大跨度柱殼屋蓋基于半無矩理論簡(jiǎn)化計(jì)算方法研究＊

白志強(qiáng)，劉 元

（1.濰坊學(xué)院，山東 濰坊 261061；2.中國(guó)建筑標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)研究院有限公司，北京 100048）

柱殼由于其良好的受力性能，在船舶工業(yè)中應(yīng)用較為廣泛，關(guān)于柱殼的受力分析，很多學(xué)者基于經(jīng)典彈性力學(xué)理論，對(duì)柱殼的解析解法進(jìn)行了積極的探索［1-2］。近幾十年來，殼體結(jié)構(gòu)在建筑中的應(yīng)用愈加廣泛，尤其是球面網(wǎng)殼、扁網(wǎng)殼等鋼網(wǎng)格結(jié)構(gòu)在大跨建筑中應(yīng)用日趨成熟。而對(duì)于混凝土柱殼結(jié)構(gòu)的應(yīng)用比較少，因此，積極探索混凝土柱殼結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化分析方法對(duì)推動(dòng)柱殼結(jié)構(gòu)在工程實(shí)踐中的應(yīng)用是非常必要的。

薄壁柱殼由于其在縱向曲率為零，在計(jì)算、設(shè)計(jì)、制造及施工過程中比雙曲扁殼結(jié)構(gòu)要簡(jiǎn)單方便的多，這也是環(huán)向開敞的柱殼可應(yīng)用于各種工業(yè)與民用大跨度結(jié)構(gòu)中的優(yōu)勢(shì)之一。一般來講，頂蓋柱殼的計(jì)算是相當(dāng)繁瑣的，但對(duì)于薄壁柱殼，面內(nèi)次要方向的彎矩應(yīng)力相對(duì)于其他應(yīng)力分量很小，可以忽略，可考慮半無矩理論的簡(jiǎn)化方法進(jìn)行計(jì)算。單建［3］以結(jié)構(gòu)力學(xué)桿系結(jié)構(gòu)為例，分析了無矩解法的誤差問題。徐烈煊［4］采用半無矩理論簡(jiǎn)化分析方法計(jì)算了直線邊帶有直梁的柱殼結(jié)構(gòu)受力，并與Donnell彎曲理論和Schorer簡(jiǎn)化理論所得結(jié)果進(jìn)行了比較。本文基于弗拉索夫提出的半無矩理論，求解一對(duì)邊簡(jiǎn)支的柱面薄殼屋蓋結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移，并與有限元分析結(jié)果進(jìn)行了比較。

如果圓柱殼的直線邊長(zhǎng)度a與圓柱殼在水平面內(nèi)的投影寬度b 之比大于1.5，縱向荷載q1=0，環(huán)向荷載q2及法向荷載q3都只沿環(huán)向變化，即可按半無矩理論簡(jiǎn)化計(jì)算。半無矩理論是丹尼爾彎曲理論基本假設(shè)的進(jìn)一步簡(jiǎn)化：1）在垂直于母線方向橫截面上，彎矩和扭矩可以忽略（M1=M12=0）；2）不計(jì)中面的環(huán)向線應(yīng)變和切應(yīng)變，也就是取ε2=ε12=0，并且不計(jì)環(huán)向曲率的改變，即x2=0（于是α為常量的橫截面的中線不變形，而且保持垂直于縱線）；3）忽略泊松比的影響，即μ=0。

1 柱殼半無矩簡(jiǎn)化分析方法的基本方程［5］

圓柱殼的尺寸如圖1所示：

圖1 柱殼坐標(biāo)及符號(hào)

引入無量綱坐標(biāo)：

圓柱殼在q1q2q3作用下的平衡微分方程可以寫成：

由物理方程及幾何方程得出方程如下：

圖2 柱殼微分單元受力

而邊界條件可以表示為：

基于之前的假定，殼體橫截面上的正應(yīng)力和直梁橫截面上的彎曲應(yīng)力一樣，和截面的M 成正比。此柱殼橫截面彎矩圖沿縱向呈拋物線變化（見圖2），故M 正于與（α2-α12），也就正比于（ξ2-）。由于柱殼橫截面上的M1已經(jīng)假定為零，可見上述的M 只與FT1即δσ1的合成，而

其中f（φ）=C1φ3+C2φ2+C3φ+C4。

將FT1表達(dá)式代入基本方程，結(jié)合邊界條件可得出：

此處，由于C6C7C8為待定常數(shù)，已起到附加常數(shù)的作用，故積分式的附加常數(shù)可以取零。

柱殼中面位移的表達(dá)式為：

八個(gè)待定常數(shù)C1至C8可以由邊界條件完全確定。在對(duì)稱荷載作用下，q2（φ）是φ 的奇函數(shù)，q3（φ）是φ 的偶函數(shù)，因而u，ω，F(xiàn)T1，F(xiàn)T2，M2是φ 的偶函數(shù)，而υ，F(xiàn)T12，F(xiàn)S2是φ 的奇函數(shù)，這時(shí)有C1=C3=C5=C7=0，只需由四個(gè)方程求C2，C4，C6，C8。若在反對(duì)稱荷載作用下，同理可利用上述性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算相應(yīng)四個(gè)待定常數(shù)C1，C3，C5，C7。對(duì)于一般荷載，可分解成對(duì)稱和反對(duì)稱荷載，疊加求之。

2 算例分析

圓柱殼屋面，厚度0.15m，拱的半徑為20.0m 的圓曲線，長(zhǎng)度分別取為36m 和60m（對(duì)應(yīng)的，半圓心角30°，側(cè)向長(zhǎng)邊方向鉸支，曲邊自由，密度2500kg／m3，C30混凝土，材料彈性模量30GPa，試分析其在自重作用下的內(nèi)力以及變形情況。

