方程求解的算法情景化

孫學東

算法是對一類問題的機械的、統(tǒng)一的求解方法.解方程是一個由已知推求未知的運算過程，它有較一致的方法和步驟，是算法思想的重要應用.因為方程求解的程序性，學生即便對算理不理解，套套程序，也能夠獲得方程的解，所以日常教學中，方程求解的原理多不受重視.重解方程的“操作性”，輕解方程原理的“理解性”，其后果往往是學生不會選擇合適簡潔的解法，缺少對解法合理性的批判能力，從而也就難以形成用方程解決實際問題的能力.

算法化是我國古代數(shù)學的重要特色[1]，以《九章算術》為例，其內容豐富而且實用性強，以解決生產生活的問題為中心，在解題中給出算法，再根據(jù)算法組建理論體系.顯然，我國古算法即強調融算理于實際情景，在實際情景的應用中演繹算法步驟.初中階段涉及的方程主要是一元一次方程、二元一次方程、分式方程和一元二次方程，本文擬構造幾個實際情景，并分析上述方程在實際情景中的求解過程，以觀察方程求解算法情景化的教學意義.

1 數(shù)學符號的內涵操作凸顯方程算法的思維過程

在學習解一元一次方程時，我們常常會出示下面的情景[2]：

顯然，這是用學具操作來幫助學生理解方程求解的過程，但是學具只是數(shù)字和符號的替代品，操作過程只是對符號操作的檢驗.為讓學生既能感受算法的合理性，也能自覺總結算法步驟，可設置下面的問題情景：

情景1 某手機賣場為了促銷一款價值1950元的手機，允許顧客按月分期付款.顧客首付300元，以后每月支付150元.如果你以按月分期付款的方式購買這款手機，需要多少個月才能付清全部款項？解釋你的解題過程.為了更好的理解題意，你可以先寫出解題的思考步驟，再試著用數(shù)學符號去描述這些步驟.

分析 實際教學中，我們會感覺上述一元一次方程的求解過程是簡單的，只需要讓學生理解并熟練使用“移項（要變號）、合并同類項、化系數(shù)為1”這一程序就行了，設置情景反倒會降低學生的學習注意力，影響課堂的效率.事實上，算法情景化的本意就是讓學生感受程序性的解題過程與生活實際是一致的.這樣處理既能讓學生理解算法程序的合理性，也能提升數(shù)學問題的思維含量，從而讓學生感受數(shù)學學習的內蘊，也為以后分析較困難的實際問題做好了鋪墊.

情景1較前一個情景，雖然不夠直觀，但對于小學時已經接觸過簡單方程的初中生來說，情景1的價值在于它似乎更能在實際問題解決的過程中，讓學生感受方程求解過程的合理性，從而自覺的總結一元一次方程的算法步驟.

2 古算法與方程思想的對比彰顯方程求解過程的現(xiàn)實意義

情景2 七年級某班共有學生32人，參加拔河比賽獲得優(yōu)勝，并得到每箱24瓶的運動飲料6箱作為獎勵.老師打算發(fā)給參加比賽的學生每人6瓶，在旁加油的學生每人若干瓶（少于6瓶），并且能恰好將運動飲料分完.則在旁加油的學生每人可能分到多少瓶？

分析 問題情景中“并且能恰好將運動飲料分完”取決于兩個因素，一個是參加拔河的人數(shù)（或者在旁加油的人數(shù)），另一個是在旁加油的學生每人分得的瓶數(shù).因此，本題是一個有兩個變量，但是只有一個等量關系的不定方程問題.二元一次不定方程的解有無數(shù)組，但是正整數(shù)解只有有限組，因此求得“在旁加油的學生每人可能分到多少瓶”是有可能的.設在旁加油的學生每人分得x瓶，有y個運動員，根據(jù)題意可得方程：（32-y）·x+6y=24×6，

隨著分式方程的不斷化簡，相應的分式方程也越來越體現(xiàn)問題情景的本質內涵.方程求解的算法過程與實際情景的現(xiàn)實意義相輔相成，學生對于問題情景本質的理解所產生的思維震撼也越來越外顯，越來越逼真.

4 情景規(guī)律的背后是方程求解算法原理的豐富

情景4 某地發(fā)生了流感疫情，假如在人群中一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121人患流感.問在每輪傳染中平均每人傳染幾人？

分析 傳染流感的過程中若設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，那么患流感的這個人第一輪傳染后共有（x+1）人患了流感；在第二輪傳染中傳染源是（x+1）人，這些人中每個人又傳染了x人，那么第二輪新傳染了x（x+1）人，于是第二輪傳染后共有（x+1）+x（x+1）人患流感.而（x+1）+x（x+1）因式分解后是（x+1）2，于是這個情景所對應的方程就是（x+1）2=121.

追問：第三輪傳染后患流感的人數(shù)會是（x+1）3嗎？在第三輪傳染中傳染源是（x+1）2人，這些人中每個人又傳染了x人，那么第三輪新傳染了x（x+1）2人，于是第三輪傳染后共有（x+1）2+x（x+1）2人患流感.而（x+1）2+x（x+1）2因式分解后恰是（x+1）3.到此，我們可以大膽地猜測，第n輪后，將有（x+1）n人患了流感.

如果說情景3所體現(xiàn)的是方程求解在化歸過程（逐步變形化簡）中產生的對情景的深入理解，那么情景4則是情景規(guī)律的分析過程中對方程求解的算法原理的不斷豐富.

由以上的情景及分析，我們能發(fā)現(xiàn)，方程求解的算法情景化體現(xiàn)了數(shù)學知識內部的聯(lián)系與一致性，是數(shù)學“求真”、“求美”內蘊的外顯.“情景化”不是“去數(shù)學化”，相反的是讓學生在情景中更理性地分析算法的合理性，同時方程求解中的算法原理及變形過程往往也富含著情景中的現(xiàn)實意義，促使我們對問題情景的不同角度的深入的認識.

參考文獻

[1]王渝生.中國算學史[M].上海：上海人民出版社，200610：18.

[2]聶必凱等.美國現(xiàn)代數(shù)學教育改革[M].人民教育出版社，20106：118.