基于Duffing振子的微弱正弦信號(hào)檢測(cè)

李澤彬，汝改革，李富強(qiáng)，陶　穩(wěn)，吳澤浩，許志遠(yuǎn)

(1.皖西學(xué)院 傳感網(wǎng)與信息處理綜合應(yīng)用實(shí)驗(yàn)室，安徽 六安　237012；

2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 徐海學(xué)院，江蘇 徐州　221008)

基于Duffing振子的微弱正弦信號(hào)檢測(cè)

李澤彬1，汝改革1，李富強(qiáng)2，陶穩(wěn)1，吳澤浩1，許志遠(yuǎn)1

(1.皖西學(xué)院 傳感網(wǎng)與信息處理綜合應(yīng)用實(shí)驗(yàn)室，安徽 六安237012；

2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 徐海學(xué)院，江蘇 徐州221008)

摘要：通過(guò)對(duì)Duffing振子方程的數(shù)值計(jì)算，分析系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性和參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的影響.研究結(jié)果表明：系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)最終會(huì)運(yùn)動(dòng)到2個(gè)焦點(diǎn)中的1個(gè)位置上；其策動(dòng)力幅度變化對(duì)系統(tǒng)相圖有很大的影響，合適參數(shù)作用下Duffing振子會(huì)處于臨界混沌狀態(tài).在此基礎(chǔ)上構(gòu)造Duffing檢測(cè)系統(tǒng)模型，利用系統(tǒng)相圖的躍變特征，可以檢測(cè)出強(qiáng)噪聲背景下的微弱正弦信號(hào).仿真結(jié)果表明該檢測(cè)系統(tǒng)具有良好的抗噪聲性能和較好的檢測(cè)性能.

關(guān)鍵詞：Duffing混沌振子；微弱正弦信號(hào)；高斯白噪聲；相變

隨著現(xiàn)代信號(hào)技術(shù)的發(fā)展，混沌理論應(yīng)用于信息處理領(lǐng)域是現(xiàn)階段混沌學(xué)發(fā)展的主要趨勢(shì)之一.以往的研究證明混沌并非完全無(wú)序，它可以由簡(jiǎn)單確定性系統(tǒng)產(chǎn)生；混沌中存在吸引子，吸引子具有吸引性和對(duì)小擾動(dòng)的穩(wěn)定性[1]，而這種特性使混沌系統(tǒng)行為具有可以預(yù)測(cè)的一面.自從1992年Birx等[2]首次對(duì)混沌振子檢測(cè)微弱信號(hào)進(jìn)行嘗試以來(lái)，混沌振子檢測(cè)理論得到了不斷改進(jìn)和發(fā)展，并取得了一系列較好的成績(jī)，因此眾多學(xué)者把目光投向了基于混沌理論的弱信號(hào)檢測(cè)方法的研究和探討[3-4].混沌振子用于微弱信號(hào)檢測(cè)的物理機(jī)理來(lái)源于對(duì)混沌的控制，其主要是利用與時(shí)間有關(guān)的連續(xù)小微擾來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)混沌的穩(wěn)定控制.近年來(lái)，利用 Duffing混沌振子檢測(cè)微弱信號(hào)的研究尤為突出，Duffing振子是由弱非線性單擺運(yùn)動(dòng)演化而來(lái)，具有豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特性.Duffing 振子是一種典型的混沌振子，對(duì)周期信號(hào)極其敏感，而對(duì)噪聲具有一定的免疫力，因而被廣泛用于微弱信號(hào)檢測(cè)中[5].系統(tǒng)判斷待測(cè)信號(hào)的關(guān)鍵為系統(tǒng)輸出是否由混沌臨界狀態(tài)躍變到穩(wěn)定大周期狀態(tài).目前，確定混沌系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變的方法主要有李亞普諾夫指數(shù)法、Poincaré截面法、相軌跡直接觀察法、分維數(shù)法、Kolmogoro熵、分形理論分析法以及梅爾尼科夫方法等，其中相軌跡直接觀察法較為常用，且又是最簡(jiǎn)單的方法[6].因此，本文采用相軌跡直接觀察法來(lái)識(shí)別系統(tǒng)相圖由混沌臨界狀態(tài)到大周期狀態(tài)的躍變，研究了Duffing檢測(cè)系統(tǒng)檢測(cè)微弱正弦信號(hào)的性能，為Duffing檢測(cè)系統(tǒng)模型進(jìn)一步應(yīng)用于實(shí)際信號(hào)檢測(cè)奠定了基礎(chǔ).

1Duffing振子混沌動(dòng)力學(xué)特性

采用經(jīng)典的Holmes型Duffing方程[7-8]，其表達(dá)式為

，

(1)

式中：k是阻尼比；(-x(t)+x3(t))是非線性恢復(fù)力；acos ωt是周期策動(dòng)力，其中a是周期策動(dòng)力幅值，ω是策動(dòng)力角頻率.將(1)式寫成狀態(tài)方程

(2)

1.1　平衡點(diǎn)

令a=0，求解(2)式平衡點(diǎn)[9]，得到線性方程

，

(3)

(4)

由(4)式，可得相平面上的3個(gè)奇點(diǎn): 分別為鞍點(diǎn) (0，0)，2個(gè)焦點(diǎn)(1，0)和(-1，0).當(dāng)a=0，k=0.5時(shí)，采用變步長(zhǎng)Rung-Kutta-Felhberg方法[10]對(duì)(2)式進(jìn)行編程計(jì)算，得到相圖.如圖1所示.

