智能柔性構(gòu)件振動改進(jìn)多模態(tài)正位置反饋控制

第一作者婁軍強(qiáng)男，博士生，1986年生

通信作者魏燕定男，教授，博士生導(dǎo)師，1970年生

智能柔性構(gòu)件振動改進(jìn)多模態(tài)正位置反饋控制

婁軍強(qiáng)1，魏燕定2，楊依領(lǐng)2，謝鋒然2，趙曉偉2(1.寧波大學(xué)浙江省零件軋制成形技術(shù)研究重點實驗室，浙江寧波315211; 2. 浙江大學(xué)現(xiàn)代制造工程研究所，杭州310027)

摘要：為實現(xiàn)較少致動器數(shù)目下柔性構(gòu)件多個振動模態(tài)的主動控制，基于力學(xué)原理及模態(tài)理論建立智能柔性構(gòu)件動力學(xué)方程。在研究單模態(tài)PPF控制器性能特點及穩(wěn)定條件基礎(chǔ)上，提出考慮不同模態(tài)權(quán)重的改進(jìn)多模態(tài)PPF控制器。采用根軌跡法分析系統(tǒng)的閉環(huán)阻尼特性確立各階PPF控制器最佳控制參數(shù)并進(jìn)行數(shù)值仿真；搭建實驗平臺驗證相關(guān)分析及控制策略的有效性。結(jié)果表明，所提考慮模態(tài)權(quán)重的改進(jìn)多模態(tài)PPF控制器利用單組致動器能有效抑制柔性梁構(gòu)件的多階振動模態(tài)、顯著縮短柔性構(gòu)件振動的衰減時間。實驗中柔性構(gòu)件的衰減時間由6 s減少為2.5 s。實現(xiàn)較少數(shù)目致動器下柔性構(gòu)件多階彈性模態(tài)的振動主動控制。

關(guān)鍵詞：智能柔性構(gòu)件；改進(jìn)正位置反饋；振動主動控制；壓電致動器

基金項目：國家自然科學(xué)

收稿日期：2014-02-08修改稿收到日期：2014-04-30

中圖分類號:TP24；TB32文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項目：國家863計劃項目(2011AA11A265)；國家自然科學(xué)基金(51205290)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項資金項目(1700219118)

Modified multi-mode positive position feedback controller for active vibration controlof a smart flexible structure

LOUJun-qiang1,WEIYan-ding2,YANGYi-ling2,XIEFeng-ran2,ZHAOXiao-wei2(1. Zhejiang Provincial Key Lab of Part Rolling Technology, Ningbo University, Ningbo 315211, China; 2. Research Institute of Contemporary Manufacturing Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

Abstract:To actively suppress multi-mode vibration of a structure with less actuators, the dynamic model of a smart flexible structure was derived based on the mechanical principle and modal theory. Characteristics and stability condition for a single-mode positive position feedback (PPF) controller were studied, and then a modified multi-mode PPF controller considering different weights of each mode was proposed. Damping characteristics of a close-loop system was acquired with the root locus method, the optimal parameters for each mode of the PPF controller were determined. After some numerical simulations, the test platform was set up. The validity and feasibility of the proposed controller were demonstrated with the simulation and test results. It was shown that the multi-mode vibration of the structure with the modified multi-mode PPF controller is significantly reduced using only a pair of piezoelectric actuators, and its damping decay time is shortened to 2.5 s from 6 s. So the multi-mode vibration of the flexible structure was well suppressed using less piezoelectric actuators.

