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    Holder不等式再推廣的幾種形式

    2015-12-28 02:32:38孫鳳慶
    科學(xué)中國人 2015年11期
    關(guān)鍵詞:鳳慶計算機(jī)系正數(shù)

    孫鳳慶

    山東德州職業(yè)技術(shù)學(xué)院計算機(jī)系

    Holder不等式再推廣的幾種形式

    孫鳳慶

    山東德州職業(yè)技術(shù)學(xué)院計算機(jī)系

    本文主要對原Holder不等式進(jìn)行了進(jìn)一步的推廣,將原Holder不等式由2個實數(shù)列推廣到m(m>=2)個實數(shù)列,同時給出推廣后的Holder不等式的幾種不同形式并對其加以數(shù)學(xué)證明.

    Holder不等式;推廣的Holder不等式;引理(Young不等式的推廣);琴生不等式;級數(shù);Riemann積分

    1.Holder不等式

    設(shè)a=(a1,a2,........,an)與b=(b1,b2,..........,bn)是兩個非負(fù)實數(shù)列;?與β為兩個正數(shù),且?+β=1

    且只有當(dāng)ai=0或bi=0或者存在正數(shù)k使得ai=kbi時(i=1,2,......n)等號才成立.

    2.推廣的Holder不等式

    且只有當(dāng)a1i=0或a2i=0……或ami=0或者存在m個正數(shù)k1,k2,......km使得k1a1i=k2a2i=......=kmami時(i=1,2,......n)等號才成立.

    證明:

    1)引理(Young不等式的推廣):設(shè)aj≥0(j=1,2,......m);?1,?2,......?m為m個正數(shù),

    且只有當(dāng)a1=a2=......=am時,等號才成立.

    證明:

    ①當(dāng)a1,a2......am中有一個為0時,不等式顯然成立

    因此由琴生不等式可得:

    且只有當(dāng)a1=a2=......=am時,等號才成立

    2)再證明推廣的Holder不等式(即(1)式)

    ①當(dāng)a1i=0或a2i=0......或ami=0時(i=1,2,......n),(1)式顯然成立,且等號成立

    則(1)式變?yōu)椋?/p>

    只需證明此不等式即可。

    3.推廣的Holder不等式的級數(shù)形式

    4.推廣的Holder不等式的Riemann積分形式

    由(1)式可得:

    再由極限保號性質(zhì)可得(3)式成立.

    注:對x∈[a,b],只有當(dāng)f1(x)≡0或f2(x)≡0...........或fm(x)≡0或者存在m個常數(shù)k1,k2,......km使得k1f1(x)≡k2f2(x)≡............≡kmfm(x)時,(3)式中等號才成立.

    [1]李心燦的《Holder不等式的一種推廣》一書,北京航空學(xué)院出版/1957

    [2]歷倩的Holder不等式的再推廣及應(yīng)用,《數(shù)學(xué)通迅》,2006—05

    [3]熊斌的Schur不等式和Holder不等式及其應(yīng)用,《數(shù)學(xué)通訊》,2005—15

    [4]陶雙平馬國順的一個廣義Holder不等式,《安康師專學(xué)報》,1992—02

    [5]胡克的論Holder不等式,《江西師范大學(xué)學(xué)報.自然科學(xué)版》,1994—03

    [6]文開庭的Holder不等式的新推廣,《畢節(jié)師范高等??茖W(xué)校學(xué)報》,2002—01

    [7]張?zhí)斓马n振來的數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題精解,天津科學(xué)技術(shù)出版社,2009,7

    孫鳳慶(1963-),男,副教授,大學(xué)本科(工學(xué)學(xué)士)

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