開孔有限平板應(yīng)力集中問題的有限元分析

譚　林，郭　原

(重慶大學(xué) 航空航天學(xué)院，重慶　400044)

開孔有限平板應(yīng)力集中問題的有限元分析

譚林，郭原

(重慶大學(xué) 航空航天學(xué)院，重慶400044)

摘要：針對(duì)中心帶有圓孔的有限寬平板的應(yīng)力集中問題，利用軟件ABAQUS對(duì)其進(jìn)行有限元分析。定義了孔邊應(yīng)力集中系數(shù)K和描述板寬與孔徑相對(duì)尺度的特征參數(shù)ξ，研究得到了反映不同板寬下孔邊應(yīng)力集中程度的ξ-K關(guān)系曲線圖，并將其與無限大板寬情形下的解析解進(jìn)行比較，給出解析解的適用范圍。在此基礎(chǔ)上，數(shù)值分析了不同形狀的橢圓孔口應(yīng)力集中問題，并對(duì)橢圓尖端奇異性進(jìn)行簡(jiǎn)要討論。

關(guān)鍵詞：開孔有限平板；應(yīng)力集中；圓孔；橢圓孔；相對(duì)尺度

開孔構(gòu)件在機(jī)械、車輛、土木以及航空航天等工程領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用。由于開孔，孔口附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距離孔口較遠(yuǎn)處的應(yīng)力，這種現(xiàn)象被稱為“孔邊應(yīng)力集中”[1]。由于孔邊的應(yīng)力水平較高，開孔構(gòu)件在承受較小載荷時(shí)，孔邊應(yīng)力集中區(qū)域很可能已經(jīng)產(chǎn)生塑性變形。尤其是當(dāng)零件受周期性變化的應(yīng)力或受沖擊載荷作用時(shí)，應(yīng)力集中對(duì)零件的強(qiáng)度有嚴(yán)重影響，往往是零件破壞的根源[2]。因此，開孔構(gòu)件的應(yīng)力集中問題是工程設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵問題之一。

工程上通常定義孔邊最大應(yīng)力與板件遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力之比為應(yīng)力集中系數(shù)，用以表征應(yīng)力集中的程度。應(yīng)力集中系數(shù)與孔的形狀有關(guān)[3]。一般而言，圓孔的應(yīng)力集中程度相對(duì)較低，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中應(yīng)對(duì)其優(yōu)先考慮。此外，考慮到具有尖角的孔口在尖角處會(huì)發(fā)生高度的應(yīng)力集中，工程中通常用近似于圓形的孔——橢圓孔予以代替。因此，研究帶有不同形狀的橢圓孔口的平板應(yīng)力集中問題具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。此外，帶孔平板應(yīng)力集中問題作為彈性力學(xué)中的經(jīng)典問題，自德國(guó)的G.Kirsch首先得出圓孔附近的應(yīng)力分布結(jié)果以來，引起了眾多中外學(xué)者的廣泛關(guān)注[4-6]。但他們多采用彈性力學(xué)基本理論，借助復(fù)變函數(shù)和保角變換等數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而求得無限大板寬的孔邊應(yīng)力分布的解析解。但工程中的構(gòu)件常常不能當(dāng)作“無限大”來處理，而孔邊應(yīng)力集中系數(shù)又會(huì)隨著板寬的不同而發(fā)生顯著改變，故較為準(zhǔn)確地求解帶孔有限寬平板的應(yīng)力集中問題尤為重要。

本文利用有限元軟件ABAQUS，對(duì)受單軸均布拉伸載荷作用下的有限寬中心圓孔板進(jìn)行有限元分析，并研究不同板寬對(duì)孔邊應(yīng)力集中系數(shù)的影響。在此基礎(chǔ)上，探討了固定板寬下，中心帶有不同形狀的橢圓孔口(即不同的長(zhǎng)、短半軸)的平板應(yīng)力集中問題，并與解析解進(jìn)行比較。

1基于ABAQUS的開圓孔有限平板應(yīng)力集中問題研究

1.1　開圓孔無限大平板孔邊應(yīng)力集中問題的理論解答

圓孔應(yīng)力集中問題的力學(xué)模型如圖1所示：一個(gè)x方向承受均布載荷q的板寬為L(zhǎng)的正方形平板，板中有半徑為r的小圓孔，平板厚度遠(yuǎn)小于其寬度。

圖1　帶圓孔平板力學(xué)模型

由于小圓孔的存在，平板內(nèi)的應(yīng)力分布必然會(huì)受到影響，但根據(jù)圣維南原理，這種影響僅局限于孔的附近區(qū)域，在距離孔邊的較遠(yuǎn)處，此影響顯著減小。故在經(jīng)典彈性力學(xué)理論中，當(dāng)平板寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于小孔半徑時(shí)，可得如下基爾斯解答[1,7]：

(1)