Key words:smart flexible structure; modified positive position feedback; active vibration control; piezoelectric actuators

隨工業(yè)技術(shù)與機(jī)器人技術(shù)水平提高，質(zhì)量輕、功耗少、載荷/自重比高柔性構(gòu)件在工業(yè)生產(chǎn)、土木工程、交通運(yùn)輸及航空航天等領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用[1]。柔性構(gòu)件低剛度、低阻尼特性導(dǎo)致其在外界激勵下較易激起自身的彈性振動，對柔性構(gòu)件建模及振動控制技術(shù)研究成為動力學(xué)及控制學(xué)的研究熱點[2]。近年來，壓電材料、記憶合金及磁流變液等智能材料為柔性構(gòu)件的振動控制技術(shù)提供了新途徑，尤以頻響寬、響應(yīng)速度快、埋入粘貼均較方便的壓電材料使用最多[3]。

基于壓電材料的智能柔性構(gòu)件振動控制技術(shù)研究中，速度負(fù)反饋及變結(jié)構(gòu)控制等技術(shù)均應(yīng)用較多，且取得較好控制效果[4]。柔性構(gòu)件的彈性振動本質(zhì)上由無窮模態(tài)疊加組成，而實際中為簡化控制結(jié)構(gòu)、節(jié)約控制成本，常采用模型降階技術(shù)，僅對柔性構(gòu)件幾階重要模態(tài)進(jìn)行控制研究，導(dǎo)致控制/觀測溢出現(xiàn)象發(fā)生，甚至系統(tǒng)失穩(wěn)。Shan等[5]將具有高階模態(tài)不敏感性及良好魯棒性的正位置反饋控制技術(shù)(Positive Position Feedback, PPF)引入柔性構(gòu)件控制中。邱志成等[6-7]利用PPF控制技術(shù)分別實現(xiàn)柔性梁構(gòu)件及板構(gòu)件的振動主動控制。如何確保PPF控制系統(tǒng)穩(wěn)定性，尤其控制多個模態(tài)多個PPF控制器同時工作[8]，尚需據(jù)實際系統(tǒng)特性深入研究。為節(jié)約控制成本，如何以較少數(shù)目致動器實現(xiàn)柔性構(gòu)件多模態(tài)同時控制仍需深入探索。

1系統(tǒng)建模

實際中較多柔性構(gòu)件均為細(xì)長均質(zhì)的薄壁桿件，可視為Euler-Bernoulli梁模型。上下表面粘貼壓電致動器及應(yīng)變傳感器的柔性梁構(gòu)件模型見圖1。一對尺寸為lp×bp×hp的壓電陶瓷片作為致動器對稱粘貼于長×寬×高為lb×bb×hb的柔性梁構(gòu)件上下表面；在近致動器位置布設(shè)一對應(yīng)變傳感器組成橋接電路用于檢測梁的振動。

圖1　貼有致動器/傳感器的柔性梁構(gòu)件模型 Fig.1 A flexible structure with actuators and sensors

據(jù)牛頓力平衡原理及歐拉梁變形假設(shè)，當(dāng)控制電壓施加于壓電致動器時，智能柔性梁構(gòu)件的橫向振動動力學(xué)方程用偏微分方程(PDE)表示[9]為

(1)

式中：w(x,t)為梁構(gòu)件橫向振動位移；ρb, Ab, Eb, Ib分別為梁構(gòu)件體密度、橫截面積、彈性模量及慣性矩；M(x,t)為壓電致動器控制力矩。

為獲得梁的模態(tài)函數(shù)，設(shè)其處于自由振動狀態(tài)，采用變量分離法得

w(x,t)=φ(x)q(t)

(2)

式中：φ(x)為關(guān)于位移變量x的模態(tài)振型函數(shù)；q(t)為關(guān)于時間變量t的橫向位移函數(shù)。

對圖1的梁構(gòu)件模型，采用一端固定一端自由的邊界條件，得第i階固有頻率為

(3)

式中：βilb為梁構(gòu)件的第i階特征頻率。

若將所有階次模態(tài)疊加，可得柔性梁構(gòu)件的自由振動響應(yīng)為

(4)

致動器與構(gòu)件理想粘貼情況下，控制力矩為

d31bpEp(hb+2hp)V(x,t)=kpV(x,t)

(5)

