充分利用元素法進(jìn)行二重積分計算的教學(xué)

趙翠新

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

元素法是解決某些問題常用的方法，學(xué)習(xí)一元函數(shù)的定積分時我們就用元素法求過平面區(qū)域的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、平面曲線的弧長、變力做功、水壓力等問題.主要分這樣幾個環(huán)節(jié)：首先對要求的整體問題進(jìn)行分解，接著對分解后的每個元素求出近似值，然后把各個近似值進(jìn)行求和，最后對近似值的和取極限得到整體問題的精確值.這其中最關(guān)鍵的一步是怎樣分解，因為分解方式會決定下一步近似值的求解方式和難易程度.而如何分解又需要我們根據(jù)問題實際情況選擇恰當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行，保障問題得到順利解決.

二重積分的定義和計算其實都是利用元素法給出的，只是沒有明確提出.尤其二重積分的計算一般直接介紹根據(jù)平面區(qū)域的形狀劃分成直角坐標(biāo)下的X型或Y型，或是用極坐標(biāo)計算，而這些恰好是學(xué)生容易有疑惑的地方.所以本文將以曲頂柱體的體積為例，充分利用元素法，通過不同的分解方式，加深對二重積分定義的理解，并進(jìn)一步說明二重積分幾種常用的計算方法是怎樣得出的.

1 結(jié)合元素法加深對二重積分定義的理解

設(shè)曲頂柱體的底是xoy面上的有界區(qū)域D,頂是連續(xù)曲面z=f(x,y).要求的問題是曲頂柱體的體積V.

首先我們按照元素法進(jìn)行第一步:分解.用垂直于xoy面的兩組柱面將原來的曲頂柱體分成n個細(xì)曲頂柱體.如圖1，每個小柱體底的面積記為△σ1，△σ2，…，△σn；

接著對每個元素求近似值：由于f(x,y)連續(xù),每個細(xì)曲頂柱體的高變化不大.將頂看作平的,于是得到每個元素細(xì)曲頂柱體的近似值f(ξi,ηi)△σi.

然后求和得整個柱體的近似值

最后取極限讓 λ={maxσi,i=1,2,…n}，得

這個過程恰好利用了元素法,此類問題定義為二重積分

若用平行于zox坐標(biāo)面和yoz坐標(biāo)面的兩組平面來劃分,那么除邊界的一些之外,多數(shù)細(xì)曲頂柱體的底都是矩形,因此二重積分也可表示成為dxdy.也就不難理解了.

圖1

2 利用元素法根據(jù)不同的分解方式得到不同的計算過程

利用曲頂柱體的體積定義的二重積分雖然用了元素法，但這個過程卻不適合對二重積分進(jìn)行計算． 因為每個細(xì)曲頂柱體的底形狀面積和高都不盡相同，也不能用統(tǒng)一的表達(dá)式表示，所以按此方式劃分只能定義不能計算.也因此我們改用其它劃分方式使計算可行且簡單.

若區(qū)域 D是由 c≤y≤d，x1(y)≤x≤x2(y)所圍成的，則我們可以選擇下面的分解方式利用元素法來計算二重積分的值.首先用平行于zox坐標(biāo)面的一組平面劃分曲頂柱體成很多平行于zox坐標(biāo)面的薄片，其中第i片厚度記為△yi，截面是從x1(yi)到x2(yi)為底，z=f(x,yi)為曲邊的曲邊梯形；然后求薄片的體積近似值，由于薄片很薄，左右截面面積近似相等即，所以薄片體積為A(yi)△yi=接著我們把所有薄片的體積累加起來，求和得近似值；最后取 △yi趨于零時的極限得即

至此在這樣的區(qū)域 c≤y≤d，x1(y)≤x≤x2(y)上二重積分計算問題得到了解決，即化成了二次積分.這說明利用元素法按照這樣的切片的分解方式能夠計算二重積分，簡單可行.

如 D是 0≤y≤1，y2≤x≤2-y，則

若改用其它的分解方式，比如用平行于yoz坐標(biāo)面的一組平面去切分，則分解后的薄片也是以大小不等的曲邊梯形為截面的，但此時的曲邊梯形的底就是長短不一變化多端的.截面的面積也就不能用一個通式來表示，曲頂柱體的體積也就沒法再求下去了，所以選擇什么樣的分解方式非常關(guān)鍵.一般我們把變化范圍是常數(shù)的變量后積分，也就是用垂直于變化范圍是常數(shù)的這個軸的一組平面去切.

若區(qū)域 D是由 a≤x≤d，y1(x)≤y≤y2(x)所圍成的，就用平行于yoz坐標(biāo)面的一組平面劃分，同樣利用元素法可得

如 D是由 0≤x≤1，x3≤y≤x2，則

若區(qū)域是在極坐標(biāo)下或是其它類型的，也都需要利用元素法構(gòu)造或計算二重積分，根據(jù)區(qū)域形狀及被積函數(shù)類型選擇恰當(dāng)?shù)姆纸夥绞經(jīng)Q定恰當(dāng)積分次序，問題就迎刃而解了.

〔1〕歐陽光中,朱學(xué)炎等.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2007.

〔2〕劉玉璉,傅沛仁，等.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，2005.