沿著y軸，即當(dāng)φ=90°時(shí)，環(huán)向正應(yīng)力為

(2)

(3)

稱為應(yīng)力集中系數(shù)(stressconcentrationfactor)，本文K=3。

1.2　基于ABAQUS的不同板寬的圓孔孔邊應(yīng)力集中問題研究

在工程實(shí)際中，有限板寬下的孔口應(yīng)力集中問題可借助有限元軟件ABAQUS得到近似解答。平板材料采用高純度鎳[8-10]，其彈性模量E=207 000MPa，泊松比ν=0.312。對(duì)于圖1所示的力學(xué)模型，考慮到平板厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于板寬，故可將其視為平面應(yīng)力問題。而基于結(jié)構(gòu)和載荷的對(duì)稱性，只需取模型的1/4進(jìn)行分析。邊界條件設(shè)定為：x=0，ux=0；y=0，uy=0。平板右端所受均布載荷q=2MPa。由于孔邊附近會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力集中，為了保證計(jì)算精度，對(duì)靠近孔邊的局部區(qū)域需細(xì)化網(wǎng)格，如圖2所示。

圖2　孔邊附近細(xì)化網(wǎng)格

表1　ξ-K關(guān)系表

圖3　ξ-K關(guān)系曲線

分析表1和圖3可知：當(dāng)ξ≤8時(shí)，孔邊應(yīng)力的分布情況受到邊界條件的影響，相對(duì)誤差較大(最大已超過114.77%)。此時(shí)，由于開孔而減少的截面尺寸等因素也會(huì)對(duì)應(yīng)力值產(chǎn)生較大影響，已不能稱其為“小孔口問題”，但K會(huì)隨著ξ的增大而迅速減小。當(dāng)ξ≥9時(shí)，隨著ξ的繼續(xù)增大，K繼續(xù)緩慢減小直至趨近于解析值3。若按照工程中常用的相對(duì)誤差小于5%的標(biāo)準(zhǔn)考慮，則此時(shí)有限寬帶孔平板的孔邊應(yīng)力集中問題可作為無限寬帶孔平板近似處理。此外，不妨考察當(dāng)ξ=20時(shí)，平板的應(yīng)力分布情況，如圖4所示。由x方向的應(yīng)力云圖可知，其應(yīng)力分布主要有2個(gè)明顯特點(diǎn)：一是集中性，孔口附近應(yīng)力遠(yuǎn)大于較遠(yuǎn)處應(yīng)力，且應(yīng)力最值發(fā)生在孔邊上；二是局部性，由于小孔引起的應(yīng)力擾動(dòng)，主要發(fā)生在距離孔邊1.5d的局部范圍內(nèi)[1]。這些特點(diǎn)和前文所述的此問題的理論分析吻合較好，從側(cè)面論證了本文所建立的有限元計(jì)算模型具有較好的適用性及合理性。

圖4　平板σx的應(yīng)力分布(ξ=20)

2基于ABAQUS的開橢圓孔有限平板應(yīng)力集中問題研究

考慮到帶有橢圓形孔口的構(gòu)件在工程中被廣泛應(yīng)用，而其應(yīng)力集中程度受到橢圓孔口形狀的影響較大。因此，有必要進(jìn)一步探討單軸均拉作用下的帶有橢圓孔口的平板應(yīng)力集中問題?，F(xiàn)考慮如圖5所示的力學(xué)模型，其中a，b分別為橢圓的長(zhǎng)、短半軸。在彈性力學(xué)中，借助復(fù)變函數(shù)和保角變換等數(shù)學(xué)方法，可求得帶橢圓孔平板的應(yīng)力分布情況，而且最大周向拉應(yīng)力出現(xiàn)在橢圓長(zhǎng)軸的兩端，橢圓孔口的應(yīng)力集中系數(shù)為[11]：

(4)

結(jié)合前文相關(guān)研究，出于控制變量的考慮，將板寬L固定為40 mm，長(zhǎng)軸2a定為2 mm。另外，平板材料、單元類型以及均布載荷等工況與圓孔問題保持一致?，F(xiàn)基于ABAQUS軟件平臺(tái)，有規(guī)律地改變b，分析對(duì)應(yīng)于不同b/a情況下的平板應(yīng)力分布情況，求得相應(yīng)的K值，將其與解析解進(jìn)行比較并計(jì)算其相對(duì)誤差，詳見表2和圖6。

圖5　帶橢圓孔平板力學(xué)模型

圖6　b/a-K關(guān)系曲線

b/a0.10.20.30.40.50.60.70.80.91K-解析解21117.6667654.33333.85713.53.22223K-數(shù)值解15.60569.47697.32965.97605.06574.41353.93453.57053.28483.0466δ(100%)25.687713.84634.39700.40031.31471.84912.00432.01371.94171.5535