式中：d31為壓電陶瓷材料的壓電應(yīng)變常數(shù)；kp為壓電致動器的等效電壓系數(shù)；H(·)為關(guān)于空間坐標(biāo)x的Heaviside函數(shù)；xs, xe為致動器起始及終止位置；V(t)為驅(qū)動電壓，具體表達(dá)式為

V(x,t)=V(t)[H(x-xe)-H(x-xs)]

(6)

將式(4)～式(6)結(jié)果代入式(1)，據(jù)模態(tài)正交性及Heaviside函數(shù)特性，加入結(jié)構(gòu)阻尼影響，得梁構(gòu)件解耦形式的常微分模態(tài)方程為

(7)

式中：ξi為梁構(gòu)件第i階模態(tài)阻尼比；Ψi為與壓電致動器位置相關(guān)函數(shù)，可表示為

(8)

按圖1方式粘貼傳感器，采用半橋接法獲得應(yīng)變傳感器的電壓即系統(tǒng)輸出為

(9)

式中：ε為傳感器靈敏度系數(shù)；U0為傳感器橋接電路的供橋電壓；ks為傳感器輸出系數(shù)。

2控制器設(shè)計

2.1單模態(tài)PPF控制器特性及穩(wěn)定性

實際中柔性構(gòu)件的彈性振動往往以低階模態(tài)為主，故僅需重點關(guān)注一定頻帶范圍內(nèi)的振動模態(tài)。在設(shè)計多模態(tài)PPF控制器之前，先描述單模態(tài)PPF控制器行為的動力學(xué)方程[10]為

(10)

式中：q, ζ, ω分別為被控結(jié)構(gòu)的廣義模態(tài)坐標(biāo)、阻尼比及固有頻率；η, ζc, ωc分別為PPF控制器廣義坐標(biāo)、阻尼比及固有頻率；g為PPF控制器控制增益。此時系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為0

通過Laplace變換得式(10) 的PPF傳遞函數(shù)為

(11)

由式(11)看出，PPF控制器實際為二階低通濾波器，亦稱PPF濾波器[12]，具有高頻剪切特性。此即PPF控制器對特定頻率具有主動阻尼控制效果原因。

2.2考慮模態(tài)權(quán)重的改進(jìn)多模態(tài)PPF控制器

即使采用模態(tài)截斷技術(shù)，柔性構(gòu)件的彈性振動仍由一定數(shù)目振動模態(tài)組成，且有時會出現(xiàn)多個主模態(tài)。為同時抑制多模態(tài)振動，需對每個振動模態(tài)分別設(shè)計PPF控制器，多個PPF控制器并行工作；而隨之產(chǎn)生系統(tǒng)穩(wěn)定條件更復(fù)雜、更難達(dá)到較好控制效果等問題。

對式(7)保留n階模態(tài)的柔性構(gòu)件模型，采用相同數(shù)目PPF控制器，結(jié)合傳感器輸出式(9)及致動器電壓輸入式(5)，得柔性構(gòu)件及PPF控制器方程為

(12)

式中：Kc為致動器控制電壓模態(tài)系數(shù)矩陣；Ks為傳感器輸出電壓模態(tài)系數(shù)矩陣；Q=[q1, q2, …, qn]T為結(jié)構(gòu)模態(tài)向量；E=[η1, η2, …, ηn]T為PPF控制器狀態(tài)向量；Zs=diag[ζ1, ζ2, …, ζn]為結(jié)構(gòu)阻尼矩陣；G=[g1, g2, …, gn]為控制增益向量；Zc=diag[ζc1, ζc2, …, ζcn]為PPF控制器阻尼矩陣；Ωs=diag[ω1, ω2, …, ωn]為結(jié)構(gòu)頻率矩陣；Ωc=diag[ωc1, ωc2, …, ωcn]為PPF控制器頻率矩陣。

定理：針對式(12)的閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為

(13)