圖1　a=0時(shí)Duffing系統(tǒng)相圖

從圖1可以看出，系統(tǒng)初始狀態(tài)有微小不同，系統(tǒng)最終停留的位置也不同，在鞍點(diǎn)(0，0)處是不穩(wěn)定的，即在此位置(x，y)只要有微小擾動(dòng)，系統(tǒng)狀態(tài)就會(huì)運(yùn)動(dòng)到2個(gè)焦點(diǎn)中的1個(gè)位置上.

1.2　改變系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響

為了便于研究，設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)ω=1 rad/s，k=0.5.當(dāng)a≠0時(shí)，對(duì)(2)式進(jìn)行編程計(jì)算，其結(jié)果如圖2所示，Duffing振子表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性.由圖2可知,當(dāng)a由小逐漸變大，系統(tǒng)則會(huì)分別經(jīng)歷吸引子、同宿軌道、倍周期化分叉、混沌狀態(tài)、臨界混沌狀態(tài)和大尺度周期態(tài)[11].當(dāng)a=0.826時(shí)，系統(tǒng)處于由混沌轉(zhuǎn)為大尺度周期態(tài)的臨界混沌狀態(tài)，如圖2(e)所示；當(dāng)a>0.826 時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入大尺度周期運(yùn)動(dòng)，該狀態(tài)相軌跡將焦點(diǎn)與鞍點(diǎn)團(tuán)團(tuán)圍住，其對(duì)應(yīng)的Poincaré映射亦為不動(dòng)點(diǎn)，如圖2(f)所示；在此之后再增大策動(dòng)力幅值，其對(duì)系統(tǒng)的影響幾乎不變，線性振子完全處于統(tǒng)治狀態(tài)，其非線性部分的作用幾乎可以忽略，這時(shí)整個(gè)系統(tǒng)便按線性系統(tǒng)方式運(yùn)動(dòng)，即它被鎖在外加周期力的頻率上.由此可知，當(dāng)線性振子呈現(xiàn)出極弱或極強(qiáng)的狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)處于鎖頻狀態(tài)；而當(dāng)非線性系統(tǒng)和線性振子這兩個(gè)系統(tǒng)強(qiáng)弱均衡時(shí)，它們才相互強(qiáng)烈影響，出現(xiàn)復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng).

圖2　a≠0 時(shí)Duffing系統(tǒng)相圖

2微弱正弦信號(hào)檢測(cè)

2.1　系統(tǒng)模型構(gòu)造

在(2)式中，將含有噪聲的待測(cè)信號(hào)加入，其狀態(tài)方程可以寫成

(5)

式中：a1cos ω1t為周期策動(dòng)力，(axcos ω2t+n(t))為含噪聲的待測(cè)信號(hào)，n(t)為高斯白噪聲.為了方便研究Duffing振子檢測(cè)微弱信號(hào)，利用Matlab/Simulink構(gòu)建(5)式仿真模型,如圖3所示.

圖3　Duffing檢測(cè)系統(tǒng)仿真模型

在圖3仿真模型中，F(xiàn)cn用于實(shí)現(xiàn)非線性恢復(fù)力項(xiàng)；Sine Wave用于產(chǎn)生周期策動(dòng)力；Signal Generator用于輸入正弦待測(cè)信號(hào)；Gaussian Noise Generator用于產(chǎn)生高斯白噪聲；Add為加法器；Subtract為減法器；Integrator為積分器；Gain為增益器；XY Graph和Scope為顯示器，用來(lái)顯示Duffing方程運(yùn)動(dòng)的相軌跡和時(shí)域圖.

Duffing振子在一定條件下對(duì)微弱信號(hào)非常敏感，同時(shí)對(duì)噪聲有免疫力，因此Duffing檢測(cè)系統(tǒng)在微弱信號(hào)檢測(cè)中非常具有潛力.在圖3中，首先將Duffing系統(tǒng)調(diào)整到混沌臨界狀態(tài)，接著向Duffing系統(tǒng)中加入待測(cè)信號(hào)作為周期策動(dòng)力的攝動(dòng)；若待測(cè)信號(hào)中只有強(qiáng)噪聲干擾并無(wú)特定周期信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)相圖不發(fā)生改變，仍處于混沌臨界狀態(tài)；若待測(cè)信號(hào)中有特定周期信號(hào)時(shí)，即使幅值很小，也會(huì)使系統(tǒng)相圖從混沌狀態(tài)躍變到大尺度周期狀態(tài)[12].因此，根據(jù)相軌跡是否從混沌狀態(tài)躍變到大尺度周期狀態(tài)就可以判定待測(cè)信號(hào)中是否存在特定周期信號(hào).

