基于Markowitz組合理論的風(fēng)險控制分析

尹海英，張若丹

（1.吉林省科技金融研究中心，吉林 長春 130028；2.長春金融高等?？茖W(xué)校 金融系，吉林 長春 130028；3.中國財政經(jīng)濟出版社，北京 100142）

一、Markowitz組合理論對風(fēng)險的分析

所謂的組合投資就是不要將雞蛋放在同一個籃子里，而是把資金以一定的比例分散地投資于多種證券和資產(chǎn)，以減少所面臨的投資風(fēng)險。在投資實踐中，投資者在自覺或不自覺地運用組合投資來降低風(fēng)險，組合投資是證券投資的主要形式。Markowitz投資組合理論中關(guān)于組合投資優(yōu)于單一資產(chǎn)投資，以及存在優(yōu)勢的條件和關(guān)鍵，都是通過數(shù)學(xué)公式的計算和推導(dǎo)得到的。對于多元化投資分散風(fēng)險的分析，主要考慮資產(chǎn)的數(shù)目、資產(chǎn)間的關(guān)聯(lián)度，以及資產(chǎn)的投資比率（即權(quán)重）。n種證券的組合投資中投資權(quán)重向量X=（x1，x2，…，xn），方差-協(xié)方差矩陣Σ=（σij）nn，則組合風(fēng)險為：

其中，x1+x2+…+xn=1

Markowitz投資組合理論主要包括資產(chǎn)選擇和均值-方差分析兩部分內(nèi)容。

（一）資產(chǎn)選擇

對組合風(fēng)險的公式進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)n越大時，就越??；當(dāng)n→∞時，組合風(fēng)險無限地趨近于一個特定的值。這說明組合資產(chǎn)風(fēng)險隨著資產(chǎn)數(shù)目增多而減??；但僅靠增加資產(chǎn)數(shù)目降低風(fēng)險時，卻不能規(guī)避所有的風(fēng)險，資產(chǎn)多元化不能規(guī)避掉的這部分風(fēng)險，本文不作討論。而且，通過深入研究和分析發(fā)現(xiàn)，隨著資產(chǎn)數(shù)目增加，資產(chǎn)組合風(fēng)險減少程度越來越小，呈現(xiàn)邊際遞減（如圖1所示）。所以，投資者受到時間、精力和資金等限制，組合資產(chǎn)的數(shù)量并不是多多益善。相關(guān)研究表明，資產(chǎn)數(shù)目在10～20之間可以充分分散風(fēng)險。

圖1 資產(chǎn)數(shù)目對資產(chǎn)組合風(fēng)險的影響

Markowitz組合理論用協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)描述資產(chǎn)間的關(guān)聯(lián)程度，協(xié)方差僅能描述兩個資產(chǎn)收益率變動相互作用的方向，相關(guān)系數(shù)不僅能描述兩個資產(chǎn)收益率變動相互作用的方向，還能描述兩個資產(chǎn)收益率變動相互作用的程度。相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差的關(guān)系為：

可以將其帶入公式（1）中，發(fā)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)對資產(chǎn)組合風(fēng)險有直接的影響。相關(guān)系數(shù)的取值范圍是ρ∈［－1，1］，相關(guān)系數(shù)越小，表明資產(chǎn)間的相關(guān)程度越小，降低風(fēng)險的程度越大，資產(chǎn)組合的風(fēng)險也就越小。如圖1中的a和b所示。

