單因素時間序列ARMA建模在卡鉆預測中的應用研究

劉光星 翟坤 陶宇龍，2 李安樂 邵小華

(1.西安石油大學陜西省鉆機控制技術重點實驗室，西安 710065;2.陜西省煤層氣開發(fā)利用有限公司澄合天宇勘探建井工程有限責任公司，陜西 澄城 715200;3.陜西煤業(yè)化工集團澄合合陽煤炭開發(fā)有限公司，陜西 合陽 715300;4.大慶鉆探集團鉆井一公司，黑龍江 大慶 163700)

卡鉆是指鉆具既不能轉動也不能上下活動，是鉆井過程中常見的井下事故。當卡鉆事故發(fā)生時，需要耗費大量的人力、物力和時間來處理和排除卡鉆［1-4］，處理不好甚至會導致全井報廢。如果在鉆進過程中能夠對引發(fā)卡鉆的井下復雜現象進行預警，就可以及時采取措施，預防卡鉆事故的發(fā)生。

在鉆井過程中，鉆井參數的變化與井下復雜情況的產生密切相關，因此可以通過分析鉆井參數的變化異常來預測卡鉆的發(fā)生。而時間序列分析法就是對一組數據進行分析處理，提取其中特征信息的方法，因此利用時間序列分析法可以更有效地預測卡鉆事故的出現。

1 單因素時間序列

時間序列是指按時間順序排列的一組數據，從廣義上講是指一組有序的隨機數據。單因素時間序列［5］分析法作為其他時序分析的前提和基礎被廣泛應用，其主要有3種時序模型，分別為:AR、MA和ARMA模型。ARMA模型是研究單因素時間序列的重要方法，由自回歸模型(AR模型)與滑動平均模型(MA模型)為基礎“混合”構成，基本形式如下:

式中:φ1，φ2，…，φp— 自回歸系數;θ1，θ2，…，θq—移動平均系數;p—自回歸模型階數;q— 移動平均模型階數;εt— 均值為0，方差為σ2的白噪聲序列。

模型(1)與模型(2)的組合形式，則為ARMA模型，記作 ARMA(p，q)，當 p=0 時，ARMA(0，q)=MA(q);當 q=0時，ARMA(p，0)=AR(p)。

2 建模與預測

在運用單因素時間序列分析法建立ARMA模型預測卡鉆時，要求鉆井數據樣本序列必須是平穩(wěn)的，如果所給的序列是非平穩(wěn)序列，則必須對所給序列做預處理，使其平穩(wěn)化，然后建立ARMA模型。在此，我們對青海地區(qū)某地熱勘探井的相關數據進行分析處理，選取與卡鉆事故密切相關的5種數據，如:大鉤負荷、鉆壓、轉盤轉速、轉盤扭矩和泵壓，作為預測模型的數據序列，進行建模和預測，直觀的闡述建模［1］的方法和步驟。在此，以大鉤負荷為例，建立其預測模型。表1為青海地區(qū)探熱井實際鉆井的部分樣本數據。

表1 實際鉆井的部分樣本數據

2.1 序列的預處理及平穩(wěn)性判斷

圖1為大鉤負荷的時序圖。表2為其自相關系數和偏自相關系數表，Autocorrrelation為自相關系數圖，Partial Correlation為偏自相關系數圖，AC為自相關系數，PAC為偏自相關系數，Q-Stat為Q統(tǒng)計量，Prob為拒絕原假設概率P值。由大鉤負荷時序圖、自相關系數和偏自相關系數表可以明顯判斷出序列是平穩(wěn)的，最后一列白噪聲檢驗的Q統(tǒng)計量和相應的伴隨概率P值表明序列存在相關性，序列為平穩(wěn)非白噪聲序列，可以對序列進行建模，且自相關系數圖出現典型的拖尾特性，偏自相關系數圖出現典型的截尾特性。

圖1 大鉤負荷的時序圖

時序圖和自相關系數、偏自相關系數表判斷序列是平穩(wěn)的，ADF序列平穩(wěn)性單位根檢驗結果(表3)進一步證實了這個結論，表3中:t-Statistic為t統(tǒng)計值;Prob為拒絕原假設概率P值;Augmented Dickey-Fuller test statistic為ADF統(tǒng)計量;Test critical values為檢驗的臨界值;1%、5%、10%指的是顯著水平。若ADF檢驗值(t值)大于某顯著水平值(一般是5%)，則不通過檢驗，即存在單位根(序列不平穩(wěn))，此時，可通過一階差分進一步檢驗單位根是否平穩(wěn)。在表3中ADF檢驗值為-5.903 445，在1%、5%和10%這3個顯著性水平下，單位根檢驗的臨界值分別為 -3.505 595、-2.894 332 和-2.584 325，顯然，ADF檢驗值小于其他臨界值，則序列不存在明顯的趨勢，表明拒絕存在一個單位根的原假設，序列平穩(wěn)。

表2 大鉤負荷的自相關系數和偏自相關系數表

表3 ADF檢驗結果

2.2 模型識別

由表2可以看出，偏自相關系數在k=2后很快趨于0即2階截尾，嘗試擬合AR(2);自相關系數在k=1，2處顯著不為0，當k=3時在2倍標準差范圍內，可以考慮擬合 MA(1)、MA(2)或MA(3);同時可以考慮ARMA(2，1)模型等。

