改進(jìn)的GM（1，1）模型在大壩變形預(yù)測中的應(yīng)用

改進(jìn)的GM(1,1) 模型在大壩變形預(yù)測中的應(yīng)用

任遠(yuǎn)軍1，李龍2，石寧3，羅勇3

(1.湖北清江水電開發(fā)有限責(zé)任公司，湖北宜昌443000；2.中鐵港航局集團(tuán)航道工程有限公司，廣東廣州510660；3.中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南長沙410083)

摘要：針對大壩安全監(jiān)測數(shù)據(jù)存在貧信息、小樣本的問題，通過對原始數(shù)據(jù)、初始值以及背景值進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)傳統(tǒng)的 GM(1,1) 模型。以某大壩實(shí)測徑向水平位移數(shù)據(jù)為例，分別用改進(jìn)前后的模型進(jìn)行預(yù)測，并與實(shí)測值進(jìn)行對比。驗(yàn)證改進(jìn)的 GM(1,1) 模型的優(yōu)越性與有效性，相對于傳統(tǒng) GM(1,1) 模型，其預(yù)測精度更高。

關(guān)鍵詞：大壩監(jiān)測；GM(1,1) 模型；改進(jìn) GM(1,1) 模型；預(yù)測

中圖分類號：TU196

收稿日期：2014-04-17;修回日期：2014-08-20

作者簡介：任遠(yuǎn)軍(1987-)，男,助工.

ApplicationofimprovedGM(1,1)modeltodamdeformationforecastingRENYuan-jun1，LI Long2，SHI Ning3，LUO Yong3

(1.HubeiQingJiangHydroelectricDevelopmentCo.,Ltd，Yichang443000，China；2.ChinaRailwayPortandChannelEngineeringGroupCo.,Ltd，Guangzhou510660，China；3.SchoolofGeoscienceandInfo-physics，CentralSouthUniversity，Changsha410083，China)

Abstract：For dam safety monitoring data,poor information and small sample problem are unavoidable.In this paper,the traditional GM(1,1) model is improved by optimizing the original data,the initial value and the background value.Taking the radial horizontal displacement samples of a dam,the two models are adopted to predict the displacement values respectively,and compared with the measured values.Compared with the traditional GM(1,1) model,the improved GM(1,1) model is effective and practical, of which the prediction accuracy is higher.

Keywords：dammonitoring；GM(1,1)model；improvedGM(1,1)model；forecasting

大壩在供水、能源、航運(yùn)供給以及防洪等方面起著重大的作用，而大壩的貢獻(xiàn)需建立在良性運(yùn)行的基礎(chǔ)之上。因此，為保障大壩的安全運(yùn)行，必須針對大壩開展安全監(jiān)測工作[1-3]。對大壩的外觀變形監(jiān)測可以獲取大量的監(jiān)測數(shù)據(jù)，通過對其采用統(tǒng)計(jì)分析方法處理，可以初步地掌握大壩的變形特征及規(guī)律，及時(shí)了解潛在的危機(jī)。在實(shí)際中，大壩施工期間及蓄水初期可能導(dǎo)致變形監(jiān)測數(shù)據(jù)不足，在貧信息、小樣本的情況下，很難對大壩的實(shí)際工作形態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測[4,5]?；疑Ｐ偷奶岢鰹榻鉀Q貧信息、小樣本的問題提供了新的思路，傳統(tǒng)灰色模型存在著一定的局限性[6]，如對于非指數(shù)增長趨勢的數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)GM(1,1) 模型在擬合時(shí)，灰度較大，限制其精度[7]。為此，本文分別對原始數(shù)據(jù)、初始值以及背景值進(jìn)行優(yōu)化，改進(jìn)傳統(tǒng)GM(1,1) 模型，并以某大壩為例，驗(yàn)證改進(jìn)模型的有效性與可行性。

1傳統(tǒng)GM(1,1)模型的建模過程及其不足

1.1傳統(tǒng)GM(1,1)模型

假定x(0)(k)為給定的非負(fù)數(shù)據(jù)序列，其中k=1,2,…,n，即

(1)

對序列x(0)(k)進(jìn)行一次累加，生成一個(gè)新的累加序列

(2)

其中，累加后生成

(3)

通過累加，將無明顯規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列轉(zhuǎn)化為遞增變化的數(shù)列。一般來說，認(rèn)為累加序列x(1)(k)是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)，將其用一階微分方程表示

(4)

