基于區(qū)間數(shù)學(xué)理論和貝葉斯網(wǎng)絡(luò)指標(biāo)靈敏度分析*

張馬蘭　劉君強(qiáng)　左洪?！≈x吉偉　吳　驥

(南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院　南京　210016)

基于區(qū)間數(shù)學(xué)理論和貝葉斯網(wǎng)絡(luò)指標(biāo)靈敏度分析*

張馬蘭劉君強(qiáng)左洪福謝吉偉吳驥

(南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院南京210016)

摘要：針對(duì)航空公司安全質(zhì)量管理體系(SQMS)中風(fēng)險(xiǎn)識(shí)別與可靠性改進(jìn)問題，文中提出基于區(qū)間數(shù)學(xué)與貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的靈敏度分析方法.給出了衡量航空公司安全狀況的指標(biāo)；借助貝葉斯網(wǎng)絡(luò)建立指標(biāo)關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)合先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行參數(shù)學(xué)習(xí)以獲取條件概率；通過貝葉斯雙向推理機(jī)制和區(qū)間數(shù)學(xué)理論分析不同區(qū)間內(nèi)重要指標(biāo)與系統(tǒng)整體安全狀況間的擾動(dòng)關(guān)系；基于擾動(dòng)分析結(jié)果對(duì)各指標(biāo)進(jìn)行靈敏度排序以識(shí)別風(fēng)險(xiǎn)并指導(dǎo)可靠性改進(jìn)工作.實(shí)例分析驗(yàn)證了基于區(qū)間數(shù)學(xué)與貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的指標(biāo)靈敏度分析方法的有效性.

關(guān)鍵詞：區(qū)間數(shù)學(xué)；貝葉斯網(wǎng)絡(luò)；靈敏度；安全質(zhì)量管理；可靠性

張馬蘭(1990- )：女，碩士，主要研究領(lǐng)域?yàn)槊窈浇煌ㄐ畔⒖刂婆c管理

0引言

2008年，中國(guó)民航局明確要求各航空公司建立健全安全管理體系(safety management system,SMS)[1].將安全與質(zhì)量統(tǒng)籌考慮，建立安全質(zhì)量管理體系(safety and quality management system,SQMS)成為航空公司保障安全與尋求發(fā)展的重要途徑.改善指標(biāo)可靠性提高系統(tǒng)可靠性，將安全關(guān)口前移，方可實(shí)現(xiàn)“結(jié)果導(dǎo)向式管理”向“風(fēng)險(xiǎn)識(shí)別”的轉(zhuǎn)變.因此，對(duì)SQMS各指標(biāo)的靈敏度進(jìn)行分析以確定其對(duì)系統(tǒng)安全狀況的影響程度極為重要.

靈敏度分析的實(shí)現(xiàn)方法主要包括：統(tǒng)計(jì)回歸、層次分析、模糊綜合評(píng)價(jià)[1]、證據(jù)理論[2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[3-4].統(tǒng)計(jì)回歸與層次分析難以處理模型屬性較多或系統(tǒng)非線性的情況，因?yàn)榫入y以保證.模糊評(píng)價(jià)不能處理信息重復(fù)性問題.證據(jù)理論難以實(shí)現(xiàn)區(qū)間內(nèi)賦值.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于缺乏定量數(shù)據(jù)的支持仍是一種定性的方法. 本文提出了基于區(qū)間數(shù)學(xué)與貝葉斯網(wǎng)絡(luò)[5]的靈敏度分析方法.基于區(qū)間數(shù)學(xué)[6]的靈敏度分析，可根據(jù)指標(biāo)在一定幅度內(nèi)的變化與系統(tǒng)安全狀況變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握指標(biāo)的靈敏度.靈敏度分析可以定量分析影響SQMS安全狀況的主要因素，以實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)識(shí)別與可靠性改進(jìn).

1指標(biāo)分析

人員、飛機(jī)、環(huán)境與管理是系統(tǒng)安全的4大基石，只有4者協(xié)調(diào)發(fā)展才能提高系統(tǒng)的可靠性. 根據(jù)人機(jī)環(huán)管理論和民航規(guī)則與標(biāo)準(zhǔn),以及國(guó)內(nèi)外實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合航空公司的充分?jǐn)?shù)據(jù)，建立安全質(zhì)量管理指標(biāo)體系，見圖1.

