高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問(wèn)題研究

孫國(guó)

【摘要】高中數(shù)學(xué)與我們的生活息息相關(guān)，隨著教育改革的不斷深入，高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用題受到廣泛關(guān)注，尤其在江蘇高考中是每年必考的題型，而求應(yīng)用題的最值問(wèn)題又是高中應(yīng)用題的常見(jiàn)題型，因此，對(duì)高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用題的最值問(wèn)題展開(kāi)研究具有重要意義。本文對(duì)高中數(shù)學(xué)中解應(yīng)用題的步驟做出歸納，總結(jié)應(yīng)用題中求最值的常見(jiàn)類型，對(duì)如何利用數(shù)學(xué)模型來(lái)求應(yīng)用題中的最值做出詳細(xì)解釋，旨在為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供理論依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 應(yīng)用題 最值問(wèn)題 數(shù)學(xué)模型

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）12-0116-02

我國(guó)的課程改革對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的要求不斷提高，為響應(yīng)新課改的要求，高中數(shù)學(xué)老師對(duì)教學(xué)模式進(jìn)行改進(jìn)，在教學(xué)中逐漸重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行能力培養(yǎng)，雖然取得了一定進(jìn)步，但是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中還是存在很多問(wèn)題。高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中求最值的問(wèn)題一直是高中學(xué)生的弱點(diǎn)，阻礙學(xué)生成績(jī)進(jìn)步，因此，掌握求最值的方法，熟練解決應(yīng)用題對(duì)學(xué)好高中數(shù)學(xué)至關(guān)重要。

一、解應(yīng)用題的步驟

（一）審題

審題是做應(yīng)用題的第一步，看懂題意才能開(kāi)始做題。

首先，分層次。高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字比較多，背景較復(fù)雜，所以，學(xué)生首先要做的是將題目的層次劃分出來(lái)，突出重點(diǎn)，能夠幫助學(xué)生更快理解題意。

其次，找關(guān)鍵詞。學(xué)生要認(rèn)真閱讀題目，學(xué)會(huì)在冗長(zhǎng)的文字中找出關(guān)鍵性的詞語(yǔ)，例如，“利潤(rùn)最大化”，“最小距離”，“最優(yōu)方案”等詞匯。尤其要注意數(shù)字信息，大部分?jǐn)?shù)字在之后的列式中會(huì)被利用起來(lái)。

最后，找關(guān)系。學(xué)生要找出數(shù)字和關(guān)鍵詞的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將所有的關(guān)鍵條件串聯(lián)起來(lái)，弄清題意，這一步是審題的關(guān)鍵。

（二）建立數(shù)學(xué)模型

高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解答必須要利用數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行。利用高中階段學(xué)到的知識(shí)構(gòu)建最適合題目的數(shù)學(xué)模型是快速高效解答應(yīng)用題的重要途徑。高中數(shù)學(xué)涉及到的知識(shí)廣泛，其中函數(shù)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，也是高考的必考點(diǎn)，因此，學(xué)會(huì)構(gòu)建函數(shù)模型是學(xué)生做應(yīng)用題的基礎(chǔ)。除函數(shù)的知識(shí)外，要做好數(shù)學(xué)應(yīng)用題，學(xué)生還要掌握不等式、數(shù)列等內(nèi)容。數(shù)學(xué)模型的種類要根據(jù)具體情況對(duì)題目進(jìn)行分析才能確定，分析方法有很多種，例如，關(guān)系分析法是通過(guò)分析各關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系來(lái)建立模型；列表分析法是指將題目中所給的條件用表格更直觀的表示出來(lái)；圖像分析法是指對(duì)題中所給的圖像進(jìn)行分析。

（三）利用模型求解

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的目的是將題目中的信息用所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)進(jìn)行整合，從而求出答案。在對(duì)模型求解的過(guò)程中需要用到很多公式來(lái)對(duì)原始的式子進(jìn)行變化推理。這個(gè)過(guò)程要求學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)要扎實(shí)，掌握課本中的公式和定理并學(xué)會(huì)運(yùn)用。