雖然式(12)表明柔性構(gòu)件多模態(tài)閉環(huán)控制系統(tǒng)在廣義模態(tài)坐標(biāo)上是解耦的，但致動器的實際控制電壓通過模態(tài)控制力計算獲得，實際控制系統(tǒng)為內(nèi)在解耦外在耦合。尤其考慮壓電致動器數(shù)目及控制力矩有限，往往希望將致動器的控制力主要作用于占比重較大的主模態(tài)。因此利用PPF控制器對多個模態(tài)并行控制，此處以反映各階模態(tài)衰減速度的振動頻率及阻尼乘積作為衡量各階PPF控制器輸出的權(quán)衡指標(biāo)，提出權(quán)重系數(shù)

(14)

確定的改進(jìn)多模態(tài)PPF控制器結(jié)構(gòu)見圖2。為防止致動器驅(qū)動電壓過大，加入電壓飽和模塊。需指出的是，雖通過系統(tǒng)穩(wěn)定性條件(式(12))可確定控制增益G的取值，但由于實際中致動器輸入及傳感器輸出的模態(tài)系數(shù)精確值較難獲得，故仍需具體數(shù)值分析及實驗驗證才能得到較好的控制效果。

圖2　考慮模態(tài)權(quán)重的改進(jìn)PPF控制器結(jié)構(gòu)圖 Fig.2 Structure of a modified PPF controller

2.3PPF控制器參數(shù)設(shè)計及計算

本文所用柔性梁構(gòu)件及壓電致動器尺寸、特性參數(shù)見表1。此處僅對柔性構(gòu)件的前兩階振動模態(tài)進(jìn)行研究。理論計算得前兩階固有頻率分別為24.5 rad/s (3.9 Hz)及153.5 rad/s (24.4 Hz)。設(shè)模態(tài)阻尼比為0.02及0.008。由式(12)看出，控制各階模態(tài)的PPF控制器由ωc, ζc及g決定。為實現(xiàn)較少數(shù)目致動器下柔性構(gòu)件多模態(tài)振動控制，重點考察一組致動器的振動控制效果，從控制效果、控制魯棒性兩方面考慮[13]，選對應(yīng)的兩階PPF控制器阻尼ζc分別為0.6及0.4。

表1　柔性梁構(gòu)件及壓電致動器基本參數(shù)

為確定對應(yīng)兩階振動模態(tài)的兩個PPF控制器其它參數(shù)，采用獨立設(shè)計方法。

(15)

對控制柔性構(gòu)件一階模態(tài)的PPF控制器，其頻率及結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率滿足表達(dá)式(15)時，控制增益g1從0變化到無窮大過程中，對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡曲線見圖3。

圖3　閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖 Fig.3 Root locus diagram of close-loop system

由圖3看出，當(dāng)g在一段特定范圍內(nèi)取值時，根軌跡曲線與虛軸平行，系統(tǒng)的閉環(huán)極點具有相同實部，且所有根軌跡曲線交匯于一點，該點與系統(tǒng)閉環(huán)衰減特性密切相關(guān)。當(dāng)控制增益g取不同值時，系統(tǒng)一階模態(tài)閉環(huán)極點的負(fù)實部隨系統(tǒng)結(jié)構(gòu)頻率ω1變換關(guān)系見圖4。由圖4看出，對每個固定增益g，系統(tǒng)的衰減特性均由上、下兩支組成。當(dāng)增益大于某一值時(g≥0.36)，所有曲線均相交于一點，即根軌跡交點，此時系統(tǒng)具有最大的閉環(huán)阻尼。因此可設(shè)定一階PPF控制器頻率稍大于柔性結(jié)構(gòu)一階固有頻率，從而保證以最小的控制增益實現(xiàn)最大閉環(huán)阻尼，使系統(tǒng)振幅最小、控制效果最優(yōu)[14]。

圖4　一階PPF控制下系統(tǒng)閉環(huán)衰減特性 Fig.4 Damping characteristics with 1st PPF controller

