基于虛擬陣列變換的共形陣列信號(hào)DOA估計(jì)

(中國人民解放軍92785部隊(duì),河北秦皇島066200)

0 引言

共形陣列是一種與載體表面共形的天線陣列,由于其具有安裝簡化、波束掃描范圍廣、RCS小等優(yōu)點(diǎn)[1-3],在現(xiàn)代飛機(jī)、導(dǎo)彈、衛(wèi)星等設(shè)備均有重要的應(yīng)用。共形陣列信號(hào)的二維角度估計(jì)問題是共形陣列信號(hào)處理中的重要內(nèi)容,其在民用和軍事上都有重要意義,已受到廣泛關(guān)注。目前,國內(nèi)外學(xué)者在共形陣列信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)(Direction of Arrival,DOA)方面已經(jīng)做了大量研究工作[3-10]。比如文獻(xiàn)[3]以圓柱共形陣列為例,采用多維MUSIC譜估計(jì)方法實(shí)現(xiàn)了DOA估計(jì),但其需要二維譜峰搜索,運(yùn)算量大,不適用于工程實(shí)際;文獻(xiàn)[4-7]通過合理劃分陣列使其滿足旋轉(zhuǎn)不變結(jié)構(gòu),從而實(shí)現(xiàn)柱面陣列和錐面共形陣列的DOA估計(jì)。但其方法對(duì)陣列形狀要求高,并不能適用于其他共形陣列?？梢哉f,關(guān)于共形陣列信號(hào)DOA估計(jì)問題還有許多值得進(jìn)一步研究的工作。本文給出了一種利用虛擬陣列變換的思想,采用ESPRIT算法和MUSIC算法相結(jié)合的方法實(shí)現(xiàn)了共形陣列信號(hào)二維角度估計(jì)。算法對(duì)陣列形狀限制小,估計(jì)性能良好。以圓柱共形陣列為例,對(duì)算法性能作了仿真驗(yàn)證。

1 虛擬陣列變換方法

虛擬陣列變換方法[8]是將空間區(qū)域進(jìn)行劃分,針對(duì)某個(gè)感興趣區(qū)域,在保證盡量小的變換誤差下,將原始陣列接收數(shù)據(jù)變換為虛擬陣列接收數(shù)據(jù)。其主要是利用兩個(gè)陣列導(dǎo)向矢量的變換關(guān)系獲得陣列數(shù)據(jù)變換關(guān)系。由于經(jīng)虛擬變換得到虛擬陣列是預(yù)先期望的,因此,可以使用一些經(jīng)典的參數(shù)估計(jì)方法。從虛擬變陣列變換的原理上看,虛擬陣列變換方法適用于任意陣列。下面介紹一下虛擬陣列變換的實(shí)現(xiàn)過程。

對(duì)布置于三維空間中幾何結(jié)構(gòu)任意的陣列,如圖1所示,假設(shè)感興趣的區(qū)域?yàn)棣?[θ1,θr],且信號(hào)位于此區(qū)域。

圖1 布置于三維空間的任意陣列

將區(qū)域以間隔Δθ作均勻分割,即Θ=[θ1θ1+Δθθ1+2Δθ…θr-Δθθr],那么原始陣列的陣列流型矢量矩陣為

假設(shè)希望經(jīng)過虛擬變換得到虛擬陣列的流型矢量矩陣為ˉA,則在同樣的空間區(qū)間內(nèi),有

那么,原始陣列和虛擬陣列之間可以通過虛擬變換關(guān)系實(shí)現(xiàn)近似變換,即滿足

同理,原始陣列和虛擬陣列的導(dǎo)向矢量之間存在如下關(guān)系:

顯然,由原始陣列到虛擬陣列的變換過程中,會(huì)存在變換誤差。因此,求取變換矩陣B,可以看作如下計(jì)算:

式中,‖·‖F(xiàn)為Frobenius模。

由式(3)～(5)可以求得虛擬陣列變換矩陣:

那么,變換誤差可以定義為

顯然,理想情況下,變換誤差為零,此時(shí)虛擬變換過程是一個(gè)完全等價(jià)過程。但實(shí)際中,限于區(qū)域劃分、區(qū)域劃分間隔和虛擬變換陣列結(jié)構(gòu)等限制,不可避免地存在誤差。因此,在實(shí)際計(jì)算中,一般會(huì)設(shè)置一個(gè)誤差允許范圍。