對(duì)SQMS中的各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行改進(jìn)并不都是經(jīng)濟(jì)可行的，因此，選擇8個(gè)對(duì)系統(tǒng)安全狀況有較大影響且在可靠性改進(jìn)的操作中易實(shí)現(xiàn)的指標(biāo)作為靈敏度分析對(duì)象： (1)E,嚴(yán)重維修差錯(cuò)萬(wàn)時(shí)率=嚴(yán)重差錯(cuò)次數(shù)×104/飛行小時(shí)數(shù)；(2)F,一般維修差錯(cuò)萬(wàn)時(shí)率=一般維修差錯(cuò)次數(shù)×104/飛行小時(shí)數(shù)；(3)G,機(jī)務(wù)報(bào)告故障率=維修人員檢查發(fā)現(xiàn)故障次數(shù)/飛行小時(shí)數(shù)；(4)H,SDR,統(tǒng)計(jì)周期內(nèi)維修過程中發(fā)現(xiàn)的缺陷和不適航狀況次數(shù)(次/d)，其中，外來(lái)物打擊和維修差錯(cuò)除外；(5)I,重復(fù)性故障=同一架飛機(jī)在10 d出現(xiàn)3次或3次以上相同故障的次數(shù)；(6)J,故障保留情況=統(tǒng)計(jì)周期內(nèi)所選飛行架次總故障保留數(shù)/所選飛行架次；(7)K,機(jī)組報(bào)告故障率=機(jī)組報(bào)告故障次數(shù)/飛行小時(shí)數(shù)；(8)L,航班不正常千次率=航班不正常次數(shù)/起落次數(shù).

圖1　安全質(zhì)量管理指標(biāo)體系

2貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(bayesian network,BN)[7]是基于概率論與圖論的一種不確定性知識(shí)表達(dá)與推理模型.有向圖中每個(gè)原因變量和結(jié)果變量都由節(jié)點(diǎn)表示，節(jié)點(diǎn)間的有向邊表示變量間的依賴關(guān)系.每個(gè)節(jié)點(diǎn)均有條件概率表，表征該節(jié)點(diǎn)與相鄰節(jié)點(diǎn)所有可能的條件概率.見圖2.

圖2　貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

1) 條件概率與聯(lián)合概率條件概率的計(jì)算基于鏈規(guī)則，利用變量間的條件獨(dú)立關(guān)系將聯(lián)合概率分解成復(fù)雜度較低的概率分布，從而降低模型復(fù)雜度，提高推理效率.

假設(shè)A,B為隨機(jī)事件且P(A)>0，P(B)>0，則A在B發(fā)生時(shí)的條件概率可表示為

(1)

或

(2)

式(2)表示A和B同時(shí)發(fā)生的概率等于B發(fā)生的概率乘以B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的概率，也可表示為

(3)

假設(shè)B是由相互獨(dú)立的事件組成的概率空間{b1,b2,…,bn}，則P(A)可表示為

(4)

聯(lián)合概率P(X1,X2,…,Xn)是指多個(gè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn分別滿足各自條件的概率.聯(lián)合概率分布可由各自的局部條件概率相乘得出.

(5)

2) 概率推理概率推理是后驗(yàn)概率的計(jì)算過程，其利用隨機(jī)變量間的條件獨(dú)立性，將一個(gè)聯(lián)合概率分布直觀地表達(dá)為一個(gè)圖形結(jié)構(gòu)和一組條件概率表，經(jīng)過消元法可計(jì)算任意變量的邊緣概率.在已知某些證據(jù)的情況下，還可以計(jì)算感興趣的節(jié)點(diǎn)變量的條件概率分布.貝葉斯網(wǎng)絡(luò)涉及的概率有先驗(yàn)和后驗(yàn)之分.先驗(yàn)概率是指在考慮“觀測(cè)數(shù)據(jù)”前，能表達(dá)某一不確定量的不確定性的概率分布，通常是結(jié)合先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行主觀猜測(cè)得到的.后驗(yàn)概率指的是已知貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中某些變量的相關(guān)證據(jù)或數(shù)據(jù)，計(jì)算另外一些變量的條件概率.通常，貝葉斯推理可以分為2大類，從原因推知結(jié)果稱為預(yù)測(cè)推理，從結(jié)果推知原因稱為診斷推理，常用于故障診斷.

