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      圓錐曲線中的切點(diǎn)弦方程

      2015-12-28 07:57:40陳紅明
      科學(xué)中國(guó)人 2015年26期
      關(guān)鍵詞:切點(diǎn)雙曲線切線

      陳紅明

      湖北隨州一中

      圓錐曲線中的切點(diǎn)弦方程

      陳紅明

      湖北隨州一中

      過平面上一點(diǎn)如果可以作出某圓錐曲線的兩條切線,連接兩個(gè)切點(diǎn)即為此圓錐曲線的切點(diǎn)弦(若為雙曲線,需對(duì)其同一支作兩條切線)。設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),過點(diǎn)P作出的切線分別為PA、PB,設(shè)切點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),則如何求出切點(diǎn)弦AB所在的直線的方程呢?下面作一簡(jiǎn)單的歸納和總結(jié)。

      (一)圓的切點(diǎn)弦的方程

      設(shè)圓C(C為圓心)的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2

      即為(y-y1)(y1-b)+(x1-a)(x-x1)=0

      變形(y-b+b-y1)(y1-b)+(x1-a)(x-a+a-x1)=0

      即為(y-b)(y1-b)-(y1-b)2+(x1-a)(x-a)-(x1-a)2=0

      由③④可得lAB:(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2

      特別地:圓x2+y2=r2的切點(diǎn)弦方程為:xx0+yy0=r2

      (2)橢圓的切點(diǎn)弦方程

      設(shè)橢圓C的方程為

      (方法一)設(shè)lPA:y-y1=k1(x-x1)

      故lPA

      同理lPB:

      將點(diǎn)P(x0、y0)代入⑤、⑥得

      由⑦⑧可得

      (方法二)設(shè)直線L與橢圓兩點(diǎn),設(shè)中點(diǎn)為Q(x‘、y'),由點(diǎn)差法易得kmn·

      將直線MN平移到與橢圓相切,上述法論仍然成立,此時(shí)有

      關(guān)于點(diǎn)A(x1、y1)對(duì)稱的橢圓

      由⑨-⑩可得下同方法一。

      (3)雙曲線的切點(diǎn)弦方程

      (4)拋物線的切點(diǎn)弦方程:

      設(shè)拋物線C:y2=2PX(P>0)

      (方法一)設(shè)LPA:y=k1(x-x1)+y1

      將點(diǎn)P(x0、y0)代入(11)、(12)得

      由(13)、(14)可得LAB:yy0=px0+px

      (方法二)先求出x2=2Py(P>0)的切點(diǎn)弦方程

      從而得出LPA:x1x=py+py1

      LPB:x2x=py+py2

      將(15)中的x、y及x0、y0互換,即可得到y(tǒng)2=2Px(P>0)的切點(diǎn)弦方程。

      (方法三)對(duì)y2=2Px兩邊對(duì)x求導(dǎo),得

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