽車舒適性要求提高，諸多高檔民用車輛均配有較先進(jìn)的自適應(yīng)減振控制系統(tǒng)。該系統(tǒng)雖可對(duì)不平道路做出反應(yīng)，但反應(yīng)速度較慢，主要靠預(yù)測汽車的運(yùn)動(dòng)特性實(shí)現(xiàn)減振，無法有效實(shí)現(xiàn)主動(dòng)控制，需尋求技術(shù)更先進(jìn)的主動(dòng)減振控制方法以提高各種車輛行駛的舒適性及安全性。因此，需識(shí)別車輛行駛的路面剛度，通過改變或調(diào)節(jié)自身系統(tǒng)剛度及阻尼進(jìn)行主動(dòng)減振。本文利用剛性路面道路設(shè)計(jì)參數(shù)，通過對(duì)剛度計(jì)算的理論研究，獲得計(jì)算公式，從而為坦克、裝甲車及民用車輛的主動(dòng)減振控制提供依據(jù)。

剛性路面道路剛度計(jì)算，實(shí)質(zhì)為如何快速計(jì)算其撓度。對(duì)剛性路面道路撓度計(jì)算研究，基本在彈性地基板基礎(chǔ)上。雖對(duì)彈性地基板問題[1]進(jìn)行大量研究，但解析求解仍存在問題，因計(jì)算時(shí)較難找到一個(gè)撓度函數(shù)既滿足彎曲控制方程及四周邊界條件，又能正確反映路面板與其下方土體相互作用的真實(shí)規(guī)律。而剛性路面道路撓度計(jì)算雖可利用有限元分析軟件數(shù)值求解，但建立模型較繁瑣，導(dǎo)致計(jì)算效率低下，不能快速求解。為此，王春玲等[2]利用雙重傅里葉變換分析獲得彈性半空間受任意豎向荷載作用的靜力積分變換解。鐘陽等[3]將彈性地基視為溫克爾模型，利用雙重有限余弦積分變換方法從彈性地基的薄板基本方程出發(fā)，推導(dǎo)出四邊自由矩形薄板解析解表達(dá)式。祝海燕等[4]采用彈性地基的多層薄板理論，通過假定地基反力函數(shù)及路面道路板撓曲位移函數(shù)，獲得板角作用荷載時(shí)有限尺寸分離式、結(jié)合式道路求解方法。趙智[5]將矩形板復(fù)變量方法用于薄板小撓度問題，通過復(fù)變量方法求得矩形板撓度函數(shù)的一般解形式。劉俊卿等[6]針對(duì)具有橫觀各向同性性質(zhì)彈性板與地基土構(gòu)建的路面結(jié)構(gòu)體系，用有限元-無限元耦合方法分別對(duì)該體系在均布、移動(dòng)荷載作用下進(jìn)行靜動(dòng)力響應(yīng)分析。Patil等[7-8]采用基于有限元法新方法分析剛性路面在移動(dòng)荷載作用下動(dòng)力特性，所得剛性路面裂解速度與最大撓度預(yù)測值與實(shí)際值較吻合；并分析研究車輛-路面相互作用對(duì)剛性路面動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響，利用Newmark-β法求解動(dòng)力平衡方程，驗(yàn)證車輛-路面間動(dòng)態(tài)關(guān)系對(duì)剛性路面的顯著影響[9]。姚偉岸等[10]基于相似性原理、引入Hamilton體系求解正交各向異性板彎曲問題。Sawant等[11]利用雙參數(shù)地基有限厚度的薄板理論基礎(chǔ)對(duì)剛性路面在移動(dòng)車輛荷載及飛機(jī)荷載作用響應(yīng)進(jìn)行二維有限元分析。Akhavan等[12]求解Pasternak地基模型的矩形Mindlin板在平面荷載作用下的精確解。

為尋求剛性路面道路剛度快速計(jì)算方法, 本文以溫克爾地基模型為基礎(chǔ)，據(jù)彈性地基板理論建立剛性路面道路計(jì)算模型，基于剛性路面板撓度函數(shù)半逆解法-構(gòu)造撓度函數(shù)法對(duì)剛性路面道路板的解析解進(jìn)行研究。

1剛性路面道路剛度計(jì)算公式推導(dǎo)