由表2與圖6可知：橢圓孔口應(yīng)力集中系數(shù)隨著短軸b的增大而減小，直至b=a時(shí)(即橢圓的特殊情況——圓孔)，K趨近于3。觀察其相對(duì)誤差，當(dāng) b/a≥0.3時(shí)，兩者吻合較好(誤差均在5%以內(nèi))；但當(dāng)b/a<0.3時(shí)，誤差較大。其原因大于，隨著b的不斷減小，在橢圓長(zhǎng)軸兩端會(huì)逐漸出現(xiàn)幾何奇異性，進(jìn)而導(dǎo)致橢圓尖端的高度應(yīng)力集中，采用的常規(guī)單元已經(jīng)不能較準(zhǔn)確地反映橢圓尖端的奇異性。因此，為得到可靠的結(jié)果，尖端的網(wǎng)格必須劃分得足夠細(xì)(網(wǎng)格尺寸通常為(10-2~10-3)×2a)，或者采用諸如奇異元素法、匯聚參數(shù)法等特殊有限元法[12]。

3結(jié)論

1) 利用有限元軟件ABAQUS，對(duì)受單軸均布拉伸載荷作用下的有限寬中心圓孔板進(jìn)行數(shù)值分析，研究了應(yīng)力集中系數(shù)K隨特征參數(shù)ξ的變化規(guī)律，并將其與解析解比較得出(詳見表1和圖3)：當(dāng)ξ≤8時(shí)，K會(huì)急劇增大；當(dāng)ξ≥9時(shí)，K會(huì)隨著ξ的繼續(xù)增大而緩慢減小直至趨近于解析值3，其相對(duì)誤差均在5%以內(nèi)。即在工程實(shí)際中，只有當(dāng)ξ≥9時(shí)，有限板寬的孔邊應(yīng)力集中系數(shù)才可用無限大板寬下的解析解近似代替。

2) 基于ABAQUS，進(jìn)一步探討了中心帶有橢圓孔口的平板應(yīng)力集中問題，數(shù)值驗(yàn)證了孔邊應(yīng)力集中系數(shù)K與橢圓短、長(zhǎng)半軸之比b/a之間的關(guān)系(詳見表2與圖6)，并將其與解析解比較得出：當(dāng)b/a≥0.3時(shí)，兩者吻合得較好；當(dāng)b/a<0.3時(shí)，誤差較大，即此時(shí)再用常規(guī)單元已不能較準(zhǔn)確地反映橢圓尖端的奇異性。

3) 本文的研究為工程中開孔構(gòu)件的設(shè)計(jì)及其力學(xué)分析提供一定的參考。值得注意的是：由于本文考慮的是帶孔薄板(厚度遠(yuǎn)小于板寬)，故可將其視作平面應(yīng)力問題處理。在工程中，當(dāng)沿厚度方向上的應(yīng)力變化不可忽略時(shí)，宜采用三維有限元模型以得到更為精確的結(jié)果[13]。另外，若令橢圓的短半軸b趨于零，橢圓孔口則退化為長(zhǎng)度為2a的穿透型裂紋，此時(shí)裂紋尖端的應(yīng)力分布將是理論和工程研究的重點(diǎn)[14-16]。

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(責(zé)任編輯劉舸)

收稿日期：2015-03-16

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372365)；煤礦災(zāi)害動(dòng)力學(xué)與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主研究課題重點(diǎn)項(xiàng)目(2011DA105287-ZD201403)

作者簡(jiǎn)介：譚林(1990—)，男，重慶萬州人，碩士研究生，主要從事結(jié)構(gòu)振動(dòng)與控制、沖擊動(dòng)力學(xué)研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.07.006

中圖分類號(hào)：O343.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674-8425(2015)07-0035-05

FiniteElementAnalysisofFinitePlatesfor
StressConcentrationofHoles

TANLin,GUOYuan

(CollegeofAerospaceEngineering,ChongqingUniversity,Chongqing400044,China)

Abstract:The stress concentration problem of finite-width plates with a central circular hole were analyzed in terms of finite element method by ABAQUS software. We defined the stress concentration factor K and characteristic parameter ξ used to describe the relative scale between the width of plates and the diameter of the circular hole. By means of a series of numerical experiments, the ξ-K curve was obtained to reflect the stress concentration level around the hole and then compared with the analytical solution to get its scope of application. In addition, the stress concentration phenomena of elliptic holes with various shapes were numerical analyzed. Besides, the singularity of elliptic tip was discussed briefly.

Key words:finite plates with holes; stress concentration; circular hole; elliptic hole; relative scale

引用格式：譚林，郭原.開孔有限平板應(yīng)力集中問題的有限元分析[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015(7):35-39.

Citationformat：TANLin,GUOYuan.FiniteElementAnalysisofFinitePlatesforStressConcentrationofHoles[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology:NaturalScience，2015(7):35-39.