式中:a為灰發(fā)展系數(shù)，反映數(shù)據(jù)序列的增長速度，u為灰色作用量，它反映數(shù)據(jù)的內(nèi)部變化。然后采用最小二乘法求解式(4)的微分方程

(5)

傳統(tǒng)GM(1,1) 模型計(jì)算式:

(6)

可解得模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)

(7)

然后，將時(shí)間代入式(7)獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累減，即可得到原始數(shù)據(jù)模型

(8)

當(dāng)k≤n時(shí)，得到的值是原始數(shù)據(jù)的擬合值；當(dāng)k>n時(shí)，得到的數(shù)據(jù)為預(yù)測值。

1.2傳統(tǒng)GM(1,1) 模型的不足之處

對上述建模過程進(jìn)行分析，可以看出，傳統(tǒng)GM(1,1) 模型存在以下不足：

1)傳統(tǒng)GM(1,1) 模型的背景值一般是根據(jù)數(shù)值積分的梯形公式構(gòu)造，當(dāng)GM(1,1) 模型的灰發(fā)展系數(shù)a≥1時(shí)，該背景值構(gòu)造方法的擬合與預(yù)測精度并不高。

2)灰發(fā)展系數(shù)a與灰色作用量u決定著傳統(tǒng)GM(1,1) 模型的擬合與預(yù)測精度，而這兩個(gè)系數(shù)受原始數(shù)據(jù)與背景值構(gòu)造形式的影響；

2改進(jìn)的GM(1，1)模型及精度評價(jià)

根據(jù)傳統(tǒng)GM(1,1) 模型建模存在的不足，本文分別對原始數(shù)據(jù)、背景值以及初始值進(jìn)行優(yōu)化，用優(yōu)化后的數(shù)據(jù)替代傳統(tǒng)GM(1,1) 模型中相應(yīng)的值，從而達(dá)到改進(jìn)GM(1,1) 模型的目的，提高其預(yù)測精度。同時(shí)，為了比較GM(1,1) 模型改進(jìn)前后預(yù)測結(jié)果的可靠性，選擇了多種評價(jià)指標(biāo)對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行評價(jià)。

2.1優(yōu)化原始數(shù)據(jù)

原始數(shù)據(jù)是否滿足指數(shù)增長的規(guī)律直接影響傳統(tǒng)GM(1,1) 模型的預(yù)測結(jié)果，因此，當(dāng)原始數(shù)據(jù)波動(dòng)較大時(shí)，需對其進(jìn)行處理以提高其光滑性，使其滿足指數(shù)增長的規(guī)律，從而改善GM(1,1) 模型的預(yù)測精度。因此，本文采用滑動(dòng)平均法對原始數(shù)據(jù)x(0)(k)進(jìn)行預(yù)處理，生成新的序列

(9)

左右端點(diǎn)的計(jì)算式為

(10)

(11)

2.2優(yōu)化背景值

由于灰色模型是指數(shù)預(yù)測模型，因此ea對模型的精度產(chǎn)生很大的影響，當(dāng)a值較小時(shí)，預(yù)測曲線相對平穩(wěn)，產(chǎn)生的誤差也較??；若a值較大時(shí)，指數(shù)函數(shù)的結(jié)果會(huì)劇增，因此，將會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。根據(jù)指數(shù)函數(shù)自身的特性，采用下式改進(jìn)背景值[8]。

(12)

(13)

其中，k=1,2,…,n-2.

2.3優(yōu)化初始值

(14)

其中，ck=e-a(k-1)，

分別將改進(jìn)方法后結(jié)果替代傳統(tǒng)GM(1,1)模型中各計(jì)算值。

2.4精度檢驗(yàn)

為驗(yàn)證模型預(yù)測的有效性，分別選用相對誤差E、絕對誤差Δ、均方差比值C以及小誤差概率P四種指標(biāo)來評價(jià)擬合及預(yù)測的效果。

1)相對誤差E，反映預(yù)測殘差占原始數(shù)據(jù)的比例，因此，E越小越好,

(15)

2)絕對誤差Δ，表示擬合值、預(yù)測值與原始數(shù)據(jù)的接近程度，因此，Δ越小越好,

(16)

3)后驗(yàn)差比值C，越小越好，因?yàn)橹笜?biāo)C反映原始數(shù)據(jù)離散程度大，而殘差離散程度小，

(17)

其中，原始序列與預(yù)測序列的差值稱為殘差序列，S1是原始序列的標(biāo)準(zhǔn)差，S2是殘差序列的標(biāo)準(zhǔn)差。

4)小誤差概率P，指標(biāo)P越大越好，由于殘差與殘差均值之差小于給定值，定義：

(18)