對控制柔性構(gòu)件二階模態(tài)振動的二階PPF控制器采用同樣設(shè)計方法，所得系統(tǒng)二階模態(tài)的閉環(huán)衰減特性見圖5，顯然g取最小值0.16時系統(tǒng)閉環(huán)增益最大。由圖4、圖5看出，當(dāng)g大于1時閉環(huán)衰減特征曲線無交點，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5　二階PPF控制下系統(tǒng)閉環(huán)衰減特性 Fig.5 Damping characteristics with 2nd PPF controller

確定的兩階PPF控制器基本參數(shù)見表2。

表2　各階PPF控制器的基本參數(shù)

3數(shù)值仿真

仿真分析中，設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)q0=[0.01 0.006]。為對比不同控制增益下各階PPF控制器的控制效果，不同控制增益的一階PPF控制器對柔性構(gòu)件一階振動模態(tài)控制效果見圖6。由圖6看出，當(dāng)g取值(g=0.2)小于最優(yōu)增益(g=0.36)時，PPF控制器的控制作用隨之減弱；而當(dāng)g取值(g=0.5)大于最優(yōu)控制增益時，控制器的控制效果基本無變化。由此證明g取0.36時系統(tǒng)一階振動模態(tài)具有最大閉環(huán)阻尼，控制效果最佳。

圖6　一階PPF控制器單獨作用下的模態(tài)位移曲線 Fig.6 Modal displacement with 1st PPF Controller

不同控制增益二階PPF控制器對柔性構(gòu)件二階振動模態(tài)的控制效果見圖7，同樣可得g取0.16時系統(tǒng)二階振動模態(tài)具有最大的閉環(huán)阻尼，控制效果最佳之結(jié)論，與理論推導(dǎo)結(jié)果一致。

圖7 二階PPF控制器單獨作用下模態(tài)位移曲線Fig.7ModaldisplacementwitpndPPFController圖8 多模態(tài)PPF控制器作用下模態(tài)位移曲線Fig.8Modaldisplacementwithmuliti-modePPFControllers

考慮不同模態(tài)權(quán)重的改進(jìn)多模態(tài)PPF控制下柔性構(gòu)件模態(tài)位移曲線及與相同權(quán)重多模態(tài)PPF控制器控制效果對比見圖8。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)的多模態(tài)PPF控制器由于給予系統(tǒng)一階模態(tài)更高權(quán)重，致動器控制力更多用于對一階模態(tài)控制，因而柔性梁構(gòu)件一階振動模態(tài)抑制效果更好。雖二階振動衰減效果稍有下降，但仍得到有效控制，柔性構(gòu)件多模態(tài)振動在改進(jìn)的多模態(tài)PPF控制下衰減較快。

4實驗驗證

為驗證所提控制方法的可行性及控制效果，搭建智能柔性構(gòu)件實驗測控系統(tǒng)見圖9。實驗中利用粘貼在構(gòu)件根部的應(yīng)變傳感器檢測柔性梁構(gòu)件振動信息，傳感器輸出電壓信號經(jīng)信號放大器(自制，放大增益5 000)放大為-10～+10的電壓信號，通過截止頻率為35 Hz的巴特沃斯低通濾波器濾波后，經(jīng)多路數(shù)據(jù)采集卡(研華 PCI-1742U)輸送至工控機(jī)；利用NI-LabVIEW編寫測控軟件采用改進(jìn)的多模態(tài)PPF控制器計算獲得致動器的控制信號，通過采集卡的D/A模塊輸出并經(jīng)功率放大器(自制，放大倍數(shù)15)放大為-150～+150V的電壓信號，作用于壓電致動器，驅(qū)動壓電致動器按所設(shè)控制律實現(xiàn)柔性構(gòu)件多模態(tài)振動的主動控制。貼有壓電致動器/傳感器的柔性梁構(gòu)件實物見圖10。

圖9　智能柔性構(gòu)件實驗測控系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 Fig.9 Schematic diagram of the experimental system

