從“法則是無用的”說開去

蒲大勇

近日，我們在以人教版數(shù)學七年級“有理數(shù)的減法”為課例的“運算能力”研討活動上，一位教師談了自己的觀點：法則是無用的，并強調(diào)法則教學用不著那么“勞神費力”.他曾做過試驗：教學前，用“7-5=？”作測試題，班上所有學生都做對了，但是在教學有理數(shù)減法法則后，再次把此題作為測試題，結果有近20%的學生出錯，包括個別優(yōu)生，當然更有中等生.他分析認為：學生未學有理數(shù)減法法則前，直接用小學的方法解決，用不著“轉化”，對學生而言，這是非常簡單的.而學習有理數(shù)的減法法則后，計算“7-5=？”要經(jīng)歷三步，第一步，用有理數(shù)減法法則把減法轉化為加法，即7-5=7+（-5）；第二步，用有理數(shù)加法法則，先判斷結果的符號，這里用“絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號”，即7-5=7+（-5）=+（ ）；第三步，繼續(xù)用有理數(shù)加法法則，“用較大的絕對值減去較小的絕對值”，即7-5=7+（-5）=+（7-5）=2；在這個過程中，學生經(jīng)歷了“減法改為加法，判斷結果的符號，再回到減法”的過程，可以說整個計算過程由于意義抽象、程序復雜、步驟繁瑣，加上符號干擾，導致學生把以前做得對的簡單題做錯了，這樣看來“法則是無用的”.

我們姑且不討論“法則是否有用”“法則的用處有多大”等問題，先看看什么是法則？在討論法則之前，我們不可回避地說說什么是運算，何謂運算？數(shù)學上，運算是一種行為，通過已知量的可能的組合，獲得新的量.運算的本質(zhì)是集合之間的映射.比如，減法就是從一個數(shù)量中減去另一個數(shù)量的運算；或者說，已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算.又如，乘法是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算.再來看看何謂法則？法則是道家哲學術語，《黃帝四經(jīng)》中說：“道生法.”按照《現(xiàn)代漢語詞典》的解釋，法則是規(guī)律，規(guī)則；具體到運算的法則，是指從運算意義出發(fā)，通過一系列具體實例，抽象概括出具有一般性的、合理的、簡便的運算規(guī)律或運算規(guī)則.法則一般是用文字概括說明運算的方法及步驟，是運算的根據(jù)和操作指令.比如，減法法則“減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”，規(guī)定了在進行減法運算時，所要遵循的一般性規(guī)則.可以說，運算解決“是什么”的問題，法則解決“怎么辦”的問題.進一步地說，法則是一種規(guī)則，它體現(xiàn)某種運算的規(guī)律；法則是一種方法，它體現(xiàn)進行某種運算的具體操作指令；法則是一個結論，它是運算規(guī)律的深化；法則是一個過程，它規(guī)定著運算過程的程序與步驟.那么，法則在運算過程中有怎樣的地位與作用呢？首先，法則是運算的依據(jù).在具體運算過程中，這一步為什么要這樣算，而不能那樣算，算了這一步，接下來又該怎么算，這背后的根據(jù)就是運算法則.只有學生理解、掌握了法則，才能做到算得“有理有據(jù)”.其次，法則可以簡化運算過程.法則是一種操作指令.學生運算時只要按照這個指令具體操作，不用多思考，就能立即作出正確的反應，所以，法則可以簡化運算過程.學生對運算法則掌握得越牢固，運用得越熟練，運算的正確率就越高，速度就越快，因此，運算法則可以說是運算的法寶.第三，法則是學生運算能力發(fā)展的基礎.《數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：運算能力主要是能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力.因此，法則是是學生運算能力發(fā)展的基礎.學生只有在理解、掌握了法則后，才可能正確靈活地進行運算.第四，法則是提升學生數(shù)學素養(yǎng)的有效載體之一.數(shù)學素養(yǎng)是數(shù)學知識、數(shù)學思維、數(shù)學能力、數(shù)學思想、數(shù)學方法的綜合體.法則本身包含數(shù)學知識，展現(xiàn)數(shù)學方法，隱含數(shù)學思想，過程體現(xiàn)數(shù)學思維，學生應用法則的過程就是發(fā)展思維能力、語言表達能力和提高運算能力的過程.

如何進行法則教學呢？從課堂觀察看，法則教學有三重境界，這三重境界可以用一段充滿禪機的語言來概括：看山是山，看水是水；看山不是山，看水不是水；看山還是山，看水還是水.

第一重境界 “看山是山，看水是水”，即鸚鵡學舌，“就法則教學法則”，按照法則規(guī)定的步驟、程序要求學生理解法則、記憶法則、應用法則，在具體應用時要求學生原原本本、一成不變地遵循法則的操作指令進行運算.這種教學境界，學生只能從“形”——法則規(guī)定的操作指令或步驟理解、掌握法則，不能從“神”——法則本身所蘊含的數(shù)學本質(zhì)理解法則，也就不能做到前后數(shù)學知識的融會貫通，更不能從數(shù)學思想的高度引導學生理解、掌握、應用法則.還是以有理數(shù)的減法法則教學為例，處于這種境界的教學，一般都會按照如下步驟進行——

活動一 導入：觀察溫度計上的刻度（一般一個正數(shù)，一個負數(shù)），引導學生比較正數(shù)比負數(shù)多多少.

活動二 推導：通過活動一，得到一個減法算式和一個加法算式，再通過比較減法與加法算式的異同點，特別是減法變?yōu)榧臃ǖ倪^程.