（二）Markowitz均值-方差分析

資產(chǎn)權(quán)重對組合結(jié)果的影響與資產(chǎn)數(shù)目和資產(chǎn)間相關(guān)系數(shù)的影響不一樣，后兩個因素的改變僅僅影響資產(chǎn)組合風(fēng)險的大小，而組合中資產(chǎn)權(quán)重的改變不僅影響組合風(fēng)險的大小，而且影響組合資產(chǎn)收益E（Rp）=x1R1+x2R2+…+xn Rn的高低。所以，當(dāng)投資者即使是通過資產(chǎn)選擇原則、資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù)選對了證券，并且將資產(chǎn)數(shù)目確定在最佳的范圍之內(nèi)，當(dāng)權(quán)重改變時，投資資產(chǎn)組合中可能會出現(xiàn)收益低、風(fēng)險大的投資組合（如圖2所示）。Markowitz投資組合理論的核心問題是：在投資決策中構(gòu)建出同等風(fēng)險（用方差或標(biāo)準(zhǔn)差描述）水平下、選擇收益（用數(shù)學(xué)均值描述）最大，或是同等收益水平下、風(fēng)險最小的投資組合，也就是運用均值-方差模型來構(gòu)造有效的投資組合。Markowitz均值-方差模型分為兩類：不包含無風(fēng)險資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型和包含無風(fēng)險資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型。

1.不包含無風(fēng)險資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型

（1）模型內(nèi)容

模型Ⅰ圖示如圖2。圖中虛線和實線共同構(gòu)成了組合投資的均值-方差界面，在界面上，相同的收益水平風(fēng)險最小。界面的虛線部分隨著收益的減小，風(fēng)險卻在加大，是投資者不愿意選擇的無效投資組合；實線部分隨著收益的增加，風(fēng)險也在增加，稱為有效邊界。投資者的投資選擇就在有效邊界上。

圖2 不包含無風(fēng)險資產(chǎn)的有效組合

圖3 包含無風(fēng)險資產(chǎn)的有效組合

（2）模型求解

求解該模型采用Laganerge乘子法，首先構(gòu)建Laganerge函數(shù)

其次，對公式（2）對xi一階求導(dǎo)，則資產(chǎn)組合中n個資產(chǎn)的權(quán)重xi與兩個Laganerge乘子λ、μ滿足方程組Ⅰ

從而可得到xi的值，最終構(gòu)造出一個有效投資組合。

2.包含無風(fēng)險資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型

（1）模型內(nèi)容

模型Ⅱ中的（σc，Rc）表示包含風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)的組合——完全資產(chǎn)組合的風(fēng)險和收益。模型Ⅱ圖示如圖3。圖中直線是包含無風(fēng)險資產(chǎn)時投資者新的投資邊界，稱之為資本配置線，每一點代表著一組風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)的投資權(quán)重。P點以下表明市場上不允許無風(fēng)險資產(chǎn)借入的投資組合，此時，風(fēng)險資產(chǎn)的投資權(quán)重xp<1；P點以上表明市場允許無風(fēng)險資產(chǎn)借入的投資組合，此時xp>1。由此可知，市場的限制越少，投資者的交易范圍越大，市場的活躍程度也會加大，但同時投資的風(fēng)險也就越大。每一個風(fēng)險資產(chǎn)組合的有效邊界都能構(gòu)建出一條資本配置線，但對于投資者來說，最優(yōu)的選擇是與有效邊界相切的那條資本配置線上的資產(chǎn)配置。市場上的風(fēng)險資產(chǎn)組合不計其數(shù)，其邊界在市場組合，即圖中的M點，Rf與之相連接形成的直線是斜率最大的資本配置線，稱之為資本市場線。根據(jù)Markowitz理論以及之后發(fā)展起來的資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）理論，這是投資者的最佳選擇邊界。本文對此不再深入討論。

（2）模型求解

求解該模型仍然采用Laganerge乘子法，通過對構(gòu)建的Laganerge函數(shù)進行一階求導(dǎo)，則完全資產(chǎn)組合中風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)的資產(chǎn)權(quán)重xp和xf與兩個Laganerge乘子λ、μ滿足方程組Ⅱ