圖10　貼有致動器/傳感器的柔性梁構(gòu)件實物圖 Fig.10 Photo of the flexible structure with actuators and sensors

利用沖擊錘敲擊激起柔性構(gòu)件的彈性振動以測定其模態(tài)特性，傳感器輸出信號經(jīng)放大后見圖11(a)，將該信號進(jìn)行FFT變換所得頻域信號見圖11(b)。經(jīng)計算獲得梁構(gòu)件前兩階模態(tài)頻率為17.2 rad/s(2.73 Hz)及110.0 rad/s(17.5 Hz)，與理論計算結(jié)果有一定差異，主因在理論分析中未考慮粘貼的壓電片及引出導(dǎo)線對柔性梁構(gòu)件質(zhì)量、剛度影響所致，且梁構(gòu)件的實際參數(shù)特性與標(biāo)稱值亦存差異，因此對兩PPF控制器參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)修正調(diào)整。

圖11 應(yīng)變傳感器的輸出信號Fig.11Outputsignalsofthestrainsensors圖12 相同權(quán)重多模態(tài)PPF控制下傳感器輸出信號Fig.12Comparedoutputsignalsofthesensorswiththestandardmulti-modePPFcontroller圖13 改進(jìn)多模態(tài)PPF控制下傳感器輸出信號Fig.13Comparedoutputsignalsofthesensorswiththemodifiedmulti-modePPFcontroller

為檢驗設(shè)計的多模態(tài)PPF控制器控制效果，采用相同權(quán)重的多模態(tài)PPF控制器對柔性梁構(gòu)件(圖10)進(jìn)行抑振控制研究。應(yīng)變傳感器輸出的時、頻域信號見圖12。與自由衰減狀態(tài)相比，柔性構(gòu)件振動在設(shè)計的多模態(tài)PPF控制器下得到快速衰減，一、二階振動模態(tài)均得到有效抑制(圖12(b))，且振動衰減時間從6 s縮短為3.5 s(圖12(a))。

由圖11(b)及圖12(b)看出，柔性梁一階振動模態(tài)在實驗沖擊信號激勵下占主導(dǎo)地位。為得到更好的控制效果，進(jìn)行柔性梁構(gòu)件在設(shè)計的改進(jìn)多模態(tài)PPF控制器下的實際抑振控制實驗，結(jié)果見圖13。由圖13知，較相同權(quán)重的多模態(tài)PPF控制實驗結(jié)果，改進(jìn)多模態(tài)PPF控制器因通過設(shè)置不同模態(tài)控制權(quán)重將更多控制力用于控制占主導(dǎo)地位的一階振動模態(tài)，振動抑制效果更好，進(jìn)一步縮短柔性構(gòu)件的振動抑制時間約為2.5。因此本文考慮模態(tài)權(quán)重的多模態(tài)PPF控制器符合實際且合理有效，利用單組壓電致動器能實現(xiàn)柔性構(gòu)件多模態(tài)的有效控制。

5結(jié)論

(1)通過建立智能柔性梁構(gòu)件系統(tǒng)動力學(xué)模型，在分析單模態(tài)PPF控制器特點及穩(wěn)定條件基礎(chǔ)上，提出考慮不同模態(tài)權(quán)重的改進(jìn)多模態(tài)PPF控制器。利用軌跡法分析整個控制系統(tǒng)的閉環(huán)阻尼特性，確立各階PPF控制器最佳控制參數(shù)，通過數(shù)值仿真及實驗驗證了相關(guān)分析及控制策略的有效性。

(2)仿真及實驗結(jié)果表明，本文考慮模態(tài)權(quán)重的改進(jìn)多模態(tài)PPF控制器能有效抑制柔性梁構(gòu)件的多階振動模態(tài)、顯著縮短構(gòu)件振動衰減時間(6 s縮短為2.5 s)。為解決較少數(shù)目致動器下柔性構(gòu)件多階振動模態(tài)的控制提供了有益的借鑒及嘗試。

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