貝努利方程的解法及其應用探析

廖玉梅

(貴州師范學院數(shù)學與計算機科學學院，貴州　貴陽550018)

貝努利方程的解法及其應用探析

廖玉梅

(貴州師范學院數(shù)學與計算機科學學院，貴州貴陽550018)

摘要：文章在傳統(tǒng)解法的基礎之上，闡述了常數(shù)變易法、變量代換法和微分法三種貝努利方程的解法，并在此基礎之上，論述了貝努利方程的應用。

關鍵詞：貝努利方程；解法；應用

1、貝努利方程的幾種解法

一般貝努利方程表達式

y′+p(x)y=Q(x)yɑ(ɑ≠0,1)

(1)

對于貝努利方程求解，其傳統(tǒng)方法為假設y1-ɑ=z，帶入(1)式，則得一階線性微分方程，如下

z′+(1-ɑ)p(x)z=(1-ɑ)Q(x)

(2)

在此基礎之上，利用一階非齊次線性微分方程的通解公式，可以得到

z=(1-ɑ)e(1-ɑ)∫p(x)dx[∫Q(x)e(1-ɑ)∫p(x)dxdx+c]

(3)

然后，將y(1-ɑ)=z回代，可以得出貝努利方程的通解表達式為

y(1-ɑ)=(1-ɑ)e(1-ɑ)∫p(x)dx[∫Q(x)e(1-ɑ)∫p(x)dxdx+c] (c為任意常數(shù))

在對貝努利方程的求解過程中，傳統(tǒng)方法相對比較繁雜，在解答中需要借助一階非齊次微分方程的通解。因此，筆者在研究傳統(tǒng)方法的求解過程中，發(fā)現(xiàn)幾種解法，對求解貝努利方程更為便捷?，F(xiàn)具體歸納闡述如下：

1.1常數(shù)變易法

對于貝努利方程，它的齊次方程為

y′+p(x)y=0

(4)

則(4)式通解為

y=c e-∫p(x)dx

(5)

利用常數(shù)變易法，我們可以設

y=c (x)e-∫p(x)dx

(6)

為貝努利方程的解，對(6)式微分可得

y′=c′(x) e-∫p(x)dx-c(x)p(x) e-∫p(x)dx

(7)

現(xiàn)將(6)(7)帶入貝努利方程(1)式中，可得

c-ɑ(x)c′(x)=Q(x) e(1-ɑ)∫p(x)dx

對上式兩端取積分，有

c1-ɑ(x)=(1-ɑ)[Q(x) e(1-ɑ)∫p(x)dxdx+c]

(8)

接下來，由(8)式求出c(x)，并帶入(6)式，即可求得貝努利方程的通解為：

y1-ɑ=(1-ɑ)e(1-ɑ)∫p(x)dx[∫Q(x) e(1-ɑ)∫p(x)dxdx+c]

其中c為任意常數(shù)。

1.2變量代換法

在貝努利方程的求解中，變量代換法也是較為常用的方法之一，具體的變量代換如下：

設貝努利方程的解為

y=u(x)v(x)

(9)

求導可得

y′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)

(10)

并將其帶入貝努利方程中，有

u′(x)v(x)+u(x)[v′(x)+p(x)v(x)]=Q(x)uɑ(x)vɑ(x)

(11)

其中，令v′(x)+p(x)v(x)=0，有

v(x)=e-∫p(x)dx

， (12)

將其帶入(11)式中，可得

u1-ɑ(x)=(1-ɑ)[∫Q(x) e(1-ɑ)∫p(x)dxdx+c]

(13)

所以，可得貝努利方程的通解為

y1-ɑ= (1-ɑ) e(1-ɑ)∫p(x)dx[ ∫Q(x) e(1-ɑ)∫p(x)dxdx+c]

其中c為任意常數(shù)。

1.3微分法

對貝努利方程的兩邊乘以積分因子e∫p(x)dx，可得

e∫p(x)dxy′+e∫p(x)dxp(x)y=Q(x) e∫p(x)dxyɑ

(14)

即

(15)

對(15)兩邊積分，得

[ye∫p(x)dx]1-ɑ=(1-ɑ)∫Q(x) e(1-ɑ)e∫p(x)dxdx+c

(16)

因此，貝努利方程的通解為

其中c為任意常數(shù)。

2、貝努利方程的應用

2.1貝努利方程在氣流管道中的冷卻應用

表1溫差與流體速度間的關系

V2(m/s)20406080100△T(℃)0.783.16.812.419.3

2.2確定壓強和計算流速

貝努利通過實驗，得出了當理想流體在做穩(wěn)定運動時，其流速與壓強間存在這樣的關系：

p+dv2/2+dgh=常量

從表達式我們可以知道，流體的流速越大其壓強反而越小，但兩者之間的關系又并非簡單的反比關系。因此，貝努利方程在確定壓強、計算流速的應用中，具有十分廣泛的應用，且效果顯著。

2.2.1確定靜止液體壓強

如圖1所示，在容器中裝有液體，在靜止的液體里取下點，以及點下方處取點。為了研究的需要，我們將處的水平面作為零勢面。那么，

hA=h,hB=0,pA=p0

此外，在容器中的液體處于靜止狀態(tài)，這也就說明，

v1=v2=0

于是，帶入到貝努利方程之中可得，

pB=pA+dgh=p0+dgh

這樣一來，便可以計算出靜止液面下，某深度處的壓強，在實際生產生活中具有較為重要的應用價值。

圖1　　　　　　　圖2

2.2.2計算液體流速

如圖2所示，在盛有液體的容器中，在距離液面處的點，有以小孔(相比于容器截面，小孔的截面要小得多)。因此，在液體從小孔處流出的過程中，容器液面的下降速度很緩慢。也就是說，處液體微粒的流速可以忽略不計(即vA=0)。與此同時，我們將B處作為零勢點，即hA=h,hB=0,液體中的A、B兩點，均與外部大氣先接觸，那么其壓強時一樣的，即pA=pB=p0。

因此，將數(shù)值帶入到貝努利方程之中，我們可以得出：

參考文獻：

[1]張波漢，譚千蓉·高等數(shù)學[M].第2版，成都：西南交通大學出版社，2008.

[2]王瑋·關于一階線性常微分方程常數(shù)變易法的要點注記[J].嘉興學院，2011(03).

[3]華東師范學學數(shù)學系·高等數(shù)學(上冊)[M].上海：華東師范大學出版社，1998.

(責任編輯：王德紅)

收稿日期：2015-03-12

基金項目：貴州省教育科學規(guī)劃立項課題(項目編號：2013A062)中期成果。

作者簡介：廖玉梅(1980～)女，湖南衡陽人，貴州師范學院數(shù)學與計算機科學學院講師，碩士。研究方向：微分方程及其應用。

中圖分類號：O175

文獻標識碼：A

文章編號：1673-9507(2015)03-0127-02

Analysis on Solving Methods and Application of Bernoulli Equation

Liao Yumei

(School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal College, Guiyang550018, Guizhou , China)

Abstract：Based on traditional solving methods, this thesis conducts three solving methods of Bernoulli Equation, such as method of constant variation, method of variable substitution and differnetial method. In addtion, the thesis also carries a discussion on the application of Bernoulli Equation.

Key words:Bernoulli Equation, solving methods, application