（四）還原

求解后，將得到的答案運(yùn)用到應(yīng)用題中，得出最后結(jié)論，完成應(yīng)用題的解答。在此過(guò)程中，我們還需要多關(guān)注實(shí)際問(wèn)題背景，注意應(yīng)用題中變量的實(shí)際范圍，因此，在還原時(shí)，我們要注意檢驗(yàn)，既要檢驗(yàn)所得結(jié)果是否適合數(shù)學(xué)模型，也要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合實(shí)際問(wèn)題的要求。

二、高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中常見(jiàn)的求最值的類型

函數(shù)型。高中的函數(shù)分為基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)以及分段函數(shù)，其中復(fù)合函數(shù)在高考中最為常見(jiàn)。復(fù)合函數(shù)求最值，要利用公式、定理、換元法等方法將復(fù)合函數(shù)變化出基本初等函數(shù)的形式，降低難度，再根據(jù)函數(shù)的圖形和性質(zhì)求出最值。

如以下例題：

例1：當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，求函數(shù)y=x2-2x-3的最大值和最小值。

例2：求y=sin2x-2cos2x+3的最大值。

例3：求y=2sinx（2cosx+sinx）-3的最大值。

不等式型。這類題型是以不等式的基本性質(zhì)來(lái)構(gòu)建題型的， 在求最值時(shí)，可用線性規(guī)劃法來(lái)解題。

例1：設(shè)x，y滿足約束條件3x-y-6≤0x-y+2≥0x≥0，y≥0

若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12，則+的最小值為（ ）。

數(shù)列型。等差、等比數(shù)列的求和公式是這類題型考察的重點(diǎn)。在解決這類題目時(shí)，可利用求導(dǎo)法或作差法求出最值。

例1：數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=，則數(shù)列{an}中的最大值是________。

綜合型。這類題型是將多個(gè)模塊的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái)考察，同樣，解題時(shí)也要運(yùn)用多種方法來(lái)求最值。

三、如何利用數(shù)學(xué)模型來(lái)求應(yīng)用題中的最值問(wèn)題

解應(yīng)用題時(shí)，如何將應(yīng)用題中的有效信息提取出來(lái)，并結(jié)合數(shù)學(xué)語(yǔ)言建立數(shù)學(xué)模型是重難點(diǎn)。以下內(nèi)容通過(guò)具體的例子來(lái)進(jìn)行分析。

例2 某公司要租寫(xiě)字樓，需要的寫(xiě)字樓有可能為10層以上，每一層為2000平方米，公司的租用預(yù)算為20600000元人民幣，當(dāng)層數(shù)大于或等于10時(shí)，每一平米要化肥（560+48x）元。若要保證每平米的綜合花費(fèi)最低，公司該租用多少層？（綜合費(fèi)用=購(gòu)地費(fèi)+建筑費(fèi)）

解：f（x）=（560+48x）+（2160×1000）/2000x

=560+48x+10800/x （x≥10）

用基本不等式來(lái)求最值，得出 f（x）min=2000

當(dāng)且僅當(dāng)10800/x=48x時(shí)，等號(hào)成立，求出x=15

答：該公司應(yīng)該租用15層寫(xiě)字樓才能夠保證每平米的綜合花費(fèi)最少。

以上解題過(guò)程為，先審題，弄清每平方米的綜合費(fèi)用與什么因素有關(guān)，選出題中的重要數(shù)據(jù)，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用基本不等式法來(lái)求最值，將得出的結(jié)果還原到應(yīng)用題中，寫(xiě)出答案。

總之，高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題難度較大，要求高中學(xué)生必須掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，嚴(yán)格按照解應(yīng)用題的步驟進(jìn)行解題，先仔細(xì)審題，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型來(lái)將文字轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)語(yǔ)言，再選出最合適的方法求出最值，將答案還原到應(yīng)用題中。只有這樣，才能夠突破應(yīng)用題的難關(guān)，提高數(shù)學(xué)成績(jī)。

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