2.3 模型參數估計

在參數估計時，對原序列做描述統(tǒng)計分析，序列均值非零，通常對平穩(wěn)序列做建模分析，需要在原序列基礎上生成一個新的零均值序列，也就是用原序列的每個參數減去其均值所生成的一個新的平穩(wěn)非白噪聲序列，相當于在原序列基礎上做了整體平移，統(tǒng)計特性不會發(fā)生根本改變。在以下建模結果中會出現部分英文參數，其中文解釋見表4。

分別嘗試AR、MA及 ARMA建模，AR(1)、MA(2)模型高度顯著，AR(2)、MA(3)模型不顯著，通過最優(yōu)模型比較選取，逐步剔除不顯著的滯后項或移動平均項，最終發(fā)現適合擬合ARMA(1，2)模型，建模結果見表5，即大鉤負荷的自回歸滑動平均模型為:

表4 建模結果參數信息

表5 ARMA(1，2)模型結果

2.4 模型檢驗

參數估計后，應對擬合模型的適應性進行檢驗，實質是對模型殘差序列進行白噪聲檢驗。若殘差序列不是白噪聲，說明還有一些重要信息沒被提取，應重新設定模型。表6為ARMA(1，2)模型殘差相關系數表。

表6 ARMA(1，2)模型殘差相關系數表

可以看出殘差序列不存在序列相關，且各階滯后期的自相關系數和偏自相關系數值都接近于零，所有的Q統(tǒng)計量均不顯著，因此可以判斷殘差為白噪聲，說明擬合模型有效，則可以確定大鉤負荷的ARMA模型擬合成功。

2.5 未來數值預測

由于原序列是實際參數值，所以這里使用靜態(tài)預測來得到第一個預測值;對于動態(tài)預測，除了第一個預測值是用原序列的實際值預測外，其后的各預測值都是采用遞推預測得到。用同樣的方法可以得到:

鉆壓的ARMA模型:

轉盤轉速的ARMA模型:

轉盤扭矩的ARMA模型:

泵壓的ARMA模型:

3 ARMA功率譜估計

ARMA功率譜估計是時間序列的一種頻域特性，對于給定的時間序列 X1，X2，…，Xt，為了近似未知的基本過程，其AR(p)模型對應的功率譜理論表達式為:

ARMA(p，q)模型對應的功率譜理論表達式為:

4 卡鉆預測

4.1 預測原理

針對青海地區(qū)地熱勘探井的相關數據，來對此方法進行研究和分析，其中采用的ARMA模型是動態(tài)的，其模型中的相關參數是隨著預測數據的更新而不斷變化的，這樣功率譜也隨著更新而出現差異，從而用于判斷和預測卡鉆。

以上模型的建立，其各ARMA模型的功率譜最大疊加偏差值是預測卡鉆的依據，即疊加偏差值波動幅度越大，則可能引起卡鉆的幾率越高。首先，對當前ARMA模型做功率譜估計;然后，通過當前ARMA模型推斷下一預測值，生成新的ARMA模型，且求出新模型的功率譜，判斷出前后模型功率譜最大值的偏差;最后，對5個特征參數的ARMA功率譜估計最大偏差值進行疊加，則為最終進行卡鉆預測的疊加偏差值。當功率譜疊加偏差值明顯出現異常時，則這一時刻就很有可能出現卡鉆。

4.2 預測實現

通過Eviews軟件進行編程，運用實際鉆井參數建立的ARMA模型預測下一未來值，從而生成新的ARMA模型。然后，通過Matlab軟件對各個模型進行功率譜估計，比較前后不同模型功率譜［6-8］的偏差值。同樣以大鉤負荷的ARMA模型為例，做35次預測，其功率譜輸出見圖2。

對其他4種鉆井參數進行ARMA模型功率譜估計，且對功率譜數據進行預處理，綜合比較5種樣本的功率譜密度，得到綜合功率譜的疊加值及功率譜疊加偏差值(圖3、圖4)。

圖2 大鉤負荷ARMA(1，2)模型35次功率譜輸出

圖3 5種樣本參數ARMA模型功率譜疊加值

圖4 5種樣本參數ARMA綜合功率譜疊加偏差值

鉆進在1 828 m時，5種樣本數據所生成的ARMA模型的功率譜疊加值和功率譜疊加偏差值波動幅度明顯，與其他平穩(wěn)鉆進進尺相比有大幅度差異，則判定下一鉆進深度有較大可能發(fā)生卡鉆，而在實際鉆進中，當鉆至1 834 m時發(fā)生卡鉆，在此，可以說明單因素時間序列建模方法可以達到預測卡鉆的效果，且在預測中可以提前預報，更具有較強的實時預測功能，可為鉆井技術人員提供較長的提前預防鉆井事故的處理時間，為鉆井工程縮短周期、減少資源浪費給予較好的輔助。

5 結語

國內現有的專家系統(tǒng)、多元統(tǒng)計分析、神經網絡分析等方法在卡鉆預測上都取得了一定的成績［9］，但與單因素時間序列方法在卡鉆預測上的應用相比較，后者其良好的預測功能，及其提前預報和實時預測功能都要優(yōu)于其他現有的方法，且其對實際數據的依賴性較其他方法而言相對較低，該方法在青海地區(qū)探熱井數據的模擬中，得到的結果與實際較吻合，因此，將單因素時間序列分析方法運用到鉆井卡鉆預測中是有必要的，其可信度較高。

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