其中，e(0)(k)為殘差序列。指標(biāo)C與指標(biāo)P的具體評定標(biāo)準(zhǔn)如表1所示[10]。

表1　模型精度評定標(biāo)準(zhǔn)

3實(shí)例分析

以2007-02-19～2011-06-19湖北省某大壩13期某測點(diǎn)徑向水平位移數(shù)據(jù)為例，來驗(yàn)證改進(jìn)后GM(1,1) 模型的可行性與有效性。其實(shí)測數(shù)據(jù)如表2所示。

選用前10期的實(shí)測數(shù)據(jù)分別用傳統(tǒng) GM(1,1) 模型與改進(jìn)的 GM(1,1) 模型建立模型，剩下的3期數(shù)據(jù)作為預(yù)測比較數(shù)據(jù)。

1)對傳統(tǒng) GM(1,1) 模型進(jìn)行預(yù)測求解，

(19)

然后，將預(yù)測時(shí)間代入式(17)，即可得到其預(yù)測值。

表2　某測點(diǎn)實(shí)測徑向水平位移

2)對改進(jìn) GM(1,1) 模型進(jìn)行建模預(yù)測。首先，確定原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行滑動(dòng)平均處理，得到優(yōu)化后的數(shù)據(jù)序列X(0)(k)，然后，用式(13)、式(14)替代式(6)，對背景值序列進(jìn)行優(yōu)化，接著，利用優(yōu)化后的背景值，按照式(14)對初始值進(jìn)行優(yōu)化，最后，將所有優(yōu)化處理后的數(shù)據(jù)，按照傳統(tǒng) GM(1,1) 模型的步驟進(jìn)行求解，得到的優(yōu)化序列、優(yōu)化背景值、優(yōu)化初始值以及原始數(shù)據(jù)模型：

X(0)=[5.592,5.786,6.316,6.889,7.340,7.734,

8.006,8.206,8.430,8.607,8.737,8.969,9.244].

z(1)=[-8.441,-14.488,-21.101,-28.220,

-35.767,-43.643,-51.747,-60.069,-77.900].

(20)

兩種模型的擬合精度結(jié)果如表3所示。

表3　兩種模型擬合精度的比較結(jié)果

從表3中可以看出，傳統(tǒng) GM(1,1) 模型的相對誤差與改進(jìn)的 GM(1,1) 模型相差不大，這說明，改進(jìn)的 GM(1,1) 模型相對于傳統(tǒng) GM(1,1) 模型并沒有提高其擬合精度。兩種模型預(yù)測精度的比較結(jié)果見表4。

表4　兩種模型預(yù)測精度的比較結(jié)果

盡管改進(jìn)的 GM(1,1) 模型并沒有提高擬合精度，但從表4的預(yù)測結(jié)果中可以看出，改進(jìn) GM(1,1) 模型的預(yù)測精度有明顯改善，無論是相對誤差還是絕對誤差，都比傳統(tǒng) GM(1,1) 模型提高了1倍，這充分說明了改進(jìn)的 GM(1,1) 模型的有效性。兩種模型分別所在的精度等級見表5所示。

表5　兩種模型分別所在的精度等級

然后，將兩種模型的精度等級進(jìn)行對比，從表4可以看出，盡管傳統(tǒng) GM(1,1) 模型的小誤差概率P為1，位于1級，但其后驗(yàn)差比值C處于2級，而改進(jìn)的 GM(1,1) 模型無論是后驗(yàn)差比值C還是小誤差概率P都是1級，由此可以看出，改進(jìn)的 GM(1,1) 模型要優(yōu)于傳統(tǒng)的 GM(1,1) 模型。

4結(jié)束語

本文通過對初始值、背景值以及原始數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化處理，對傳統(tǒng) GM(1,1) 模型進(jìn)行改進(jìn)，通過對某大壩進(jìn)行實(shí)證分析，改進(jìn)的 GM(1,1) 模型預(yù)測精度有較為明顯的改善，相對于傳統(tǒng)的 GM(1,1) 模型，驗(yàn)證改進(jìn)的 GM(1,1) 模型的有效性與優(yōu)越性。對于受各種因素影響，導(dǎo)致大壩安全監(jiān)測出現(xiàn)貧信息小樣本的數(shù)據(jù)，采用改進(jìn)的 GM(1,1) 模型相對于傳統(tǒng) GM(1,1) 模型具有一定的實(shí)用價(jià)值。

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[責(zé)任編輯：李銘娜]