活動三 歸納：在活動二的基礎上，歸納出“減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”這個法則.

活動四 理解：強調(diào)應用有理數(shù)減法法則的步驟、程序.

活動五 鞏固：出示例題、練習題（一般在20個左右）反復操練法則的步驟、程序.

這種教學是一種“知識本位”，以學生“牢記法則”為目的，為達成這個目標通過“練題”來鞏固法則，整個過程忽略了學生思維培養(yǎng)，教師牽著學生思維的鼻子亦步亦趨，學生沒有思考的時間和空間，也就沒有真正的思維活動.當學生再次遇見類似“7-5=？”的計算時，反而不會想起也不敢用小學的方法加以解決，只能“套用”新法則.這種割裂前后知識的聯(lián)系，“只見樹木，不見森林”的做法，只會讓學生感到學習法則的累贅，加重了學生學習的負擔.同時，這種機械模仿、套用法則的做法，也會遏制學生創(chuàng)新能力的發(fā)展，不利于學生的進一步發(fā)展.從這個角度來說，法則的確是無用的.

第二重境界 “看山不是山，看水不是水”，即有法之術，“法則只是個例子”，通過這個例子理清法則所涉及到的前后知識，所蘊含的數(shù)學思想.這種教學境界力求做到“形神兼?zhèn)洹?，學生不僅從“形”上把握法則，更重要的是能從“神”上領會法則，不局限于套用法則，而是能夠依據(jù)法則，靈活選用解決問題的方法.在有理數(shù)的減法法則教學中，不局限于學生對有理數(shù)減法法則的理解、掌握上，會讓學生充分討論如下問題：

問題1 減法的意義是什么？減法與加法有怎樣的關系？（意圖：讓學生理解減法運算的本質(zhì)；通過兩種運算的關系讓學生理解減法與加法互為逆運算）

問題2 舉例解釋小學學習減法的局限性.（意圖：讓學生理解學習有理數(shù)減法的必要性；讓學生理解初中的有理數(shù)減法與小學的減法的聯(lián)系與區(qū)別）

問題3 用多種方法計算“7-5=？”.（意圖：通過學生嘗試多種算法，引導學生理解計算方法的多樣性，再通過比較幾種算法，讓學生選擇合適、簡便的算法）

這種教學以“能力立意”，以法則為鏈條，不僅關注法則，更重要的是從運算入手，注重從減法的意義、減法與加法的關系設計教學；注重疏通法則涉及到的小學與初中的聯(lián)系；注重法則應用的優(yōu)化.整個過程關注學生整體知識的建構，有利于學生認知結構的單元的形成，從而形成結構性知識.當學生再次遇見類似“7-5=？”的計算時，不僅知道應用小學的辦法解決，也知道可以用初中的辦法，更知道用小學的辦法解決更簡單.無論哪種計算方式，法則的“圖式”都會在學生“腦海中”再現(xiàn)，這種有意無意的法則“圖式”的再現(xiàn)，就是法則的“魅力”，從這個角度說，法則是有用的.

第三重境界 “看山還是山，看水還是水”，即無法之境，“跳出法則教學法則”，心中有法則，手中無法則.這種教學境界力求做到“內(nèi)外兼修”，以“育人”為目的，關注學生個體內(nèi)在修養(yǎng)、文化內(nèi)涵的提升，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和應用能力.“法則”這個知識是外在的，僅是學習的一個載體，學習空間由課內(nèi)拓展到課外，學習深度由數(shù)學知識提升到數(shù)學文化，學習過程由知識的傳授演變?yōu)樘骄繑?shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程.在有理數(shù)的減法法則教學中有如下創(chuàng)意設計：

課前：

1.上網(wǎng)收集、整理有關有理數(shù)減法法則的知識；

2.查閱有關文獻，欣賞數(shù)學家探究有理數(shù)減法法則的發(fā)生、發(fā)展過程.

課中：

1.匯報交流課前的整理成果；

2.從有理數(shù)加法與減法的內(nèi)在關系探究有理數(shù)的減法法則；

3.探究有理數(shù)減法法則涉及到的數(shù)學思想；

4.創(chuàng)編運用有理數(shù)減法法則解決實際問題的應用題.

課后：

1.以四人為小組合作開展有關有理數(shù)減法法則的小課題研究；

2.撰寫一篇有理數(shù)減法法則的數(shù)學小論文.

此時的課堂就是“課程”，讓學生充分感知、理解“為什么學、學什么、怎么學、學到什么程度”等哲學問題，學生的學習是一種“內(nèi)源性”學習.這里以關注學生“素養(yǎng)”的提升為核心，既有對資料收集、整理等一般性素養(yǎng)的關照，也有現(xiàn)代人必備的合作交流、研究學習等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)；既有注重學生個體的觀察、辨析、抽象、歸納、推理等學科的基礎性素養(yǎng)培養(yǎng)，也有注重學生追根溯源探究數(shù)學原理、應用數(shù)學知識解決實際問題等學科的發(fā)展性素養(yǎng)塑造.整個過程充分發(fā)揮學生的主觀能動性，問題由學生發(fā)現(xiàn)、辦法由學生提出、法則由學生歸納，教師始終是學生學習的引導者、組織者、服務者，良好學習氛圍的營造者，學生是學習的主動參與者、知識的建構者、自身能力發(fā)展的進步者.此時的法則僅是實施教育教學行為的載體，從這個角度來看，法則既是無用的，也是有用的.

其實，法則教學就是要追求達到藝術境界，要出神入化、應用自如，要從“有法之術”，達到“無法之境”.