利用Matlab軟件求解積分問(wèn)題

楊靜俐

（泉州師范學(xué)院 軟件學(xué)院，福建 泉州 352000）

積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，是學(xué)習(xí)后續(xù)課程最主要的工具，掌握積分的計(jì)算對(duì)二重積分、三重積分及微分方程的學(xué)習(xí)均有很大的幫助.對(duì)于不定積分的求解問(wèn)題，學(xué)生能理解它是微分（導(dǎo)數(shù)）的逆運(yùn)算，但需要學(xué)生逆向思維，將不定積分的計(jì)算公式理解為微分（導(dǎo)數(shù)）的逆運(yùn)算，對(duì)一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的學(xué)生來(lái)說(shuō)，比較難以掌握.而定積分的計(jì)算，主要利用不定積分的換元積分法和分部積分法，采用牛頓-萊布尼茨公式求出其原函數(shù)，從而求出定積分的值[1].

對(duì)于常用的數(shù)學(xué)軟件，我們比較熟悉的有Maple、Mathematics和Matlab.而對(duì)于Matlab軟件，由于它具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能和繪圖功能，同時(shí)它的操作界面友好，可視化技術(shù)強(qiáng)，被眾多高校所采用[2].本文利用Matlab軟件求解積分，通過(guò)可視化技術(shù)，同時(shí)與傳統(tǒng)的求解積分的方法進(jìn)行比較，讓學(xué)生明白利用Matlab軟件可以快速簡(jiǎn)捷的求解不定積分和定積分.

1 利用Matlab軟件求解不定積分

如果已知某一個(gè)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，如何求F(x)？根據(jù)已有的理論知識(shí)，F(xiàn)(x)稱為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，而且f(x)存在無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)，這無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)C.把這無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)記為f(x)的不定積分.具體記為 乙f(x)dx=F(x)+C，此公式表明不定積分實(shí)質(zhì)上是求微分（導(dǎo)數(shù)）的逆運(yùn)算.在介紹求不定積分的計(jì)算方法時(shí)，幾乎所有的教材都介紹了利用基本積分公式求解不定積分和求不定積分的換元積分法和分部積分法[3-6].本文利用Matlab軟件求解不定積分，不管被積函數(shù)具有什么特點(diǎn)，只需要用一個(gè)命令就可以求解出不定積分.

現(xiàn)在介紹利用Matlab軟件求解不定積分的命令.利用Matlab軟件求解不定積分的庫(kù)函數(shù)為int，.具體操作命令為：int(f,x)：f指被積函數(shù)，x為積分變量，其中積分變量x也可以省略.但是需要注意的是：利用Matlab軟件求解出的不定積分只包含被積函數(shù)f的一個(gè)原函數(shù)，要表示其所有原函數(shù)，需要編程人員自己加上常數(shù)C.

輸入命令：

>>s y m s x；

>>i n t(x^4,x)

顯示結(jié)果：

>>ans=1/5*x^5

輸入命令：

>>s y m s x；

>>i n t(e x p(x)*s i n(e x p(x)))

顯示結(jié)果：

>>a n s=-c o s(e x p(x))

輸入命令：

>>syms x；

>>int(1/sqrt(x^2-4*x-5),x)

顯示結(jié)果：

>>ans=log(x-2+(x^2-4*x-5)^(1/2))

需要計(jì)算五部，比較復(fù)雜，但是用Matlab軟件求解，只需要輸入這樣一個(gè)命令int(x^2*log(x),x)，按回車(chē)鍵，結(jié)果就出來(lái)了.具體的程序編寫(xiě)為：

輸入命令：

>>syms x；

>>int(x^2*log(x),x)

顯示結(jié)果：

>>ans=1/3*x^3*log(x)-1/9*x^3

2 利用Matlab軟件求解不定積分

絕大部分高等數(shù)學(xué)教材在介紹定積分的概念時(shí)，首先給出兩個(gè)引例，求解曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程，利用“微元法”的思想，通過(guò)分割、近似、求和、取極限四個(gè)步驟，得出曲邊梯形的面積和和變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程都是一個(gè)和式的極限.剔除它的實(shí)際背景，抽象出其數(shù)學(xué)模型，將這樣一個(gè)和式的極限定義為定積分.具體表示為：

下面介紹利用Matlab求定積分的命令.它的庫(kù)函數(shù)仍然是int.具體命令為int(f,x,a,b)，與求解不定積分的命令比較，多了積分下限a和積分上限b.然后再介紹一個(gè)命令vpa，它用來(lái)求解定積分的近似值.因?yàn)橛袝r(shí)候不定積分的結(jié)果無(wú)法用初等函數(shù)表示，這樣它的定積分的結(jié)果也無(wú)法用解析解表示.可以用vpa這個(gè)命令求出其近似解.而在工程中，很多時(shí)候并不要求一定要求出其精確解，只需用近似解即可.