1.1剛性路面道路力學(xué)模型

剛性路面道路指路面剛度較大、抗彎及抗拉強(qiáng)度較高的路。承受一般交通荷載時(shí)剛性路面道路結(jié)構(gòu)層受力機(jī)理與板類似，豎向撓度較小，且作用的交通荷載主要靠剛性路面抗彎、抗拉強(qiáng)度承受。由于板會(huì)對(duì)荷載產(chǎn)生擴(kuò)散分布作用，在此路面工作時(shí)上部交通荷載傳遞給路基的壓強(qiáng)較柔性路面道路小。因此，據(jù)設(shè)計(jì)理論，認(rèn)為剛性路面道路工作處在彈性階段,且路面板下基層、土基也處于彈性階段。通常，剛性路面層厚度遠(yuǎn)小于長、寬度，工程中可視剛性路面層為彈性薄板，理論分析時(shí)采用彈性地基的薄板理論。道路結(jié)構(gòu)層與其下土體共同作用的力學(xué)模型用溫克爾地基模型。剛性路面板力學(xué)模型見圖1。

對(duì)剛性路面理論分析時(shí)假設(shè)：①忽略z方向正應(yīng)變，即撓度ω(x,y)只與坐標(biāo)x、y有關(guān)，與豎向坐標(biāo)z無關(guān)；②不考慮橫向剪切變形，即變形前垂直中性層的法線變形后仍垂直中性層；③路面板中性層各點(diǎn)不產(chǎn)生水平位移，即中性層內(nèi)各點(diǎn)水平位移u、v均為零。

圖1　剛性路面板力學(xué)模型 Fig.1 Mechanical model of a rigid pavement plate

由于解析解嚴(yán)格滿足所有邊界條件非常困難，直接求解微分方程難度較大、計(jì)算繁重，引入剛性路面板撓度函數(shù)的半逆解法-構(gòu)造撓度函數(shù)法。據(jù)三角級(jí)數(shù)法求解獲得撓度解析解，分析其組成特點(diǎn)，并以此為依據(jù)構(gòu)造嚴(yán)格滿足所有邊界條件的撓度試函數(shù)，通過變分法求解。

1.2構(gòu)造撓度函數(shù)法求解剛性路面撓度

1.2.1構(gòu)造撓度函數(shù)

據(jù)溫克爾地基假定，設(shè)剛性路面板見圖2，平衡方程為

D4ω+kω=q(x,y)

(1)

式中：ω為撓度；q(x,y)為荷載函數(shù)。

圖2　剛性路面板 Fig.2 Diagram of a rigid pavement plate

求解式(1)可采用數(shù)值解法、級(jí)數(shù)疊加法、伽遼金法及構(gòu)造撓度函數(shù)法。數(shù)值解法要求輸入數(shù)據(jù)多，求解過程繁瑣，工作量大；級(jí)數(shù)疊加法可求解復(fù)雜邊界條件矩形板彎曲，可作為板撓度的精確解，但對(duì)每一疊加項(xiàng)均需求解一個(gè)邊值問題，不同荷載形式需不同疊加解，計(jì)算過程較復(fù)雜；伽遼金法通過選有限多項(xiàng)勢函數(shù)進(jìn)行疊加，要求結(jié)果在求解域內(nèi)及邊界的加權(quán)積分滿足原方程，獲得一組易于求解的線性代數(shù)方程，該方法適應(yīng)性較廣，但其收斂性仍待解決。

控制方程[13]的解可表示為特解ω*及齊次解ω1、ω2的疊加，即

(2)

(3)

(4)

橫向載荷q(x,y)用雙三角級(jí)數(shù)表達(dá)為

(5)

使ω滿足所有邊界條件，從而確定撓度函數(shù)中的待求系數(shù)。文獻(xiàn)[2]平衡方程采用

D4ω(x,y)=q(x,y)-F(x,y)

(6)

式中：F(x,y)為地基反力。

為滿足邊界條件，將撓度設(shè)為帶補(bǔ)充項(xiàng)的雙重余弦級(jí)數(shù)，即

(7)

式中：a，b分別為道路面板長、寬度；ωmn,Cm,Dm,Hn,Gn均為待定系數(shù)。

也可將荷載及地基反力F(x,y)展成雙重余弦級(jí)數(shù)。設(shè)m，n分別取最大M，N，則共有2(M+1)(N+1)+2(M+1)+2(N+1)個(gè)方程，用以解相同數(shù)目的未知數(shù)。各系數(shù)求出后代回式中，可求得板的撓度。此兩種方法相似，理論上較完善，邊長比不大，且底部支撐較強(qiáng)工況計(jì)算結(jié)果較好。而對(duì)邊長比較大、彈性地基系數(shù)較小工況計(jì)算不收斂，不易獲得可信結(jié)果。

構(gòu)造函數(shù)[14]為

(8)

式中：a，b分別為所選道路面板長、寬度；f1，f2為待定系數(shù)。

此方法計(jì)算簡單，但不完全滿足邊界條件，只能近似滿足4個(gè)自由邊彎矩為零的條件。文獻(xiàn)[15]的撓度函數(shù)為不完全滿足板邊界條件或完全不滿足邊界條件，其計(jì)算結(jié)果不盡合理。

