多元函數(shù)條件極值的求解問題探討

鄒嘉政+葉博

摘 要：本文主要研究的上海某企業(yè)生產(chǎn)的手工品產(chǎn)銷問題，通過仔細查閱相關(guān)資料，對此問題可以使用求多元函數(shù)條件極值的方法來求解，其目標(biāo)函數(shù)就是產(chǎn)品的生產(chǎn)成本最小化，以期利潤的最大化，其約束條件就是與各成本有關(guān)的各個因素。為此，建立了求解多元函數(shù)條件極值的數(shù)學(xué)模型，并利用線性和非線性問題最優(yōu)化求解軟件——LINGO，進行數(shù)學(xué)模型的求解。對此產(chǎn)銷問題，論文著重解決的了兩方面的內(nèi)容：

（1）盡地闡述了產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中，哪些因素對產(chǎn)品的成本產(chǎn)生影響。具體情況如下：若當(dāng)月需求不能得到滿足，顧客可在后續(xù)某月得到滿足，但公司需對產(chǎn)品進行打折，這就需要考慮產(chǎn)品的缺貨成本。

（2）闡述了降價促銷的策略。利用第一個項內(nèi)容數(shù)學(xué)模型和計算的基礎(chǔ)上，可以得出降價促銷方案的利潤值。通過計算，所得結(jié)論是：雖然降價促銷可以使得總成本降低，可降低幅度不大，同時卻交大幅度地降低產(chǎn)品的總銷售額，使得降價促銷時產(chǎn)品的總利潤亦隨之減少了。因此，從最大利潤角度考慮，舍去促銷方案，即得到所得到的產(chǎn)銷方案就是最優(yōu)的。

關(guān)鍵詞：多元函數(shù)條件極值；最小成本；最大利潤；LINGO

一、多元函數(shù)條件極值的問題

求函數(shù)z=f（x，y） （1）

在條件 （2）

下的取得條件極值的條件。

若是在P0（x0，y0）處取得條件極值，必滿足方程（2），

（3）

方程（2）可確定一個隱函數(shù)y=φ（x），代入（1）

z=f[x，φ（x），] （4）

函數(shù)（1）在P0（x0，y0）取得條件極值，相當(dāng)于函數(shù)（4）在x=x0處取得無條件極值。

據(jù)一元函數(shù)取得極值的必要條件有

（5）

由（2）式有

代入到第（5）式有

（6）

由討論可知，（3）與（6）便是函數(shù)在點（x0，y0）取得條件極值的必要條件，我們作適當(dāng)?shù)淖冃巍?/p>

令，有

這三個式子恰好是函數(shù)

的三個偏導(dǎo)數(shù)在點（x0，y0）的值。

1.產(chǎn)銷問題

表1 產(chǎn)品需求預(yù)測估計值（件）

7月初人數(shù)為12，每月工作21天，每天工作8小時，工人每個月加班時間不得超過10個小時。7月初的庫存量為400臺。銷售價格為260元/件。銷售特點是，如果當(dāng)月的需求不能得到滿足，顧客愿意等待該需求在后續(xù)的某個月內(nèi)得到滿足，但公司需要對產(chǎn)品的價格進行打折，可以用缺貨損失來表示。12月末的庫存為0。

表2 產(chǎn)品各項成本費用

（1）建立數(shù)學(xué)模型并制定出一個成本最低、利潤最大的最優(yōu)產(chǎn)銷方案；

（2）公司銷售部門預(yù)測：在計劃期內(nèi)的某個月進行降價促銷，當(dāng)產(chǎn)品價格下降為240元/件時，則接下來的兩個月中6%的需求會提前到促銷月發(fā)生。試就7月份（淡季）促銷和11月份（旺季）促銷兩種方案以及不促銷最優(yōu)方案（1）進行對比分析，選取最優(yōu)的產(chǎn)銷規(guī)劃方。

2.問題分析

通過分析，該題可以歸結(jié)產(chǎn)品生產(chǎn)銷售的非線性規(guī)劃問題，根據(jù)該題目所列的約束條件和決策變量，列出目標(biāo)函數(shù)，將該題目轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，進行分析和討論。建立了一個針對多變量求解目標(biāo)函數(shù)最小成本的非線性規(guī)劃模型。并在一定假設(shè)的條件下，應(yīng)用lingo軟件對該問題進行相關(guān)的分析及求解。

3.模型假設(shè)

（1）認為產(chǎn)品的銷售價格、預(yù)計需求量以及各種成本因素不受市場供需或其他因素的影響而出現(xiàn)變化。

（2）當(dāng)月的產(chǎn)品不產(chǎn)生庫存費。

（3）可認為各個月的招聘人和解聘人之間是相互無關(guān)的變量，各自獨立，忽略工人的病假和事假情況。

（4）假設(shè)題中七月初的工人數(shù)為前一月月末的工人人數(shù)。

4.變量符號

5.模型分析

首先對此存在外包情況進行定量分析，將所得結(jié)果與雇傭工人生產(chǎn)產(chǎn)品的單件成本對比，根據(jù)成本最小化原則進行取舍。計算以雇傭工人方式生產(chǎn)一件產(chǎn)品最大成本為：

最大成本=原料成本+缺貨損失+勞動力花費：

最大成本=100+20+（50+100）*1.6÷（32*8）+1.6*18=150.23元小于外包成本的200元，舍去外包情況。

二、總結(jié)

此產(chǎn)銷數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點為：

1.建立模型簡單易懂，容易編程。

2.模型注重效率的提高，通過的數(shù)據(jù)的篩選，用matlab軟件大大減少了處理數(shù)據(jù)的時間。

3.在分析不同年份并且不完整數(shù)據(jù)的時候，從大的方面開始處理，然后再一步步細化，直到分的很詳細為止，討論問題的方法簡潔易懂，具有很高的可讀性。

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