基于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與條件概率，可實(shí)現(xiàn)貝葉斯正向推理和反向推理，其優(yōu)點(diǎn)有：綜合先驗(yàn)信息與后驗(yàn)信息；處理不完整數(shù)據(jù)集；易發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)間的因果關(guān)系；高效推理算法與成熟軟件.

3靈敏度分析

靈敏度分析(sensitivity analysis)假設(shè)模型表示為y=f(x1,x2,…,xn)(xi為模型的第i個(gè)屬性值)，研究這些屬性的變動(dòng)對(duì)模型輸出值的影響程度，是一種定量描述模型輸入變量對(duì)輸出變量的重要性程度的方法.鑒于傳統(tǒng)靈敏度分析的不足，本文將區(qū)間數(shù)學(xué)理論引入SQMS指標(biāo)靈敏度分析中，對(duì)于在一定范圍內(nèi)變化的評(píng)估參數(shù)，將其作為“區(qū)間數(shù)”進(jìn)行處理，從而可以全程考慮參數(shù)的不確定性，進(jìn)行一次區(qū)間安全狀況計(jì)算，得到指標(biāo)靈敏度.

定義系統(tǒng)安全狀況的表達(dá)式為

(6)

式中:x1,x2,…,xn為各指標(biāo)的參數(shù)，以x0=(x10,x20,…,xn0)為中心的參數(shù)變化區(qū)間為

(7)

式中:[xi]=[xi0-Δxi,xi0+Δxi],i=1,2,…,n.

由區(qū)間數(shù)學(xué)中區(qū)間擴(kuò)張的性質(zhì)，對(duì)區(qū)間參數(shù)[xi]=[xi0-Δxi,xi0+Δxi],i=1,2,…,n進(jìn)行擴(kuò)張，可得

(8)

將[xi0]=(x10,x20,…,xi0-1,[xi0],xi0+1,…,xn0),i=1,2,…,n代入式(8)，可得

(9)

因此，相對(duì)區(qū)間靈敏度為

(10)

相對(duì)區(qū)間靈敏度可解釋為某一指標(biāo)參數(shù)變化引起的系統(tǒng)安全狀況的變化.通過計(jì)算各個(gè)指標(biāo)r(Exi0)值的大小，即可獲得敏感性系數(shù).

4實(shí)例分析

實(shí)例數(shù)據(jù)來(lái)自東方航空公司“安全狀況和維修質(zhì)量管理評(píng)估系統(tǒng)”項(xiàng)目.在貝葉斯網(wǎng)絡(luò)圖中，將每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)定義為好與差2個(gè)等級(jí).根節(jié)點(diǎn)條件概率通過統(tǒng)計(jì)航空公司樣本數(shù)據(jù)中相應(yīng)事件發(fā)生的頻次獲得.

圖3　各指標(biāo)變化對(duì)系統(tǒng)安全狀況的影響

圖4　各指標(biāo)的敏感性系數(shù)

根據(jù)A為差的概率變化幅度對(duì)各指標(biāo)靈敏度從大到小排序?yàn)椋篍,G,F,I,H,J,K,L.所以，優(yōu)先對(duì)嚴(yán)重維修萬(wàn)時(shí)差錯(cuò)率指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，能夠以最小的投入換取最大的效益.此外，一般維修萬(wàn)時(shí)差錯(cuò)率與機(jī)務(wù)報(bào)告故障率的優(yōu)化也能較大提升系統(tǒng)的安全狀況.

2) 正向驗(yàn)證分別對(duì)8個(gè)指標(biāo)為差的概率為0.4和0.6，對(duì)A為差的概率進(jìn)行推理.結(jié)果見表1.

表1　區(qū)間數(shù)為0.4和0.6時(shí)的靈敏度分析

A(0.4)表示指標(biāo)為差的概率為0.4時(shí)系統(tǒng)安全狀況為差的概率.表1表明，各指標(biāo)靈敏度排序與以上推力結(jié)果相符.

3) 反向驗(yàn)證對(duì)A為差的概率為1時(shí)推理各個(gè)指標(biāo)為差P1和為好P2的概率，結(jié)果見表2.

表2　總體安全質(zhì)量為差時(shí)各個(gè)指標(biāo)

表2說明，反向推理機(jī)制下得到的靈敏度分析結(jié)果與正向推理是一致的.