在屋蓋自重作用下，自重荷載為對(duì)稱荷載，滿足以上敘述的簡(jiǎn)化求解條件。

按半無矩理論簡(jiǎn)化方法求得跨中柱殼頂點(diǎn)處（α=β=0）的平行直線邊的內(nèi)力FT1和徑向位移ω。

同時(shí)，采用ansys軟件建立有限元模型，兩簡(jiǎn)支端曲梁采用beam4單元模擬，柱殼屋蓋采用shell181單元模擬，考慮泊松比為0.2，在cylindrical坐標(biāo)系下，得到跨中柱殼頂點(diǎn)的平行直線邊的內(nèi)力FT1和徑向位移ω。結(jié)果見表1。

表1 兩種計(jì)算方法所得FT1和ω

3 結(jié)果分析

通過以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，對(duì)應(yīng)沿母線方向的FT1值，半無矩理論算得的結(jié)果值比有限元算的的結(jié)果均偏大，跨度為36m 的結(jié)構(gòu)運(yùn)用半無矩理論的計(jì)算結(jié)果大了近60%，F(xiàn)T1大了跨度為60m 的柱殼結(jié)構(gòu)結(jié)果偏大了一倍。主要原因在于采用半無矩理論簡(jiǎn)化計(jì)算時(shí)，過多的近似 （不考慮泊松比，不考慮環(huán)向應(yīng)變等）使得計(jì)算結(jié)果過于保守。

同時(shí)在進(jìn)行徑向位移計(jì)算的過程中，由于半無矩理論運(yùn)用的前提假定，使得中性面不發(fā)生變形，頂點(diǎn)處的最大位移為-0.0293m 和-0.2260，而ansys分析結(jié)果同位置處的位移為0.0182m 和0.01677m（沿徑向背向圓心）。但由于在有限元建模過程中，材料屬性采用各向同性材料模擬，在計(jì)算過程中考慮了環(huán)向切應(yīng)變和環(huán)向線應(yīng)變，考慮了環(huán)向曲率的改變，因此變形結(jié)果在柱殼頂點(diǎn)有沿徑向背向圓心方向的位移，在柱殼的直線邊界處，沿徑向的位移最大，分別達(dá)到-0.172m 和-0.282m （方向沿徑向指向圓心）。如圖3、圖4所示。

圖3 36m 跨柱殼處截面的變形

圖4 60m 跨柱殼處截面的變形

從結(jié)果比較來看，基于半無矩理論的簡(jiǎn)化方法FT1計(jì)算結(jié)果較之?dāng)?shù)值計(jì)算結(jié)果明顯偏大；位移計(jì)算結(jié)果盡管在同一個(gè)數(shù)量級(jí)內(nèi)，但由于簡(jiǎn)化方法在計(jì)算過程中忽略了環(huán)向線應(yīng)變和切應(yīng)變，同時(shí)忽略環(huán)向曲率等過多的近似，使得計(jì)算的位移變形形態(tài)和有限元實(shí)體建模分析所得的變形結(jié)果又較大的差異，而有限元的變形趨勢(shì)基本符合實(shí)際的受力特點(diǎn)，有柱殼弧線被 “壓扁”的趨勢(shì)，如圖5和圖6。

圖5 36m 跨柱殼的變形云圖

圖6 60m 跨柱殼的變形云圖

4 結(jié)論

（1）通過比較兩種方法所得的結(jié)果，可得知基于半無矩理論的簡(jiǎn)化計(jì)算所得跨中頂點(diǎn)處內(nèi)力值FT1結(jié)果與數(shù)值分析方法結(jié)果保持在一個(gè)數(shù)量級(jí)之內(nèi)，簡(jiǎn)化方法所得結(jié)果偏保守。計(jì)算的徑向位移變形分布與數(shù)值分析結(jié)果有明顯差異。由于數(shù)值分析計(jì)算結(jié)果并沒有過多的近似假定，ansys建模過程中，選擇各構(gòu)件模擬單元時(shí)，盡可能地反映各構(gòu)件的實(shí)際受力特點(diǎn)，因此有限元分析結(jié)果能夠較精確地反映柱殼結(jié)構(gòu)實(shí)際受力情況和變形情況。

（2）基于本文的分析可知，半無矩理論的分析結(jié)果與有限元分析結(jié)果存在明顯偏差，建議在概念設(shè)計(jì)階段可通過半無矩理論簡(jiǎn)化方法近似估計(jì)FT1的受力及ω 的取值，在精細(xì)分析階段，應(yīng)對(duì)誤差足夠重視；對(duì)于兩端簡(jiǎn)支柱殼結(jié)構(gòu)的精確計(jì)算，有限元分析方法應(yīng)作為首選方法。

［1］王燕舞.對(duì)稱雙圓弧柱殼強(qiáng)度及穩(wěn)定性解析計(jì)算方法研究［D］.哈爾濱工程大學(xué)，2004.

［2］姚文.圓柱殼結(jié)構(gòu)在非均勻荷載作用下的強(qiáng)度分析［D］.哈爾濱工程大學(xué)，2007.

［3］單建，宋九祥.結(jié)構(gòu)力學(xué)中擬無矩狀態(tài)的計(jì)算問題［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2005，27（1）：70-71.

［4］徐烈煊.圓柱殼的半無矩理論分析［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，26（1）：72-75.

［5］徐芝綸.彈性力學(xué)（上冊(cè)）［M］.4版.北京：高等教育出版社，2006：301-330.