本文方法與文獻(xiàn)[14]理論上相似，均從微分方程解的形式入手構(gòu)造撓度函數(shù)；但后者在邊界條件、精度上不夠準(zhǔn)確，故本文對(duì)此進(jìn)行改進(jìn)，使公式在4自由邊界條件下的計(jì)算精度明顯提高。

(9)

式中：a，b分別為道路面板長、寬度；α1～α6為待定常數(shù)，可通過邊界條件求解。

1.2.2邊界條件

在x軸兩端(x=±a/2)據(jù)剛性路面板受力平衡條件得彎矩、橫向剪力均為零，即

(10)

(11)

同理，在y軸兩端(y=±b/2)，彎矩、橫向剪力也均為零，即

(12)

(13)

1.2.3簡化撓度函數(shù)

將式(9)代入式(10)～式(13)，得4個(gè)聯(lián)立方程組為

(14)

求解式(14)，得

(15)

令

(16)

則撓曲函數(shù)式(9)可表示為

(17)

經(jīng)簡化，構(gòu)造的撓曲函數(shù)(17)中僅含α3，α6兩參數(shù)，且可滿足全部邊界條件。

1.2.4變分法求解待定系數(shù)

路面道路受荷載作用變形可視為其面層受荷載作用產(chǎn)生的彎曲變形，整個(gè)系統(tǒng)形變勢能為

(18)

整個(gè)系統(tǒng)外力勢能為

(19)

系統(tǒng)總勢能為

Π=U+V

(20)

據(jù)最小勢能原理有

δΠ=0

(21)

據(jù)極值條件確定撓度函數(shù)中未知系數(shù)α3，α6，從而得式(17)中撓度ω及剛性路面道路剛度K=P/ω。

2本文理論公式與精確解對(duì)比分析

采用三角級(jí)數(shù)法求得自由邊矩形板解的形式[16]為

(22)

(23)

式(23)的解可表示成齊次解ω0與特解ω1之和，即

(24)

ω0應(yīng)滿足

D4ω0+kω0=0

(25)

ω1應(yīng)滿足微分方程式的任一解，即

D4ω1+kω1=q(x,y)-

(26)

一般荷載可用雙三角級(jí)數(shù)形式表示，即

(27)

式中：

為分析本文理論公式的計(jì)算精度,利用文獻(xiàn)[16]算例分別用本文理論公式及文獻(xiàn)[14]公式進(jìn)行計(jì)算，并以文獻(xiàn)[16]計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)對(duì)比分析。由于本文研究目的為車輪作用剛性路面道路的撓度及剛度，故在剛性路面選以車身為邊界范圍的12個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。表1為用3種方法計(jì)算所得12點(diǎn)的撓度及與文獻(xiàn)[16]計(jì)算結(jié)果比較所得誤差。為直觀分析、比較剛性路面道路撓度理論計(jì)算結(jié)果，將表1數(shù)據(jù)繪成曲線，見圖3。由表1、圖3看出，本文公式計(jì)算撓度結(jié)果與文獻(xiàn)[16]誤差在0.62%～8.51%間波動(dòng)，1號(hào)位置即坐標(biāo)點(diǎn)(0,0)處誤差達(dá)最小值為0.62%；12號(hào)位置即坐標(biāo)點(diǎn)(0.7,1.2)處誤差達(dá)最大值為8.51%；文獻(xiàn)[14]與文獻(xiàn)[16]結(jié)果誤差在9.4%～21.6%間波動(dòng)，3號(hào)位置即坐標(biāo)點(diǎn)(0.7,0)處誤差達(dá)最小值為9.4%；7號(hào)位置即坐標(biāo)點(diǎn)(0,0.8)處誤差達(dá)最大值為21.6%。因此，本文公式計(jì)算結(jié)果與精確解誤差均小于10%，而文獻(xiàn)[14]與精確解誤差較大，波動(dòng)較大，最大誤差已超20%。結(jié)果表明，本文公式計(jì)算精度較好。算例表明，本文公式較三角級(jí)數(shù)法，計(jì)算量小、計(jì)算過程簡單，且與精確解的誤差較小；較文獻(xiàn)[14]公式，邊界條件更完善，更準(zhǔn)確，計(jì)算結(jié)果更接近精確值。

表1　剛性路面道路撓度值理論計(jì)算結(jié)果

圖3　剛性路面道路撓度值理論計(jì)算結(jié)果 Fig.3 Theoretical calculation of deflection about rigid pavement

3工程算例

3.1工程計(jì)算參數(shù)

設(shè)某剛性路面道路具體參數(shù)見表2，道路行駛汽車荷載參數(shù)見表3。

表2　某剛性路面道路主要計(jì)算參數(shù)