2.2　微弱正弦信號(hào)檢測(cè)

設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)為k=0.5，ω1=1 rad/s；待測(cè)信號(hào)為正弦信號(hào)ω2=1 rad/s，幅度為ax=0.005 V，其幅度檢測(cè)方法如圖4所示.調(diào)整系統(tǒng)周期策動(dòng)力幅度a1=0.826 V，使系統(tǒng)輸出相圖處于混沌臨界狀態(tài)，如圖5(a)所示；加入待測(cè)信號(hào)，系統(tǒng)輸出相圖躍變到大周期狀態(tài)，如圖5(b)所示；接著調(diào)整周期策動(dòng)力幅度達(dá)到a2=0.821 V，系統(tǒng)輸出相圖又恰好回到混沌臨界狀態(tài)，由此可知待測(cè)正弦信號(hào)幅度為ax=(0.826-0.821)V=0.005 V，與輸入的待測(cè)信號(hào)幅度一致.在檢測(cè)系統(tǒng)中加入均值為0、方差σ2為0.01的高斯白噪聲后，其電路輸出相圖如圖5(c)所示.由此可以看出，Duffing振子檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)噪聲有很好的免疫力，此時(shí)檢測(cè)信號(hào)信噪比為

B.

圖4　幅度檢測(cè)流程圖

圖5　檢測(cè)系統(tǒng)輸出相圖

由幅值檢測(cè)過(guò)程可知，幅值測(cè)量的前提是需要待測(cè)信號(hào)的頻率已知且和Duffing振子周期策動(dòng)力頻率一致.混沌系統(tǒng)對(duì)該周期信號(hào)特別敏感，將該信號(hào)加入檢測(cè)系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出相軌跡圖才會(huì)發(fā)生躍變；實(shí)驗(yàn)過(guò)程中若待測(cè)信號(hào)頻率與Duffing振子周期策動(dòng)力頻率出現(xiàn)不一致時(shí)，即使頻率很高、信號(hào)很強(qiáng)也不會(huì)引起系統(tǒng)輸出狀態(tài)發(fā)生變化，即檢測(cè)系統(tǒng)輸出相圖不會(huì)由臨界混沌狀態(tài)躍變到大周期狀態(tài)，仍會(huì)保持臨界混沌狀態(tài)，如圖5(a)所示.由此可知，Duffing檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)于與其自身周期策動(dòng)力頻率不同的信號(hào)具有屏蔽和免疫作用.

3結(jié)論

利用Matlab軟件對(duì)Duffing振子以及其檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行了研究，得到如下結(jié)論：

1)Duffing振子對(duì)初始值比較敏感，通過(guò)計(jì)算得到3個(gè)平衡點(diǎn)，其中鞍點(diǎn)(0,0)處是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)最終狀態(tài)會(huì)運(yùn)動(dòng)到2個(gè)焦點(diǎn)中的1個(gè)位置上.

2)改變Duffing振子策動(dòng)力幅度，Duffing振子會(huì)表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)特性，當(dāng)策動(dòng)力幅度調(diào)整到一定閾值處，系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)出臨界混沌狀態(tài).

3)利用Matlab/Simulink構(gòu)造了Duffing檢測(cè)系統(tǒng)仿真模型，實(shí)現(xiàn)了強(qiáng)噪聲背景下微弱正弦信號(hào)的檢測(cè)，得到了滿意的仿真結(jié)果.

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(編輯徐永銘)

中圖分類號(hào)：TN911.23

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-358X(2015)03-0059-05

收稿日期：2015-03-08

基金項(xiàng)目：國(guó)家星火計(jì)劃項(xiàng)目(2014GA690101)，徐州工程學(xué)院青年項(xiàng)目(XKY2014321)

作者簡(jiǎn)介：李超(1978-)，男，河南周口人，副教授，博士，主要從事天然產(chǎn)物化學(xué)和食品加工研究.

Weak Sinusoidal Signal Detecting Based on Duffing Oscillator

LI Zebin1,RU Gaige1,LI Fuqiang2,TAO Wen1,WU Zehao1,XU Zhiyuan1

(1.Comprehensive Application Laboratory of Sensor networks and Information Processing System,

West Anhui University, Lu'an 237012, China;

2.Xuhai College, China University of Mining & Technology, Xuzhou 221008, China)

Abstract:By numerical calculation to Duffing oscillator,the system stability at equilibrium point and the effect of the system with the changed parameters are analyzed.The results show that system steady state will finally achieve one of the two focal points;the system phase diagram has a great influence with change of the driving forces amplitude;and the system will be in a critical state of chaos under the suitable parameter.Detection system simulation model of Duffing oscillator is constructed by Matlab/simulink,and it can detect weak sinusoidal signal in strong noise by phase transition of the system.The simulation results also show that it has a good noise immunity and a good detection performance.

Key words:Duffing oscillator; weak sinusoidal signal; Gaussian white noise; phase transition