下面來(lái)介紹關(guān)于定積分的應(yīng)用.定積分在幾何上的應(yīng)用主要是求解平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)了一些比較簡(jiǎn)單的圖形的面積公式，但是不知道橢圓的面積公式.那是因?yàn)闄E圓的面積無(wú)法用初等數(shù)學(xué)的知識(shí)求解.但是，在學(xué)習(xí)了定積分的知識(shí)之后，就可以求解橢圓的面積了.來(lái)看例子：

圖1

利用Matlab軟件的繪圖功能，可以繪制出橢圓的圖形如圖1.

根據(jù)圖形可以發(fā)現(xiàn)，橢圓的圖形是關(guān)于兩條對(duì)稱軸對(duì)稱的，那么它的總面積就是等于第一象限面積的4倍，而它的第一象限的部分為一個(gè)退化的曲邊梯形，而定積分的幾何意義即為曲邊梯形的面積，選取x為積分變量，根據(jù)橢圓函數(shù)關(guān)系式，得，那么橢圓的總面積就為

利用Matlab軟件求解

輸入命令：

>>syms x y a b；

>>4*int(b/a*sqrt(a^2-x^2),x,0,a)

顯示結(jié)果：

>>b/a*(a^2)^(1/2)*pi/(1/a^2)^(1/2)%表示πab

而任何一個(gè)圖形，都可以分割成一些規(guī)則的圖形和若干個(gè)曲邊梯形.會(huì)求解曲邊梯形的面積，也就可以求解出任何一個(gè)圖形的面積.而求平面圖形的面積在工程中應(yīng)用非常廣泛，這也讓學(xué)生能更進(jìn)一步的理解數(shù)學(xué)知識(shí)在工程中有非常廣泛的應(yīng)用，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

下面來(lái)介紹最后一個(gè)例題.也是定積分在幾何上的應(yīng)用，求解旋轉(zhuǎn)體的體積.

橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，圍成一個(gè)橢球.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，只學(xué)習(xí)了一些規(guī)則幾何體的體積，對(duì)于橢球的體積，不知道怎么求解.首先利用Matlab軟件的三維繪圖功能繪制橢球圖形如圖2.

圖2

根據(jù)理論知識(shí)的學(xué)習(xí)，平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積公式為

則所要求的橢球體的體積為

利用Matlab軟件求解

輸入命令：

>>syms x y a b；

>>pi*int(b^2/a^2*(a^2-x^2),x,-a,a)顯示結(jié)果：

>>4/3*pi*b^2*a%表示4/3πab2

3 結(jié)束語(yǔ)

Matab軟件不僅可以求解常用的不定積分與定積分，對(duì)于一些廣義積分，同樣可以求解，如的積分結(jié)果是誤差函數(shù)，無(wú)法用初等函數(shù)表示.但仍然可以利用Matlab軟件求解廣義積分，在Matlab軟件中，用inf表示無(wú)窮大，所以只需要把積分下限改用-inf表示，把積分上限改用+inf表示即可，求出其積分結(jié)果為，這是一個(gè)泊松積分，在概率論中泊松分布和正態(tài)分布中應(yīng)用非常廣泛.而如果要用理論知識(shí)求解這個(gè)定積分，需要學(xué)習(xí)二重積分之后，才能求解.同時(shí)Matlab軟件還可以求解二重積分，其庫(kù)函數(shù)仍然是int.

〔1〕李水育.高等數(shù)學(xué)[M].北京：人民郵電出版社，2013.10.

〔2〕楊靜俐.提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的對(duì)策[J].佳木斯教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2013,11(133)：201.

〔3〕張書(shū)欣.利用MATLAB求解數(shù)值積分[J].中國(guó)商界,2010,11(212)：464.

〔4〕朱孝春.一元函數(shù)不定積分中換元積分法與分部積分發(fā)的教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2011,11(30)：51-53,56.

〔5〕高卓瑪.一道不定積分題的多種換元積分解法[J].青海大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2006,5(24)：71-72.

〔6〕周在瑩.第二類換元積分法中三角函數(shù)換元的簡(jiǎn)便處理[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2011,12(24)：25-28.