從而可得到xp和xf的值，最終構(gòu)造出一個有效投資組合。

二、投資者風(fēng)險控制策略

（一）投資選擇

面對Markowitz均值-方差模型下構(gòu)建出的有效投資組合，投資者作何選擇，這與投資者對風(fēng)險的主觀態(tài)度——風(fēng)險厭惡程度有關(guān)。有些投資者風(fēng)險厭惡程度較低，會選擇那些能給其帶來高收益，但同時也需要承擔(dān)高風(fēng)險的資產(chǎn)組合；而有些投資者風(fēng)險厭惡程度較高，會選擇那些需要承擔(dān)低風(fēng)險，但同時只能帶來低收益的資產(chǎn)組合。比如市場上可供選擇的證券投資基金，其實質(zhì)就是為不同類型投資者構(gòu)建的一個在有效邊界上的投資組合，風(fēng)險厭惡程度高的投資者可能會選擇債券型基金；風(fēng)險厭惡程度低的投資者可能會選擇股票型基金；而有較高風(fēng)險偏好的投資者可能會選擇直接投資股票。

（二）投資組合的動態(tài)調(diào)整

證券市場瞬息萬變，資產(chǎn)的風(fēng)險、收益回報特征、資產(chǎn)間的關(guān)聯(lián)度也不是一成不變的。有些證券在某一段時間可能收益較低、風(fēng)險較高，可在另一段時間收益較高、風(fēng)險卻有所降低，而證券間的關(guān)聯(lián)度也因此會發(fā)生變化。所以，市場的變化使得構(gòu)建的有效組合不再有效。對此，投資者要根據(jù)市場的變化以及對未來趨勢的判斷，對投資組合做出動態(tài)調(diào)整。改變組合中資產(chǎn)的投資比例，甚至是更換所持有證券的種類。

（三）VaR約束

證券投資過程中，風(fēng)險與收益如影相隨，當(dāng)市場允許融資融券，投資者在追求更高收益的同時，面臨的風(fēng)險也無限擴大。在這樣的市場中進行投資，投資者首先應(yīng)該設(shè)定一個能夠承擔(dān)的最高風(fēng)險水平，在此風(fēng)險水平的約束下，尋找最佳投資組合是不錯的選擇。國內(nèi)學(xué)者黃繼平等人（2004），構(gòu)建了VaR約束下的Markowitz均值-方差模型，討論中國證券市場上基于VaR約束的證券投資決策問題，這對投資實踐具有重要的指導(dǎo)意義。［1］

三、Markowitz均值-模型在我國證券市場上應(yīng)用的實例分析

中國證券市場于2010年開展了融資融券業(yè)務(wù)，故Markowitz均值-方差模型可以直接使用，不必再做出權(quán)重大于零的約束條件。由于不包含無風(fēng)險資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型和包含無風(fēng)險資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型在應(yīng)用中原理相同，只是組合收益的公式不同，所以本文僅使用不包含無風(fēng)險資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型對我國證券市場上的應(yīng)用進行實例分析。

應(yīng)用實例：假定在資產(chǎn)選擇原則的指導(dǎo)下，投資經(jīng)理篩選出以下4只股票：中國聯(lián)通、浦發(fā)銀行、萬科A、工商銀行。所選用數(shù)據(jù)來源于銳思數(shù)據(jù)庫［2］，時間是2011年1月4日～2015年1月3日，共791個交易日?；A(chǔ)數(shù)據(jù)計算的結(jié)果或設(shè)定如下：

（一）個股的收益回報特征

1.個股日收益的期望值、方差計算結(jié)果如下（見表1、表2、表3）：

表1 個股日收益的期望值、方差

2.股票間關(guān)聯(lián)度的計算結(jié)果如下：

表2 股票間日收益率的方差-協(xié)方差矩陣

表3 股票間日收益率的相關(guān)系數(shù)矩陣

（二）投資組合的構(gòu)建

根據(jù)個股的收益風(fēng)險回報特征，我們構(gòu)建以下三個投資組合方案（見表4）。

表4 可供選擇的資產(chǎn)組合方案

則有：

1.組合個股日收益率的期望值矩陣Rn的結(jié)果如下：

2.組合個股日收益率的方差-協(xié)方差矩陣∑的結(jié)果如下：

（二）不包含無風(fēng)險資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型的應(yīng)用實例分析

