Matlab在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用＊

陸述田

（濰坊學(xué)院，山東 濰坊 261061）

Matlab數(shù)學(xué)應(yīng)用工具箱是一套建立于Matlab數(shù)值計(jì)算環(huán)境的統(tǒng)計(jì)分析工具，功能強(qiáng)大，能夠支持廣泛的統(tǒng)計(jì)計(jì)算、工程計(jì)算及科學(xué)統(tǒng)計(jì)和圖像繪制等功能，并且工具箱中的命令調(diào)用格式極為簡(jiǎn)單方便，分為數(shù)值計(jì)算函數(shù)和交互式圖形工具函數(shù)兩類。工具箱由一些函數(shù)組成，可以通過(guò)命令行或自己的應(yīng)用程序來(lái)調(diào)用這些函數(shù)，其中很多函數(shù)為Matlab的M 文件，這些文件由一系列實(shí)現(xiàn)特殊統(tǒng)計(jì)計(jì)算的語(yǔ)句構(gòu)成。工具箱所提供的第一類工具是一些能夠通過(guò)圖形用戶界面（GUI）來(lái)使用的交互式圖形工具，這些基于GUI的工具也為多項(xiàng)式擬合和預(yù)測(cè)以及概率函數(shù)分布提供環(huán)境，通過(guò)使用工具箱了解Matlab后可以進(jìn)一步挖掘其強(qiáng)大的功能。

1 直觀演示隨機(jī)變量的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)圖像

在Matlab命令窗口運(yùn)行disttool命令，出現(xiàn)圖像窗口，在窗口右上角function type菜單中選擇PDF選項(xiàng)，出現(xiàn)了默認(rèn)狀態(tài)下的正態(tài)分布概率密度曲線，如圖1。在distribution選項(xiàng)選擇Exponential（指數(shù)分布）、Uniform（均勻分布）、Geometric（幾何分布）等選項(xiàng)，圖像就顯示不同概率分布的曲線，拖動(dòng)圖像下面的參數(shù)滑塊，就能動(dòng)態(tài)地看到正態(tài)曲線隨著參數(shù)變化的變化情況，如圖2，圖3，圖4分別顯示的是指數(shù)分布、均勻分布和幾何分布的概率密度曲線。如果在窗口右上角function type菜單中選擇CDF 選項(xiàng)，同理可以顯示隨機(jī)變量不同的分布函數(shù)的圖像，如圖5，圖6分別顯示的是均勻分布和幾何分布的分布函數(shù)的圖像。

2 繪制直方圖和分布函數(shù)曲線

2.1 繪制正態(tài)密度曲線的直方圖

語(yǔ)法為：histfit（data，nbins），將data中的數(shù)據(jù)繪制成直方圖，圖中矩形的條數(shù)等于data中數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的平方根（取大于它的最小整數(shù)）。例如繪制附加正態(tài)密度曲線的直方圖結(jié)果如圖7。

圖7

圖8

2.2 繪制規(guī)定區(qū)間的正態(tài)分布密度曲線

語(yǔ)法為：p=normspec（specs，nu，sigma），繪制由矢量specs的兩個(gè)元素所確定的上限和下限間的正態(tài)分布密度曲線。nu和sigma為此正態(tài)分布的參數(shù)。

例1 加工某種藥品，規(guī)定每箱重量為10千克，但實(shí)際裝箱過(guò)種中平均每箱的重量為11.5千克，標(biāo)準(zhǔn)差為1.25千克，用圖形表示有多少箱的重量大于10千克，結(jié)果如圖8。

例2 通過(guò)圖像觀察二項(xiàng)分布和正態(tài)分布的關(guān)系。

對(duì)二項(xiàng)分布B（k，n，p），輸入p 的值（p=0.1，0.2，0.3，0.4），取n=10，20，30，…100，步長(zhǎng)為10，這樣二項(xiàng)分布的概率密度曲線就可以在同一坐標(biāo)系內(nèi)顯示出來(lái)。當(dāng)n的值增大時(shí)，二項(xiàng)分布的圖像就接近于正態(tài)分布曲線，如圖9。

圖9

3 求概率值

3.1 求二項(xiàng)分布的概率值

例3 某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中廢品率為0.005，任意取出1000件，計(jì)算：①至少有2件廢品的概率；②所求概率為P（X≤5）不超過(guò)5件廢品的概率；③由題意，求n，使P（X≤n）≥90%，我們求n滿足P（X≤n）=90%即可，能以90%以上的概率保證廢品件數(shù)不超過(guò)多少？

解：用X 表示取出的1000件中的廢品數(shù)，則X 近似服從二項(xiàng)分布B（1000，0.005）

①所求概率為P（X≥2）=1-P（X＜2）=1-P（X≤1）

3.2 求泊松分布的概率值

例4 設(shè)有一大批產(chǎn)品，其中一等品占20%，任選6000件產(chǎn)品，問(wèn)其中一等品所占比例與20%之差絕對(duì)值小于1%的概率是多少？

解：設(shè)X 表示6000件產(chǎn)品中一等品的數(shù)量，則X～B（6000，0.2），X 近似服務(wù)泊松分布P（1200）。

如果用例4中的二項(xiàng)分布計(jì)算，其值為0.9472，如果用切比雪夫不等式估算，結(jié)果為0.73。

3.3 求正態(tài)分布概率值

例5 設(shè)X～N（4，1.52），①求P（X＜1），P（0＜X≤3），P（｜X-4｜＞2）；②已知P（X＞a）=P（X＜a），求a.

解：①由題意得

由于P（｜X-4｜＞2）=1-P（｜X-4｜≤2）=1-P（2≤X≤6），故

②已知P（X＞a）=P（X＜a），則P（X＞a）=P（X＜a）=0.5

4 求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、和、中位數(shù)、最大值、最小值、極差

例6 某電子元件，測(cè)得它們的直徑為（單位為毫米）74.001，74.005，74.003，74.001，74.000，73.998，74.006，74.002，求樣本的均值、方差、樣本方差值、標(biāo)準(zhǔn)差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、和、中位數(shù)、最大值、最小值和極差（全距）。

5 求協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

對(duì)于二維隨機(jī)變量（X，Y），在Matlab中，求協(xié)方差可由cov（x）來(lái)實(shí)現(xiàn)，如果x是向量，則返回向量元素的方差，如果x是矩陣，cov（x）返回一個(gè)協(xié)方差矩陣。

例7 求已知向量a=［1，2，1，2，2，1］和隨機(jī)產(chǎn)生的二行六列矩陣的協(xié)方差

求相關(guān)系數(shù)可由S=corrcoef（x）來(lái)實(shí)現(xiàn)，根據(jù)輸入矩陣x，返回一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣，相關(guān)系數(shù)S的矩陣與協(xié)方差矩陣C=cov（x）有關(guān)；如果用S=corrcoef（x，y），則返回列向量x和y的相關(guān)系數(shù)。例如：

6 求偏斜度和峰度

用偏斜度和峰度來(lái)描述隨機(jī)變量分布的形狀、對(duì)稱形式和正態(tài)分布型的偏離程度，分別用函數(shù)skewness（x）和kurtosis來(lái)實(shí)現(xiàn)。

偏斜度和峰度分別定義為：

例8 有15 名學(xué)生的體重（單位為千克）為75.0，64.0，47.4，66.9，62.2，62.2，58.7，63.5，66.6，64.0，57.0，61.0，56.9，50.0，72.0，求此15名學(xué)生體重的偏斜度和峰度。