表3　算例選取汽車荷載

由于剛性路面道路剛度較大，據(jù)各結(jié)構(gòu)層材料選k=3×105kN/m3，一般汽車荷載作用下的剛性路面道路撓度值較小，為清晰說明荷載變化所致道路撓度變化，適當(dāng)加大汽車荷載值，汽車后軸荷載選用表3數(shù)值，以觀察荷載對(duì)路面道路的作用效果。

荷載作用的當(dāng)量圓直徑為20.90 mm，因所選道路面板尺寸為a×b=4 m×3 m(路面脹縮縫深度僅貫穿面板，不影響溫克爾地基模型假設(shè)，選道路尺寸為路面板尺寸)較荷載作用區(qū)大得多，因而計(jì)算時(shí)可將分布在4個(gè)圓形內(nèi)的均布荷載視為作用于路面板的兩個(gè)集中力，如選汽車后軸荷載為600 kN，則每個(gè)集中力大小為300 kN。

3.2剛性路面道路撓度及剛度計(jì)算結(jié)果

以汽車后軸荷載600 kN為例，說明用本文公式的計(jì)算過程。據(jù)推導(dǎo)，構(gòu)造該路面道路撓曲函數(shù)(式(17))，將道路面板長度a=4 m，b=3 m代入式(16)，得

將式(17)、(28)代入式(18)，得剛性路面道路體系形變勢能為

(29)

將集中荷載P=300 kN代入式(19)，得道路體系外力勢能為

V=-2?Ωq(x,y)ω(x,y)dxdy=

-4 857.94α3-600α6

(30)

將變形勢能及外力勢能代入式(20)，得道路體系總勢能為

(31)

據(jù)最小勢能原理，由δΠ=0，即

4.858×103-9.239×107α6

(32)

(33)

得

α3=5.901×10-6,α6=3.181×10-4

(34)

道路體系撓曲方程為

14.6216x2-8.224 7y2)+3.181×10-4

(35)

求得荷載作用處撓度、剛度分別為

ω(0,0.75)=5.901×10-6×

(12.851 9+4.75+1-8.224 7×32)+

3.181×10-4=0.366 6 (mm)

(36)

K=P/ω=8.1833×105(N/mm)

(37)

同理，可求粗汽車后軸荷載為400 kN、450 kN、500 kN、550 kN、650 kN、700 kN、750 kN等其它荷載作用下剛性路面道路撓度值，結(jié)果見表4。

表4　剛性路面道路撓度、剛度理論計(jì)算結(jié)果

表4數(shù)據(jù)曲線見圖4、圖5。由2圖看出，本文公式計(jì)算剛性路面道路撓度值在0.244 4～0.458 3 mm之間變化，剛度值在8.181 4×105～8.183 3×105N/mm范圍內(nèi)小幅波動(dòng)。汽車后軸荷載為700 kN時(shí)，道路剛度值最小為8.181 4×105N/mm；汽車后軸荷載為400 kN、500 kN、600 kN時(shí)道路剛度值最大為8.183 3×105N/mm；可見，用本文理論計(jì)算的剛度值基本保持不變，約8.18×105N/mm。

圖4　撓度值理論計(jì)算結(jié)果 Fig.4 Theoretical calculation of deflection about rigid pavement

圖5　剛度值理論計(jì)算結(jié)果 Fig.5 Theoretical calculation of stiffness about rigid pavement

由于將剛性路面道路假設(shè)為彈性地基的溫克爾模型，彈性模量保持不變，故路面剛度應(yīng)保持不變，故計(jì)算結(jié)果符合模型假設(shè)。由算例知，用本文公式可減少計(jì)算量、大幅提高計(jì)算效率、實(shí)現(xiàn)道路剛度參數(shù)的快速計(jì)算。

4結(jié)論

(1)以溫克爾地基模型為基礎(chǔ)，據(jù)彈性地基板理論建立剛性路面道路計(jì)算模型，用剛性路面板撓度函數(shù)的半逆解法推導(dǎo)剛性路面道路撓度及剛度理論計(jì)算公式。

(2)通過算例計(jì)算，并以精確解為基準(zhǔn)進(jìn)行比較表明，用本文公式計(jì)算的撓度誤差最小，所求撓度、剛度精度較高，且邊界條件更完善，公式更準(zhǔn)確，結(jié)果更接近精確值。

(3)用本文公式在不增加計(jì)算步驟的同時(shí)，計(jì)算精度更高，具有高效、準(zhǔn)確、方便等特點(diǎn)。且能減少計(jì)算工作量、大幅提高計(jì)算效率，實(shí)現(xiàn)道路剛度參數(shù)快速計(jì)算。

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