通過構(gòu)建Laganerge函數(shù)，解方程組，計算結(jié)果如下：

1.組合一的權(quán)重集

2.組合二的權(quán)重集

3.組合三的權(quán)重集

給定投資者追求的有效組合邊界范圍的一個期望收益率E（Rp）的值，則可以得到組合的最優(yōu)投資權(quán)重向量。例如E（Rp）=0.06%，則有：

組合一的最優(yōu)投資權(quán)重向量為：

組合二的最優(yōu)投資權(quán)重向量為：

組合三的最優(yōu)投資權(quán)重向量為：

將權(quán)重向量代入公式（1）中，則可以計算出追求0.23%收益水平，三種投資組合面臨的風(fēng)險

（三）包含無風(fēng)險資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型的應(yīng)用實例分析

假定投資者選擇組合三作為風(fēng)險資產(chǎn)的投資，市場上的無風(fēng)險資產(chǎn)的回報率為0.01%，解方程組Ⅱ，得到權(quán)重集

假定投資者追求0.08%的收益水平，則有xp=140%，xf=-40%，此時投資風(fēng)險σc=0.021。

四、研究結(jié)論

結(jié)論一：比較組合一和組合二，構(gòu)成組合的資產(chǎn)收益和風(fēng)險水平相當(dāng)，組合一中工商銀行與萬科A的相關(guān)系數(shù)為0.4382，組合二中工商銀行與浦發(fā)銀行的相關(guān)系數(shù)為0.6733。當(dāng)兩個組合獲得相同的收益水平0.06%，所面臨的風(fēng)險卻不同，=0.000157<=0.000163。此結(jié)果證明了Markowitz理論中相關(guān)系數(shù)對資產(chǎn)組合風(fēng)險的影響關(guān)系，即相關(guān)系數(shù)越小，則資產(chǎn)組合風(fēng)險就越小。投資實踐中，投資者不可能一一計算資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù)，但區(qū)域間、行業(yè)間的資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)通常情況下會小于區(qū)域或行業(yè)內(nèi)部的相關(guān)系數(shù)。所以，投資者要跨區(qū)域、跨行業(yè)進行多元化投資，以分散風(fēng)險。

結(jié)論二：比較組合一和組合三，組合一有兩種資產(chǎn)構(gòu)成，組合三有三種資產(chǎn)構(gòu)成。兩個組合同樣是收益水平相同，但風(fēng)險不同=0.000150<=0.000157。此結(jié)果證明了Markowitz理論中資產(chǎn)數(shù)目對組合資產(chǎn)風(fēng)險的影響關(guān)系，即資產(chǎn)數(shù)目越大，則組合資產(chǎn)風(fēng)險就越小。在中國市場的投資實踐中，投資者可以利用此關(guān)系構(gòu)建組合。

結(jié)論三：假定有一個投資者利用Markowitz資產(chǎn)選擇原則，選擇組合三中的三種資產(chǎn)進行投資，但沒有使用Markowitz均值-方差模型確定投資權(quán)重，隨意地將投資權(quán)重確定為（70.0%，60.93%，-30.93%）T。將其代入組合收益公式E（Rp）=x1R1+x2R2+…xn Rn以及公式（1）中，可以計算出：組合的收益仍保持在0.06%的水平，但風(fēng)險卻高達0.000263。該組合與組合三包含同樣的資產(chǎn)，組合的收益水平相同，但卻因為權(quán)重的不同，分散風(fēng)險的效果降低了。這就是組合理論中所說的無效組合。運用Markowitz均值-方差模型，可以幫助投資者找到有效組合，即收益水平相同、風(fēng)險最小或風(fēng)險水平相同、收益最大的組合。

通過以上的實例分析及結(jié)論闡述可知，在中國投資市場上，Markowitz理論是適用的。本文的研究分析對我國的投資者，特別是投資機構(gòu)、證券投資基金具有理論指導(dǎo)意義和現(xiàn)實應(yīng)用價值。

［1］黃繼平等.基于風(fēng)險控制的證券投資決策［J］.統(tǒng)計研究，2004.

［2］http://www3.resset.cn:8080/product/common/main.jsp,股票綜合數(shù)據(jù).