淺談如何上好高等數(shù)學(xué)的第一堂課

俞美華

（東南大學(xué)成賢學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇 南京210088）

1 高等數(shù)學(xué)的重要性

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)新生在一年級(jí)必修的一門(mén)基礎(chǔ)課程，高等數(shù)學(xué)即微積分，它的建立具有劃時(shí)代的意義，它對(duì)科技的進(jìn)步和發(fā)展具有極大的推動(dòng)作用。它是學(xué)生走上工作崗位的必備工具。它不僅是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)課程，比如線性代數(shù)，概率統(tǒng)計(jì)，復(fù)變函數(shù)等課程的基礎(chǔ)，也是以后學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程的基礎(chǔ)，它同時(shí)還是研究生入學(xué)考試的必考科目。另外，高等數(shù)學(xué)還可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

2 高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象與研究思想

高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象仍然是函數(shù)，但是它研究的是變量，即函數(shù)的變化趨勢(shì),而初等函數(shù)也研究函數(shù)，但是它研究的是常量，對(duì)于函數(shù)y=ax2+bx+c，初等數(shù)學(xué)主要是討論該函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線的開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)等，而高等數(shù)學(xué)主要討論該函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)，y趨向于什么？也就是討論一個(gè)變化趨勢(shì)；當(dāng)然高等數(shù)學(xué)會(huì)研究復(fù)雜一點(diǎn)的函數(shù)，比如分段函數(shù)，研究分段函數(shù)在分界點(diǎn)的變化趨勢(shì)。

高等數(shù)學(xué)的思想，即極限的思想，也可以稱(chēng)為是無(wú)窮小分析，高等數(shù)學(xué)研究的是函數(shù)的變化趨勢(shì)，如何討論這種變化趨勢(shì)呢？那就要用到極限的思想，極限的思想貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)，極限是討論函數(shù)的極限，討論當(dāng)自變量進(jìn)行某種變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)；自變量變化趨勢(shì)不一樣，函數(shù)值的變化趨勢(shì)可能就不相同，所以，討論函數(shù)極限時(shí)一定要注意自變量的變化情況，比如下面兩個(gè)極限：,,可見(jiàn)，同一個(gè)函數(shù)，在x→0時(shí)，是無(wú)窮大，在x→∞時(shí)，是無(wú)窮小，同一個(gè)函數(shù)在不同的自變量的變化下，它的極限可能是不相同的。

3 高等數(shù)學(xué)（即微積分）的發(fā)展歷程

高等數(shù)學(xué)的整個(gè)內(nèi)容可以用三個(gè)字來(lái)概括，即微積分。微積分是在數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾運(yùn)動(dòng)和數(shù)學(xué)外部的科學(xué)數(shù)學(xué)化的相互作用下，在當(dāng)時(shí)所處時(shí)代背景和數(shù)學(xué)發(fā)展的主流思想支配與指導(dǎo)下，經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的孕育、創(chuàng)立、演變與發(fā)展的歷史過(guò)程。微積分即微分學(xué)與積分學(xué)，早期，微分學(xué)與積分學(xué)是兩門(mén)獨(dú)立的學(xué)科，微分學(xué)是與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的，導(dǎo)數(shù)是來(lái)源于求曲線的切線斜率以及求即時(shí)速度的實(shí)際問(wèn)題；定積分是來(lái)源于求曲邊梯形的面積的實(shí)際問(wèn)題，定積分的思想很好，它可以用一個(gè)和式的極限來(lái)求得一些未知量；但是它的計(jì)算卻相當(dāng)麻煩，大約在17世紀(jì)，英國(guó)科學(xué)家牛頓與德國(guó)科學(xué)家萊布尼茲先后找到了簡(jiǎn)便計(jì)算定積分的方法，即牛頓-萊布尼茲公式，該公式將定積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問(wèn)題，而求原函數(shù)即求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算，同時(shí)也將積分與微分統(tǒng)一起來(lái)了，自此，微分學(xué)與積分學(xué)就合二為一，也就有了微積分。微積分學(xué)的產(chǎn)生具有劃時(shí)代的意義，20世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家約翰.馮.諾伊曼在論述微積分時(shí)寫(xiě)道：“微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)取得的最高成就，對(duì)它的重要性怎樣估計(jì)也是不會(huì)過(guò)分的?！边@也稱(chēng)為第一代微積分，第一代微積分，原理的表達(dá)與證明不夠嚴(yán)謹(jǐn)。第一代微積分大約發(fā)展了130多年后，柯西和魏爾斯特拉斯等建立了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論，鞏固了微積分的基礎(chǔ)，形成了第二代的微積分，微積分的理論變得嚴(yán)謹(jǐn)了，但是，由于概念和推理繁瑣迂回，對(duì)絕大多數(shù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，不容易理解，到現(xiàn)在為止已經(jīng)發(fā)展了170多年，就是我們今天學(xué)習(xí)的微積分。第三代的微積分，是正在創(chuàng)建發(fā)展的新一代的微積分，人們希望微積分不但嚴(yán)謹(jǐn)，而且直觀易懂，簡(jiǎn)易明快，讓學(xué)習(xí)者用較少的時(shí)間和精力就能夠明白其原理，國(guó)內(nèi)外都有人在從事第三代微積分的研究以至教學(xué)實(shí)踐，已經(jīng)有了一些成績(jī)，但是還有待完善，不便于推廣，所以，我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的還是第二代的微積分。

4 高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容

高等數(shù)學(xué)主要研究函數(shù)的三大分析性質(zhì)，即連續(xù)性，可導(dǎo)性，可積性，都是通過(guò)極限的思想來(lái)討論的。高等數(shù)學(xué)分上下兩冊(cè)，上冊(cè)討論的函數(shù)是一元函數(shù)（只有一個(gè)自變量的函數(shù)），主要討論一元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的概念、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，一元函數(shù)的定積分等；下冊(cè)討論的函數(shù)是多元函數(shù)（含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量的函數(shù)），主要討論多元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分的概念及其計(jì)算，還研究二重積分與三重積分，曲線積分與曲面積分等，另外，還有兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的章節(jié)，即無(wú)窮級(jí)數(shù)與微分方程。無(wú)窮級(jí)數(shù)被認(rèn)為是高等數(shù)學(xué)中的最難學(xué)的一個(gè)章節(jié)。

5 總結(jié)

本文主要從四個(gè)方面來(lái)闡述如何上好高等數(shù)學(xué)的第一堂課，即高等數(shù)學(xué)的重要性，高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象與研究思想，高等數(shù)學(xué)（微積分）的發(fā)展歷程，高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容。通過(guò)以上內(nèi)容的介紹使得學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)（微積分）的發(fā)展歷史以及高等數(shù)學(xué)的思維方法有個(gè)大致的了解，同時(shí)對(duì)高等數(shù)學(xué)這門(mén)課程的重要性也有清醒的認(rèn)識(shí)，因而能夠激發(fā)他們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情，使得他們能夠喜歡高等數(shù)學(xué)并且進(jìn)一步地學(xué)好高等數(shù)學(xué)。

［1］袁相碗.微積分基本方法[M].南京:南京大學(xué)出版社,2010.

［2］[美]William Dunham.微積分的歷程：從牛頓到勒貝格[M].李伯民,汪軍,張懷勇,等,譯.北京:人民郵電出版社,2010.

［3］張景中.直來(lái)直去的微積分[M].北京:科學(xué)出版社,2010.

［4］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].5版.北京:高等教育出版社,2012.