下面看一下,通過虛擬陣列變換,數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣是否有變化。假設(shè)原始陣列的接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為背景噪聲為高斯白噪聲,其功率為σ2I,則有

虛擬陣列的協(xié)方差矩陣可表示為

顯然,從式(8)可以看出BHB≠I,即原始陣列白噪聲被污染為色噪聲。因此,要想利用虛擬陣列的協(xié)方差矩陣ˉR,必須預(yù)白化色噪聲。那么可以將變換矩陣B修改為

那么,有THT=I成立。此時(shí),式(3)和式(4)所表示的原始陣列和虛擬陣列的變換關(guān)系變?yōu)?/p>

此時(shí),虛擬陣列的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可寫為

那么,利用式(13)得到的虛擬陣列協(xié)方差數(shù)據(jù)即可采用參數(shù)估計(jì)方法。需要注意的是,此時(shí)所對(duì)應(yīng)的流性矢量矩陣ˉA′是經(jīng)虛擬變換后的虛擬陣列的流行矢量矩陣。至此,對(duì)虛擬陣列變換方法作了簡單的介紹。下面將介紹具體的參數(shù)估計(jì)方法。

2 基于虛擬陣列變換的角度估計(jì)方法

針對(duì)共形陣列,利用虛擬陣列變換思想,采用ESPRIT算法和MUSIC算法相結(jié)合的方法實(shí)現(xiàn)二維角度估計(jì)。

空間任意M元陣列如圖2所示,第m個(gè)陣元的位置為p m=(x m,y m,z m)。假設(shè)有K個(gè)已知頻率為f0的空間窄帶信號(hào)源s1(t),s2(t),…,s K(t)入射到陣列,其入射角分別為{(θ1,?1),(θ2,?2),…,(θk,?k),…,(θK,?K)}。假設(shè)各陣元輻射方向圖均為g(θ,?)。當(dāng)陣列存在較大曲率時(shí),各陣元會(huì)受曲率影響,造成各陣元接收的信號(hào)強(qiáng)度不同。因此,這里將第m個(gè)陣元的真實(shí)接收方向圖記為g′m(θ,?)。

圖2 空間任意M元陣列

首先確定希望虛擬變換后的虛擬陣列結(jié)構(gòu)?？紤]到實(shí)際共形陣列的幾何結(jié)構(gòu)可能多樣,因此采用一種普適的方法。假設(shè)虛擬陣列的幾何結(jié)構(gòu)與原始陣列相同,只是沿著Z軸方向作了平移d z,令d z=λ/4。設(shè)虛擬變換的觀察區(qū)域俯仰向?yàn)棣?[θ1,θr],方位向?yàn)棣?[φ1,φr],其中{θk∈Θ,?k∈Φ}。那么,原始陣列流型矢量矩陣A(θ,φ)和虛擬陣列流型矢量矩陣ˉA(θ,φ)有如下關(guān)系:

則虛擬陣列變換矩陣為

在獲得虛擬變換陣列后,可以近似獲得虛擬陣列接收數(shù)據(jù)。這樣,相當(dāng)于擁有了原始陣列和虛擬陣列兩組接收數(shù)據(jù)。由于虛擬陣列與原始陣列存在固定的位置關(guān)系,可以采用ESPRIT算法[7]進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。這里僅是以沿Z軸方向作了平移,實(shí)際上只要保證虛擬陣列與原始陣列幾何結(jié)構(gòu)相同,同樣可以將原始陣列沿著X軸或者Y軸方向作平移。

由于陣元方向圖對(duì)算法無影響,這里將陣元輻射方向圖認(rèn)為是全向,則原始陣列和虛擬陣列的接收數(shù)據(jù)可以寫成:

式中:S(t)=[s1(t),s2(t),…,s K(t)]T;N(t)為陣列接收噪聲矩陣;

如果將兩個(gè)陣列的數(shù)據(jù)模型合并,可得

由旋轉(zhuǎn)不變子空間原理,可知

由于原始陣列和虛擬陣列幾何結(jié)構(gòu)完全相同,由其旋轉(zhuǎn)不變性,可以利用最小二乘的方法求出旋轉(zhuǎn)不變矩陣Ψ:

對(duì)Ψ進(jìn)行特征值分解,得到的K個(gè)特征值即對(duì)應(yīng)著Ψz中對(duì)角元素,這樣就可以求出K個(gè)入射信號(hào)的俯仰角。如果將原始陣列分別沿著X軸或者Y軸平移,作類似處理,就可以求出空間入射角的俯仰角和方位角。這里只利用沿著Z軸平移,求出空間入射信號(hào)的俯仰角度。設(shè)為對(duì)Ψ特征分解得到的第k個(gè)特征值,則信號(hào)的俯仰角可以通過下式求得:

為了提高參數(shù)估計(jì)精度,這里采用文獻(xiàn)[8]的方法,在獲得信號(hào)俯仰角估計(jì)后,利用MUSIC算法作方位向的估計(jì)。由于采用虛擬陣列變換的方法,因此方位角搜索范圍為Φ=[φ1,φr]。這是在小區(qū)間內(nèi)的一維譜峰搜索,相比于全空間二維譜峰搜索,其運(yùn)算量較小。

M USIC算法的譜估計(jì)公式為

至此,可以通過式(24)和式(25)對(duì)空間二維入射角進(jìn)行估計(jì)。

下面給出算法主要步驟:

5)計(jì)算旋轉(zhuǎn)不變矩陣Ψ,對(duì)Ψ進(jìn)行特征分解;

6)由式(24)估計(jì)信號(hào)源俯仰角度;

7)根據(jù)估計(jì)出的俯仰角度和虛擬變換觀察區(qū)域Φ=[φ1,φr]確定參數(shù)范圍,對(duì)式(25)進(jìn)行譜峰搜索,找到極大值即對(duì)應(yīng)信號(hào)源入射方向。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

圓柱共形陣列其幾何結(jié)構(gòu)是中心對(duì)稱旋轉(zhuǎn)體,根據(jù)文獻(xiàn)[1]提出的子陣分割思想,將圓柱共形陣列進(jìn)行分割,這樣只需研究子陣性能即可。仿真采用如圖3所示的3×3圓柱陣共形陣列,圓柱半徑R=λ,信號(hào)波長λ=c/f0。共分3層,兩層陣元間距d z=λ/4。每層陣元等角度分布,其相鄰陣元夾角α=15°。陣元采用非極化全向陣元,即g(θ,?)=|J2(πεsinθ)-J0(πεsinθ)|。根據(jù)陣列結(jié)構(gòu)將觀察區(qū)域作如下劃分,俯仰向?yàn)?0°～100°,間隔0.1°;方位向?yàn)?°～25°,間隔0.1°。虛擬陣列設(shè)置為原陣列沿Z軸正向平移λ/4。

圖3 圓柱共形陣列

設(shè)有2個(gè)頻率為f0的空間窄帶信號(hào)源入射到陣列,信噪比(SNR)均為20 dB,其二維角度參數(shù)(θ,φ)(其中,θ代表俯仰角,φ代表方位角)為(85°,15°)和(95°,20°),采樣快拍數(shù)為500,偽快拍數(shù)為50,做50次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)。圖4是角度估計(jì)結(jié)果。

從圖中可以看出,算法可以估計(jì)出信源的二維入射角度。同時(shí)看到估計(jì)存有偏差。定義信源k的角度估計(jì)均方根誤差(RMSE)為

圖4 角度估計(jì)結(jié)果

圖5是角度估計(jì)誤差隨信噪比的變化曲線,可以看出,隨著信噪比的增加,估計(jì)性能逐漸提高。在信噪比為25 dB開始趨于穩(wěn)定。在仿真時(shí)發(fā)現(xiàn),算法在低信噪比時(shí)性能較差,所以信噪比選擇從10 dB開始。其誤差主要受到虛擬變換誤差和算法誤差兩個(gè)方面的影響。因此,兩種算法均對(duì)信噪比存在約束。

圖5 角度估計(jì)結(jié)果的RMSE隨信噪比變化曲線

圖6是角度估計(jì)誤差隨采樣快拍數(shù)的變化曲線?？梢钥闯?當(dāng)快拍數(shù)增加到900時(shí),算法估計(jì)性能逐漸趨于穩(wěn)定。

圖6 角度估計(jì)結(jié)果的RMSE隨采樣快拍數(shù)變化曲線

4 結(jié)束語

本文利用虛擬陣列變換思想,采用ESPRIT算法和MUSIC算法相結(jié)合的方法實(shí)現(xiàn)了共形陣列信號(hào)二維角度估計(jì)。以圓柱共形陣列,通過仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)算法有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。算法對(duì)陣列形狀限制小,性能良好。關(guān)于共形陣列信號(hào)參數(shù)估計(jì)還有許多值得繼續(xù)深入研究的工作,比如共形陣列信號(hào)極化、頻率參數(shù)估計(jì)問題等。

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