分布函數(shù)列的一致收斂性*

邢家省，楊義川

(1.北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，北京 100191；2.北京航空航天大學數(shù)學、信息與行為教育部重點實驗室,北京 100191)

判斷函數(shù)列的一致收斂性是經(jīng)典數(shù)學分析中的重要課題.奧斯古德定理和狄尼定理是判斷函數(shù)列一致收斂的一個充分條件，在數(shù)學分析中是常用定理.狄尼定理的另一種形式在數(shù)學分析中一般不作為定理，人們在使用它時不得不重復(fù)證明.筆者將對狄尼定理的另一種形式的結(jié)果給出證明，并將此結(jié)果應(yīng)用于分布函數(shù)列的一致收斂性研究.對于隨機變量序列的分布函數(shù)列的收斂性，以往僅著重于弱收斂性，而對于一致收斂性的重視不夠.在實際應(yīng)用中，分布函數(shù)列的一致收斂性是需要的，特別是要為近似計算提供理論依據(jù).

1 狄尼定理的另一種形式

定理1[1-7]設(shè)函數(shù)序列{fn(x)}在[a,b]上逐點收斂于函數(shù)f(x),若f(x)在[a,b]上連續(xù)，且對于每個n,fn(x)都是[a,b]上的單調(diào)函數(shù),則 {fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x).

|fn(x)-f(x)|≤ |fn(x)-fn(xi)|+|fn(xi)-f(xi)|+|f(xi)-f(x)|≤

|fn(xi+1)-fn(xi)|+2ε≤|fn(xi+1)-f(xi+1)|+

|f(xi+1)-f(xi)|+|f(xi)-fn(xi)|+2ε<5ε，

即{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x).

2 隨機變量序列的分布函數(shù)列的一致收斂性

Fn(-M)≤|Fn(-M)-F(-M)|+F(-M)<2ε，

1-Fn(M)=1-F(M)+F(M)-Fn(M)<2ε.

因此，對于x<-M，若n≥N1，則

|Fn(x)-F(x)|≤|Fn(x)|+F(x)≤Fn(-M)+F(-M)<3ε.

同樣地，對于x>M，若n>N1，則

|Fn(x)-F(x)|=|(1-Fn(x))-(1-F(x))|≤|1-Fn(x)|+|1-F(x)|≤

1-Fn(M)+1-F(M)<3ε.

已知F(x)在[-M,M]上連續(xù)，由于Fn(x)都是[-M,M]上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此由定理1可知{Fn(x)}在[-M,M]上一致收斂于F(x).對于上述ε，存在正整數(shù)N(N>N1)，當n>N時，對于?x∈[-M,M]，|Fn(x)-F(x)|<ε.綜上所述，{Fn(x)}在(-∞,+∞)上一致收斂于F(x).

3 中心極限定理結(jié)果的進一步表述

中心極限定理是概率論中的重要結(jié)果，但往往僅表述為“分布函數(shù)列的點點收斂”，這對于近似計算理論是不夠用的，應(yīng)表述為“分布函數(shù)列的一致收斂”這樣的深刻結(jié)果，才能為近似計算提供嚴密的理論依據(jù).

4 t-分布的隨機變量序列的極限分布直接證明方法

t-分布的隨機變量序列的極限分布是正態(tài)分布，這個結(jié)果是熟知的且有多種證明方法，但某些證明方法利用的知識較多，過于復(fù)雜.現(xiàn)給出2種直接證明方法.

關(guān)于x∈(-∞,+∞)是一致的.

5 隨機變量序列收斂實例

參考文獻：

[1] 黃玉民,李成章.數(shù)學分析(下冊)[M].2版.北京:科學出版社,2007:518-556.

[2] 華羅庚.高等數(shù)學引論(第二冊)[M].王 元,校.北京:科學出版社,2009:129-133.

[3] 裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社,2002:819-831.

[4] 常庚哲,史濟懷.數(shù)學分析教程(下冊) [M].北京:高等教育出版社,2003:344-359.

[5] 陳紀修,於崇華,金 路.數(shù)學分析(下冊)[M].2版.北京:高等教育出版社,2003:379-405.

[6] 菲赫金哥爾茨.微積分學教程(第二卷)[M].8版.北京:高等教育出版社,2006:578-617.

[7] 卓里奇.數(shù)學分析(第二卷)[M].4版.北京:高等教育出版社,2006:373-380.

[8] 梁之舜,鄧集賢,楊維權(quán),等.概率論及數(shù)理統(tǒng)計(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2002:282-315.

[9] 魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社,1983:193-219.

[10] 李賢平.概率論基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,1987:251-323.

[11] 茆詩松,程依明,濮嘵龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社,2004:218-239.

[12] 邢家省,馬 健.概率統(tǒng)計教程[M].北京:機械工業(yè)出版社,2015:197-189.

[13] 李錄書.t-分布以標準正態(tài)分布為極限的一個證明[J].零陵師專學報(自然科學版),1985(1):4-6.

[14] 楊 潔,李兆庚.關(guān)于t分布的極限分布為標準正態(tài)分布的證明[J].石油化工高等學校學報,1994,7(3):78-80.

[15] 斯日古楞.t—分布收斂于標準正態(tài)分布的幾種證明方法[J].內(nèi)蒙古師大學報(自然科學(漢文)版),2001,30(4):303-306.

[16] 王 娟.t分布密度函數(shù)之性質(zhì)[J].淮陰工學院學報,2007,16(5):15-21.

[17] 曾 珍,張 宇.χ2分布、t分布、F分布與正態(tài)分布間的關(guān)系[J].湖北師范學院學報(自然科學版),2015,35(3):62-66.

[18] 邢家省,楊義川,王擁軍.函數(shù)列的廣義積分的極限定理及其應(yīng)用[J].吉首大學學報(自然科學版),2016,37(6):1-9.

[19] 邢家省,楊義川,王擁軍.函數(shù)列的黎曼積分的極限定理及其應(yīng)用[J].四川理工學院學報(自然科學版),2017,30(3):73-78.

[20] 高建全,邢家省,楊義川.兩無窮區(qū)間上廣義積分交換次序定理[J].河南科學,2017,35(6):845-851.