4) 應(yīng)用舉例圖5是航空公司2011年1月～9月的安全狀況統(tǒng)計(jì)結(jié)果，9月份的系統(tǒng)安全狀況為好的概率低于警戒值下限，說明該月需對(duì)系統(tǒng)指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化.利用式(10)，計(jì)算將總體安全狀況為好的概率從0.79提升至0.85時(shí)各個(gè)指標(biāo)單獨(dú)調(diào)整所對(duì)應(yīng)的指標(biāo)敏感性系數(shù)，見表3.

因此，優(yōu)化時(shí)應(yīng)按照E，G，F(xiàn)，I，H，J，K，L的

圖5　2011年安全狀況為好的概率分布

指標(biāo)EFGH敏感性系數(shù)0.97560.67640.72200.5029指標(biāo)IJKL敏感性系數(shù)0.65220.49590.42190.3968

優(yōu)先順序進(jìn)行指標(biāo)調(diào)整.實(shí)際上，不可能對(duì)上述所有的指標(biāo)同時(shí)調(diào)整或者只調(diào)整敏感性系數(shù)最大的指標(biāo).因此，需要計(jì)算組合指標(biāo)敏感性.假設(shè)對(duì)各個(gè)指標(biāo)的調(diào)整量為0.05，分別計(jì)算組合E，EG，EFG,EFGI,EFGHI,EFGHIJ,EFGHIJK,EFGHIJKL的敏感性系數(shù)，結(jié)果見表4.

表4　組合指標(biāo)的相應(yīng)調(diào)整量與敏感性系數(shù)

可見，要想以最小的調(diào)整換取最大的安全狀況提升應(yīng)當(dāng)對(duì)嚴(yán)重維修萬(wàn)時(shí)差錯(cuò)率、機(jī)務(wù)報(bào)告故障率以及一般維修萬(wàn)時(shí)差錯(cuò)率3個(gè)指標(biāo)同時(shí)進(jìn)行調(diào)整.含有I,H,J,K,L指標(biāo)的組合靈敏度較低，因此不建議對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化.

5結(jié)束語(yǔ)

本文將基于區(qū)間數(shù)學(xué)與貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的靈敏度分析方法應(yīng)用于航空公司安全質(zhì)量管理體系，采用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)建立指標(biāo)因果關(guān)聯(lián)，結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)通過參數(shù)學(xué)習(xí)確定節(jié)點(diǎn)條件概率，借助區(qū)間數(shù)學(xué)與貝葉斯推理對(duì)安全狀況的概率進(jìn)行推理最終確定了各指標(biāo)的靈敏度.研究結(jié)果可用于確定系統(tǒng)可靠性的主要影響因素并為航空公司提供安全管理決策依據(jù)，因此對(duì)提升航空公司安全質(zhì)量管理的能力，以及推動(dòng)民航業(yè)的健康發(fā)展具有重要意義.在將來(lái)的研究中，考慮基于區(qū)間數(shù)學(xué)與動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)研究靈敏度分析方法.

參 考 文 獻(xiàn)

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中圖法分類號(hào)：U8

doi:10.3963/j.issn.2095-3844.2015.01.037

收稿日期：2014-10-10

SensitivityAnalysisforIndicatorsBasedon
BayesianNetworkandIntervalMathematics

ZHANGMalanLIUJunqiangZUOHongfuXIEJiweiWUJi

(College of Civil Aviation, Nanjing University of

Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China)

Abstract：To meet the requirements of risk identification and reliability engineering proposed by Safety and Quality Management System (SQMS), this paper presents a novel approach to sensitivity analysis by combining Bayesian network with interval mathematics. Firstly, the security status indicators of the airlines are given. Then, Bayesian network is utilized to construct a directed graph for these indicators, and prior knowledge is taken into account for parameters learning to obtain conditional probability table (CPT). After that, interval mathematics and Bayesian bidirectional inference mechanisms are incorporated for the analysis of the interaction between the indicators and the overall security level. Finally, according to the obtained interaction, sensitivity analysis can be achieved to provide a guide for operators to implement risk identification and reliability engineering. A case study is presented to verify the effectiveness of the novel sensitivity analysis method in SQMS for airlines.

Key words：interval mathematics; bayesian network; sensitivity; safety and quality management; reliability

*國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)：61232002)、國(guó)家自然科學(xué)基金委與中國(guó)民用航空總局聯(lián)合項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)：60939003)、中國(guó)博士后面上基金項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)：2012M521081)、中國(guó)博士后基金特別資助項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)：2013T60537)、中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)：NS2014066)、江蘇省博士后基金項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)：1301107C)資助